七年级数学上册培优专题02 有理数混合运算的六种技巧-解析版

/培优专题02有理数混合运算的六种技巧【专题精讲】有理数的混合运算是加、减、乘、除乘方的综合应用,学会运算法则是基础,运算的关键是运算的顺序,为了提高运算速度,要灵活运用运算律,还要能创造条件利用运算律,如拆数,移动小数点等,对于复杂的有理数运算,要善于观察、分析、类比与联想,从中发现可以简算的地方从而达到算得准、算得快的目的。计算复杂算式,应遵循以下几个原则：(1)分段同时性原则:例如在计算一0.25²÷（-）-（-1）2021+(-2)²×(-3)²的过程中,应在第一步中计算0.25²，-（12）4，，（-1）2021，（(2)整体性原则:例如乘除混合运算统一化为乘法,统一进行约分;(3)简明性原则:计算步骤尽可能简明,能够一步计算出来的就同时算出来,不要拖沓;(4)心算原则:计算过程中,能用心算的都尽量运用心算,心算是提高运算速度的重要方法。有理数计算常用的技巧与方法有①应用运算律;②裂项相消;③分解相约;④巧用公式;⑤利用倒数;⑥借用图形面积◎类型一：巧用凑整法计算解题方法：多个有理数相加时,如果既有分数,也有小数,一般将存在数量少的形式转化成数量多的形式,把能凑成整数的数结合在一起,可以使计算简便,这种方法简称凑整法。1．（2020·安徽·马鞍山市雨山实验学校七年级阶段练习）计算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先化简绝对值、将分数化成小数，再利用有理数的加减运算法则和运算律进行计算即可得；（2）先将带分数拆分成两项，再利用有理数的加减运算法则和运算律进行计算即可得．（1）解：原式．（2）解：原式．【点睛】本题考查了化简绝对值、有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则和运算律是解题关键．2．（2022·全国·七年级专题练习）计算：(1)(2)【答案】(1)0(2)【分析】（1）根据有理数加减法的交换律和结合律即可求解；（2）根据有理数加法的交换律和结合律即可求解．（1）解：，＝，＝100+(﹣100)，＝0；（2）（2），＝，＝0+1+，＝．【点睛】本题考查了有理数的加减运算，解决本题的关键是掌握以上的运算法则，注意用简便方法简化运算．3．（2022·全国·七年级）计算下列各小题，能用简便方法的使用简便方法．(1)；(2)．【答案】(1)-13(2)【分析】（1）向去掉括号后，再根据法则计算即可求解；（2）通过去括号化简之后，再采用同分母相结合计算即可求解．(1)解：原式＝﹣9+7﹣6﹣5＝（﹣9﹣6﹣5）+7＝﹣20+7＝﹣13；(2)原式＝3+﹣﹣＝（3﹣）+（﹣）＝3﹣＝．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．4．（2022·全国·七年级专题练习）（-4）-（-5）+（-4）-3【答案】【分析】原式利用减法法则变形，结合后相加即可得到结果．【详解】解：（-4）-（-5）+（-4）-3，，，.【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．灵活运用加法结合律进行凑整运算可以简化计算.◎类型二：运用拆项法计算解题方解答此类问题,先把带分数拆成整数和真分数两部分,再把整数部分和真分数部分分别结合在一起,利用交换律，结合律得出答案。5．（2022·全国·七年级课时练习）用较为简便的方法计算下列各题：(1)3﹣（+63）﹣（﹣259）﹣（﹣41）；(2)；(3)(4)．【答案】(1)240(2)﹣19(3)469(4)﹣9903【分析】（1）原式利用减法法则变形后计算即可得到结果；（2）原式利用减法法则变形后计算即可得到结果；（3）原式利用减法法则变形后计算即可得到结果；（4）原式利用减法法则变形后计算即可得到结果．（1）解：原式＝3﹣63+259+41＝﹣60+300＝240；（2）解：原式＝2﹣10﹣8﹣3＝﹣8﹣11＝﹣19；（3）解：原式＝598﹣84﹣（12+31）＝514﹣44＝469；（4）解：原式＝（﹣8721﹣1279）+（53+43）＝﹣10000+97＝﹣9903．【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（2021·河南周口·七年级阶段练习）计算：【答案】【分析】根据有理数加减混合运算法则以及运算律进行计算即可．【详解】解：原式＝＝＝．【点睛】本题考查了有理数的混合运算以及加法交换律结合律，熟练掌握有理数加减运算法则是解本题的关键，掌握运算律可以使计算变得简便．7．（2022·全国·七年级课时练习）简便计算：（1）；（2）【答案】（1）；（2）-60【分析】（1）根据有理数的简便运算法则即可求解；（2）根据有理数的简便运算法则即可求解．【详解】解：（1）原式＝（50﹣）×（﹣4）＝﹣200+＝；（2）原式＝（﹣）×（78﹣11）﹣66×0.3＝﹣0.6×67﹣66×0.3＝﹣40.2﹣19.8＝﹣60．【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．8．（2022·全国·七年级课时练习）用较为简便的方法计算下列各题：（1）；（2）－8721＋53－1279＋4；（3）．【答案】（1）；（2）-9942；（3）【分析】（1）根据有理数的加法和减法可以解答本题；（2）根据有理数的加法和减法可以解答本题；（3）根据有理数的加法、减法和绝对值的性质可以解答本题；【详解】解：（1）===；（2）－8721＋53－1279＋4＝(－8721－1279)＋＝－10000＋58＝－9942；（3）===【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．◎类型三：巧用组合法计算解题方解答此类问题,直接计算比较麻烦,观察算式,找出算式分布规律,然后适当分组,利用结合律将相加和为0的结合在一起简化计算。9．（2020·甘肃·甘州中学七年级阶段练习）计算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8+…﹣2001+2002﹣2003+2004【答案】1002【分析】根据算式特点，可将原式分组（−1＋2）＋（−3＋4）＋（−5＋6）…＋（−2003＋2004），即可发现规律，算出结果．【详解】解：−1＋2−3＋4−5＋6−7＋8＋…−2001＋2002−2003＋2004＝（−1＋2）＋（−3＋4）＋（−5＋6）＋（−7＋8）＋…＋（−2003＋2004）＝1002【点睛】本题考查了有理数的混合运算，对于此类题型找出规律运用简便方法是解题的关键．10．（2021·全国·七年级课时练习）．【答案】0【分析】每四个数之和是0，共有505个这样的0，计算即可．【详解】解：∵20204=505，∴1−2−3+4+5−6−7+8+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2017−2018−2019+2020=(1−2−3+4)+(5−6−7+8)+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2017−2018−2019+2020)=0+0+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+0=0．【点睛】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则并能灵活运用运算律是解题关键．11．（2022·全国·七年级课时练习）计算题（1）

（2）（3）

（4）（5）（6）【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）1002【分析】（1）、（2）、（3）、（4）直接根据有理数加减混合运算法则求解即可；（5）先根据绝对值的性质去绝对值符号，然后再结合有理数加减混合运算法则求解即可；（6）先观察得出相邻两项之和为1，从而利用规律求解即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）原式=．【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的相关运算法则，并注意运算规律与顺序是解题关键．12．（2020·山东泰安·课时练习）计算…．【答案】-100【详解】原式◎类型四：巧用裂项相消法计算解题方法解答此类题目,根据算式特点,将各项变为两项,然后把互为相反数的两项相加,只剩下首项和末项,相加得出结果。13．（2022·全国·七年级课时练习）观察下列各式：，，（1）猜想：（2）你发现的规律是：；（n为正整数）（3）用规律计算：.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）观察题中规律得出答案即可（2）根据题中规律进行总结即可（3）根据（2）总结的式子将原式展开进行计算即可【详解】（1）（2）（3）===【点睛】本题主要考查了有理数运算中的归纳总结问题，细读题目找到规律是解题关键14．（2022·全国·七年级课时练习）观察下面的变形规律：解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想（2）计算：（3）计算：【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）归纳总结得到拆项规律，写出即可；（2）根据（1）中规律，进行计算；（3）根据（1）中规律，进行计算．【详解】解：（1）猜想，故答案为；（2）=1-=（3）原式=【点睛】此题考查分数的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．（2022·湖南·羊角塘镇中心中学七年级阶段练习）计算题．(1)．(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)6【分析】（1）根据裂项求和进行简便运算即可；（2）观察算式的分母，找到规律，进而裂项相消求和进行简便运算即可求解；（3）观察算式的，令，则，两式相加即可求解．（1）解：原式＝；（2）解：∵∴原式＝；（3）令①②得：，故．【点睛】本题考查了有理数的加法，乘法，乘方运算，将所求式子用裂项相消的方法进行正确的分解是解题的关键．16．（2021·湖南·永州市剑桥学校七年级阶段练习）观察下列有规律的数…．根据其规律，则（1）第7个数是________；（2）第n个数是________；（3）是第个数；（4）计算：．【答案】（1）；（2）；（3）12；（4）【分析】（1）根据已知数据的分母规律计算即可；（2）由已知数据进行分析判断即可得解；（3）由（2）列式即可得解；（4）根据计算即可；【详解】（1）由题可知：，，，，，，；故答案是．（2）由（1）可得：第n个数是；故答案是．（3）根据题意可得：，∴是第12个数；故答案是12．（4）原式，．【点睛】本题主要考查了数字规律型，有理数混合运算，准确计算是解题的关键．◎类型五：逆用分配律计算分配律a(b+c)=ab+ac，在运算中可简化计算;反过来,ab+aca(b+c)同样成立,适当运用也可使运算简便。17．（2022·全国·七年级）计算：（1）；（2）．【答案】(1)；(2)【分析】(1)将拆分成，然后再使用乘法分配律与4相乘即可求解；(2)逆用乘法分配律将提取出来，然后按运算顺序进行计算即可．【详解】解：(1)原式(2)原式．【点睛】本题考查了有理数的四则运算，有理数的乘法分配律，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．18．（2020·上海市民办华育中学期中）99×91＋8×99＋99.75【答案】9975【分析】利用乘法分配律的逆运算得，再利用乘法分配律计算即可得出结果．【详解】解：原式=，，，，=9975．【点睛】本题考查乘法分配律及其逆运算，解题的关键在于熟练掌握运算律并能正确运算．19．（2022·全国·七年级专题练习）利用适当的方法计算：．【答案】－14【分析】逆用乘法的分配律，将提到括号外，然后先计算括号内的部分，最后再算乘法即可．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查的是有理数的乘法，解题的关键是逆用乘法分配律进行简便计算．20．（2021·上海普陀·期中）计算：．【答案】﹣【分析】先变形，然后逆用乘法分配律解答．【详解】解：====﹣．【点睛】本题考查了的有理数的混合运算，灵活逆用乘法分配律是解题的关键．◎类型六：巧用倒数法计算解答此类题目,交换被除数和除数的位置得到原式的倒数,先计算出倒数的值,然后求出原数即可。21．（2021·陕西·岚皋县城关九年制学校七年级期中）认真阅读材料后，解决问题：计算：．分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算．解：原式的倒数是＝＝＝20﹣3+5﹣12＝10，故原式＝．仿照阅读材料计算：．【答案】【分析】仿照阅读材料，先求原数的倒数，进而求解即可．【详解】解：原式的倒数是，故原式．【点睛】本题主要考查了求一个数的倒数，有理数除法，有理数乘法的分配律，正确理解题意是解题的关键．22．（2022·全国·七年级专题练习）阅读下列材料：计算．解法一：原式＝＝550．解法二：原式＝＝50÷＝50×6＝300．解法三：原式的倒数为＝．故原式＝300．上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题：计算：．【答案】一；【分析】根据有理数的除法，可转化成有理数的乘法，可得答案；根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，再算有理数的除法，可得答案．【详解】解：没有除法分配律，故解法一错误；故答案为：一．原式＝＝＝．【点睛】本题考查了有理数的除法，先算括号里面的，再算有理数的除法，注意没有除法分配律．23．（2021·广西南宁·七年级期中）阅读下列材料，根据材料计算：计算：解：原式的倒数为所以原式根据以上材料计算：【答案】【分析】首先看懂例题的做法，先计算出的倒数的结果，再算出原式结果即可．【详解】解：原式的倒数为原式．【点睛】本题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键．24．（2022·全国·七年级）想一想：下面两种计算正确吗?请说明理由：(1)解：原式=；(2)解：原式=．【答案】(1)不正确，理由见解析(2)不正确，理由见解析【分析】利用有理数的除法法则计算即可(1)解：不正确，除法没有结合律，正确运算方法如下：原式=；(2)不正确，除法没有交换律，正确运算方法如下：解：原式．【点睛】本题主要考查有理数的除法，掌握有理数除法的运算法则是解题的关键．【巩固训练】1．（2022·全国·七年级课时练习）计算：(1)4＋[8.6－＋＋]；(2)－2－＋－－＋．【答案】(1)5.6(2)－2【分析】（1）运用加法的交换律和结合律进行计算即可；（2）运用加法的交换律和结合律进行计算即可．(1)解：4＋[8.6－＋＋]＝＝1－4＋8.6＝5.6；(2)－2－＋－－＋＝＝＝－2．【点睛】此题主要考查了有理数加法的交换律和结合律的应用，熟练掌握有理数加法的交换律和结合律是解答此题的关键．2．（2022·全国·七年级专题练习）．【答案】【分析】原式利用加法交换律与结合律变形后，相加即可求出值．【详解】解：原式，，．【点评】此题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握加法法则．3．（2022·全国·七年级课时练习）计算的值．【答案】【分析】由题意，先把每个分数进行拆项，变成差的形式，再进行计算即可．【详解】解：根据题意，则===．【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行拆项，从而进行解题．4．（2022·全国·七年级课时练习）阅读下面的计算方法：计算：解：原式====2上面的解法叫拆项法．请你运用这种方法计算：．【答案】-2600【分析】根据题意阅读材料中的拆项法及有理数的运算法则即可求解．【详解】解：（﹣2010）﹣2013+400+1023=﹣2010﹣﹣2013﹣+400++1023+=（﹣2010﹣2013+400+1023）+（﹣﹣++）=﹣2600．【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是根据题意的方法进行求解．5．（2012·江苏扬州·七年级阶段练习）阅读下题的计算方法．计算．解：原式====上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：【答案】．【详解】先将各个带分数进行拆分，然后再利用有理数的加法的法则和加法结合律继续计算就可以了．6．（2022·全国·七年级课时练习）综合与实践阅读下面的计算过程，体会“拆项法”计算：解：原式启发应用：用上面的方法完成下列计算．（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）（2）原式根据阅读材料中的方法变形，计算即可得到结果．【详解】解：（1）=====；（2）===【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．（2020·安徽·阜南县中岗中学七年级阶段练习）观察分析：（1）写出第四个式子和第五个式子；（2）写出第2017个式子和第n个式子；（3）结合上式所反映的规律，计算【答案】（1）；；（2）；；（3）．【分析】（1）根据前三个式子即可得；（2）根据前三个式子归纳类推出一般规律，由此即可得出答案；（3）结合（2）的结论，将式子中的各项进行拆分，再计算有理数的加减法即可得．【详解】（1）观察前三个式子得：第四个式子为，第五个式子为；（2）第一个式子为，第二个式子为，第三个式子为，归纳类推得：第n个式子为，则第2017个式子为；（3），，，．【点睛】本题考查了列分式的规律性问题、有理数的乘法与加减法，观察已知式子，正确归纳出一般规律是解题关键．8．（2017·全国·七年级课时练习）找到规律是解题最重要的步骤！先观察下面的式子：，，，…，你发现规律了吗？下一个式子应该是：．利用你发现的规律，计算：.【答案】【详解】试题分析:本题考查了有理数的巧算裂项相消,根据提示,把每一项分裂成两个数的差,从而使相反数的项互相抵消,使运算简化.下一个式子应该是：．+…+．点睛:分数的裂项法．注意每项等式左边分母和等式右边分母的关系，结合算式特点，把每个分数拆成两个分数差的形式.9．（2021·北京市平谷区峪口中学七年级期中）6.868×（－5）＋6.868×（－12）＋6.868×17【答案】