七年级数学上册培优专题08 巧用一元一次方程选择方案-解析版

/培优专题08巧用一元一次方程选择方案◎类型一：购买方案决策1．（2022·四川·宜宾市叙州区育才中学校七年级期中）为了打造年级体育啦啦队，某年级准备投入一笔资金为啦啦队队员配置一些花球，经过多方比较，准备在甲、乙两个商家中选择一个．已知花球单价是市场统一标价为20元，由于购买数量多，两个商家都给出了自己的优惠条件（见表）：甲商家乙商家购买数量x（个）享受折扣购买数量（个）享受折扣x≤50的部分9.5折y≤100的部分9折50＜x≤200的部分8.8折100＜y≤200的部分8.5折x＞200的部分8折y＞200的部分8折(1)如果需要购买100个花球，请问在哪个商家购买会更便宜？(2)经年级学生干部商议，最终决定选择在乙商家购买花球，并根据实际需要分两次共购买了350个花球，且第一次购买数量小于第二次，共花费6140元，请问两次分别购买了多少个花球？【答案】(1)在乙商家购买会更便宜；(2)第一次购买140个花球，第二次购买210个花球．【分析】（1）利用总价＝单价×数量，结合两个商家的优惠条件，即可分别求出在两个商家购买所需费用，比较后可得出在乙商家购买会更便宜；（2）设第一次购买m个花球，则第二次购买（350﹣m）个花球，分0＜m≤100，100＜m≤150及150＜m＜175三种情况考虑，根据两次购买共花费6140元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出第一次购买花球的数量，再将其代入（350﹣m）中即可求出第二次购买花球的数量．（1）解：在甲商家购买所需费用为20×0.95×50+20×0.88×（100﹣50）＝20×0.95×50+20×0.88×50＝950+880＝1830（元）；在乙商家购买所需费用为20×0.9×100＝1800（元）．∵1830＞1800，∴在乙商家购买会更便宜．（2）解：设第一次购买m个花球，则第二次购买（350﹣m）个花球．当0＜m≤100时，20×0.9m+20×0.9×100+20×0.85×（200﹣100）+20×0.8（350﹣m﹣200）＝6140，解得：m＝120（不合题意，舍去）；当100＜m≤150时，20×0.9×100+20×0.85（m﹣100）+20×0.9×100+20×0.85×（200﹣100）+20×0.8（350﹣m﹣200）＝6140，解得：m＝140，∴350﹣m＝350﹣140＝210；当150＜m＜175时，20×0.9×100+20×0.85（m﹣100）+20×0.9×100+20×0.85（350﹣m﹣100）＝6150≠6140，∴不存在该情况．答：第一次购买140个花球，第二次购买210个花球．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级阶段练习）某书店准备订购一批图书，现有甲、乙两个供应商，均标价每本20元．为了促销，甲说：“凡来我处进货一律九折．”乙说：“如果订货超出100本，则超出的部分打八折”(1)设该书店准备订购本图书，请用含的整式表示在甲供应商所需支付的钱数为______元，在乙供应商所需支付的钱数为______元；(2)在（1）的条件下，当购进多少本图书时，去两个供应商处的进货价钱一样多？(3)已知该书店第一次从乙供应商处购进了500本图书，书店以每本24元全部售出．该书店第二次从乙供应商购进的数量比第一次多20%，如果第二次购进的图书也能全部售出，则第二次购进图书每本售价应为多少元时，书店两批图书的总利润率为50%？【答案】(1)(2)当购进200本图书时，去两个供应商处的进货价钱一样多．(3)第二次购进图书每本售价为26元时，书店两批图书的总利润率为50%．【分析】（1）根据题意列式即可；（2）利用两个代数式的值相等，进行计算即可；（3）设第二次购进图书每本售价为y元，根据题意列方程求解即可．（1）解：由题意得：甲：；乙：，故答案为：．（2）解：由题意得：，解得：，答：当购进200本图书时，去两个供应商处的进货价钱一样多．（3）解：设第二次购进图书每本售价为y元，由题意得：，整理得：，解得：．所以第二次购进图书每本售价为26元时，书店两批图书的总利润率为50%．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题意正确的列出代数式，再根据题意正确的列出方程是解题的关键．3．（2021·河北·景县北留智镇中学七年级阶段练习）某校计划购买20个书柜和一批书架（书架不少于20个），现从A、B两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每个210元，书架每个70元，A超市的优惠措施为每买一个书柜赠送一个书架，B超市的优惠措施为所有商品八折出售．设该校购买x（x＞20）个书架．(1)若该校到同一家超市选购所有书柜和书架，则到A超市和B超市需分别准备多少元货款（用含x的式子表示）？(2)若规定只能到其中一家超市购买所有书柜和书架，当购买多少个书架时，无论到哪家超市购买所付货款都一样？(3)若该校想购买20个书柜和100个书架，且可到两家超市自由选购，你认为至少需要准备多少元货款？【答案】(1)到A超市所需准备货款(70x+2800元)，到B超市购买需准备货款(56x+3360)元(2)当购买40个书架时，无论到哪家超市购买所付货款都一样(3)至少需要准备8680元货款【分析】（1）根据购买货款=书柜的货款+书架的货款据可以求出到两个超市购买的货款；（2）设购买x只书架时，根据到A超市购买的货款等于到B超市购买的货款建立方程求出结论即可．（3）买一个书柜赠一个书架相当于打7.5折，所以据此可得出选择的办法．（1）到A超市所需准备货款为210×20+70（x﹣20）＝70x+2800（元），到B超市购买需准备货款为80%（210×20+70x）＝56x+3360（元）．（2）依题意，得：70x+2800＝56x+3360，解得：x＝40．答：当购买40个书架时，无论到哪家超市购买所付货款都一样．（3）∵×100%＝75%，∴买一个书柜赠一个书架相当于打7.5折，∴到A超市购买20个书柜和20个书架，再到B超市购买80个书架花钱最少．210×20+70×80%×（100﹣20）＝8680（元）．答：至少需要准备8680元货款．【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时由到A超市购买的货款等于到B超市购买的货款建立方程是关键．4．（2022·河北保定·七年级期末）周末，某校七年级准备组织观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张20元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两个优惠方案可选择：方案1：全体人员可打8折；方案2：若打9折，有5人可以免票．(1)七年级二班有48名学生，他该选择哪个方案比较省钱？请说明理由；(2)一班班长思考一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的”．请求出一班的人数．【答案】(1)方案1比较省钱，详见解析(2)一班的人数为45人，详见解析【分析】（1）根据题意，直接进行计算即可；（2）设一班的人数为a人，根据所付钱数一样，可列方程：，解方程即可．（1）解：由题意可知，方案1费用为：（元），方案2费用为：（元），综上所述，方案1比较省钱；（2）设一班的人数为a人，由题意列方程为：，解得：a=45，答：一班的人数为45人．【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的应用，重点在于根据题意列出方程．◎类型二：上网计费方案决策5．（2021·广东惠州·七年级期末）下表中有两种移动电话计费方式：月使用费主叫限定时间（分钟）主叫超时费（元／分钟）被叫方式一651600.20免费方式二1003800.25免费

（月使用费固定收；主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费）(1)若张聪某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需____元，按方式二计费需____元；李华某月按方式二计费需110元，则李华该月主叫通话时间为_____分钟；(2)是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．(3)直接写出当月主叫通话时间t（分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱．【答案】(1)73，100，420(2)存在，或分钟(3)每月通话时间小于335分钟或大于560分钟时，选择方式一省钱【分析】（1）根据“方式一”的计费方式，可求得通话时间200分钟时的计费，“方式二”的计费方式，可求得通话时间200分钟时的计费，主叫通话时间为分钟，根据按方式二计费需110元列出方程，解方程即可；（2）根据题中所给出的条件，分三种情况进行讨论：①；②；③；（3）根据（2）所求即可得出结论．（1）解：若张聪某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需：（元，设按方式二计费需100元，设主叫通话时间为分钟，根据题意得，解得．答：主叫通话时间为420分钟．故答案为73，100；420；（2）解：①当时，不存在；②当时，设每月通话时间为分钟时，两种计费方式收费一样多，，解得，符合题意；③当时，设每月通话时间为分钟时，两种计费方式收费一样多，，解得，故存在某主叫通话时间或560分钟，按方式一和方式二的计费相等；（3）解：结合（2）知，当通话时间或560分钟，按方式一和方式二的计费相等；当每月通话时间少于335分钟时，，故选择方式一省钱；当每月通话时间大于560分钟时，，故选择方式一省钱；当每月通话时间多于335分钟且小于560分钟时，故选择方式二省钱．综上所述：当每月通话时间少于335分钟或大于560分钟时，选择方式一省钱．【点睛】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．6．（2019·广西·南宁市三美学校七年级阶段练习）某市上网有两种收费方案，用户可任选其一，A为计时制0.8元/时；B为包月制60元/月，此外每种上网方式都附加通讯费0.2元/时．(1)某用户每月上网50小时，选哪种方式比较合适？(2)某用户每月有100元钱用于上网，选哪种方式比较合算？(3)当每月上网多少小时时，A、B两种方案上网费用一样多？【答案】(1)每月上网50小时，选A方案合算．(2)每月100元上网B方案比较合算．(3)每月上网75小时，A、B两种方案上网费用一样多．【分析】（1）根据题意计算即可得结论；（2）根据题意列方程求得结果进行比较即可得结论；（3）根据题意列方程即可求得结论．(1)A方案收费：50×（0.8+0.2）=50，B方案收费：60+50×0.2=70．答：每月上网50小时，选A方案合算．(2)设每月100元上网x小时．根据题意，得A方案上网：0.8x+0.2x=100，解得x=100B方案上网：60+0.2x=100，解得x=200答：每月100元上网B方案比较合算．(3)设每月上网x小时，A、B两种方案上网费用一样多．根据题意，得0.8x+0.2x=60+0.2x解得x=75．答：每月上网75小时，A、B两种方案上网费用一样多．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决方案类问题应用题的关键是根据题意分别列出算式或方程．7．（2021·云南大理·七年级期末）某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一：方式A：月租费：40元，上网费：1元/小时；方式B：上网费：3元/小时；设某用户每月上网时间为小时（1）用含的式子分别写出两种收费方式下，该用户应付的上网费用；方式A应付费用为：方式B应付费用为：（2）若该用户计划1个月上网50小时，应选用哪种上网方式比较划算？（3）该用户每月上网多少小时的时候，两种上网方式的费用相等？【答案】（1）(40+x)；3x；（2）方式A；（3）20小时【分析】（1）根据两种方式的费用标准分别列出代数式；（2）当x=50时，分别计算两种方式的费用，然后进行比较，从而求解；（3）根据两种费用相等，列方程求解．【详解】解：（1）方式A应付费用为：(40+)元方式B应付费用为：元故答案为：(40+x)；3x；（2）当x=50时，方式A应付费用：40+50=90（元）方式B应付费用：3×50=150（元）∵90＜150∴当上网50小时时，选择方式A比较划算（4）根据题意，解得：答：当上网时间是20小时的时候，两种上网方式的费用相等【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意正确列代数式及方程求解是解题关键．8．（2021·湖南长沙·七年级期末）下表是两种“5G优惠套餐”计费方式．（月费固定收，主叫不超时，流量不超量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费）月费（元）主叫（分钟）流量（GB）接听超时（元/分钟）超流量（元/GB）方式一4920050免费0.203方式二6925060免费0.152（1）若某月小玲主叫通话时间为220分钟，上网流量为80GB，则她按方式一计费需_______元，按方式二计费需_______元；若她按方式二计费需129元，主叫通话时间为240分钟，则上网流量为________GB．（2）若上网流量为54GB，是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）143，109，90；（2）存在，t＝240【分析】（1）分别按照方式一与方式二的方案进行计算，求解流量时，要注意先减去月费再用剩余的费用除以超流量的单价，最后要加上套餐内包含的流量；（2）分别在0≤t＜200，200≤t≤250，t＞250中进行讨论求解即可．【详解】（1）方式一：49+(220-200)×0.2+(80-50)×3=143元，方式二：69+(80-60)×2=109元，使用流量：(129-69)÷2+60=90GB，故答案为：143；109；90．（2）当0≤t＜200时，49＋3(54﹣50)＝61≠69，∴此时不存在这样的t；当200≤t≤250时，49＋0.2(t﹣200)＋3(54﹣50)＝69，解得t＝240；当t＞250时，49＋0.2(t﹣200)＋3(54﹣50)＝69＋0.15(t﹣250)，解得t＝210（舍）．故若上网流量为54GB，当主叫通话时间为240分钟时，两种方式的计费相同．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准数量关系正确进行计算和列方程是解题的关键．◎类型三：收费方案决策9．（2022·四川·成都七中七年级期中）某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都折优惠．”若全票价是元张，设学生人数是，甲旅行社收费为，乙旅行社收费为．(1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式．(2)学生们通过计算发现，选择两家旅行社的费用一样多，则共有多少人参加旅游？【答案】(1)，(2)5【分析】（1）根据收费总额学生人数单价校长的票价就可以分别求出两个旅行社的收费；（2）令，求得，然后求出总人数即可．（1）解：学生人数是，由题意可知，，；（2）解：∵两家旅行社的费用一样多，∴，∴，总人数为，答：共有人参加旅游．【点睛】本题考查了一次函数的应用，运用一次函数的解析式解决方案设计问题的运用，在解答时根据两个解析式建立方程是关键．10．（2022·山西阳泉·七年级期末）“春节”期间，小明一家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天开始租用新能源汽车自驾出游，经了解，甲、乙两公司的收费标准如下：甲公司：一次性收取固定租金80元，另外再按租车时间计费，每小时的租费是15元；乙公司：无固定租金，直接以租车时间收费，每小时的租费是30元．(1)若租车时间为x小时，则租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元(结果用含x的代数式表示)；(2)当租车时间为11小时时，选择哪一家公司比较合算？(3)当租车多少时间时，两家公司收费相同？【答案】(1)（80+15x），30x(2)选择甲公司比较合算(3)小时【分析】（1）根据题意可以直接写出代数式；（2）将x=11代入（1）中的代数式，求出相应的值，然后比较大小即可解答本题．（3）两家公司收费相同，即80+15x=30x，解出x即可．(1)解：由题意得，租用甲公司的车所需费用为：（80+15x）元，租用乙公司的车所需费用为：30x元；故答案为：（80+15x），30x．(2)解：当x=11时，80+15×11=245元，30×11=330元，∵245元＜330元，∴选择甲公司比较合算．(3)解：由题意得，80+15x=30x解得：x=．答：当租车小时时，两家公司收费相同．【点睛】此题考查了由实际问题列代数式和一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意列代数式，找等量关系列方程．11．（2022·湖南益阳·七年级期末）5名老师带领若干名学生旅游（旅游费统一支付）他们联系了标价相同的两家旅行社，经洽谈，旅行社给的优惠条件是教师全额付款，学生按七折付款，旅行社给的优惠条件是全体师生按八折付款．(1)若两家旅行社的标价都是每人（）元，学生有人，请用含，的代数式分别表示选择，家旅行社时他们的旅游费用；(2)学生有多少人时，两家旅行社的收费相同？(3)现有学生20人，那么他们选择哪家旅行社旅游费用少？【答案】(1)旅行社：，旅行社：(2)10人(3)旅行社【分析】（1）根据学生人数和票价直接写出关系式即可；（2）根据收费相同，列出方程，解方程即可；（3）算出A、B两个旅行社需要的费用进行对比即可．(1)解：A旅行社：，旅行社：；(2)根据题意得：，解得：，答：学生10人时，两家旅行社的收费相同；(3)当学生有20人时，A旅行社的费用为：，旅行社的费用为：，∵，∴，∴选择A旅行社的费用少．【点睛】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用，方案选择问题，正确列出代数式，得到方程是解题的关键．12．（2022·湖北·武汉市黄陂区教育局七年级期末）用A4纸在某誊（teng）印社复印文件，复印文件不超过20页时，每页收费0.15元，复印页数超过20页时，超过部分每页收费0.1元；在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.12元．(1)根据题意，填写下表：复印页数（页）1030……誊印社收费（元）1.5……图书馆收费（元）……(2)复印张数为多少时，两处的收费相同?(3)某同学先后两次分别在誊印社、图书馆复印文件共花费12元（两处均有消费），该同学复印文件的最少页数可能为___________（直接写出结果）．【答案】(1)见解析(2)50(3)95【分析】（1）根据两种复印方式的收费标准填表即可；（2）设复印x张时，两处收费相同，根据题意列出方程求解即可；（3）使复印的页数最少，而超过20页后复印社的单价比图书馆的单价低，则复印社复印20页，剩下的都在图书馆复印即可保证复印的页数最少，由此求解即可．(1)解：由题意得：复印页数（页）1030……誊印社收费（元）1.54……图书馆收费（元）1.23.6……(2)解：设复印x张时，两处收费相同，由题意得：，解得，答：复印张数为50张时，两处的收费相同；(3)解：∵要使复印的页数最少，而超过20页后复印社的单价比图书馆的单价低，∴复印社复印20页，剩下的都在图书馆复印即可保证复印的页数最少，∴在图书馆复印的花费=12-20×0.15=9元，∴在图书馆复印的页数=9÷0.12=75张，∴最少复印20+75=95页．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合计算的应用，正确理解题意是解题的关键．◎类型四：运输方式方案决策13．（2020·江苏·滨海县第一初级中学七年级阶段练习）库尔勒某乡A、B两村盛产香梨，A村有香梨20吨，B村有香梨30吨，现将这些香梨运到C、D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存24吨，D仓库可储存26吨，从A村运往C、D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C、D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的香梨为x吨．费用CDA40元/吨45元/吨B25元/吨32元/吨(1)从A村运往D仓库的香梨为吨；从B村运往D仓库的香梨为吨．(用含x的代数式表示)(2)A村运香梨往两仓库的总运输费用是多少？B村运香梨往两仓库的总运输费用是多少？请分别用含x的代数式表示．(3)请问怎样调运，才能使两村的运费之和为1716元？请求出x的值．【答案】(1)（20﹣x），（6+x）(2)A村：﹣5x+900；B村：7x+792(3)12【分析】（1）由题意可直接求解；（2）由运费＝单价×吨数，可求解；（3）由两村的运费之和为1716元，列出方程可求解．(1)解：∵从A村运往C仓库的香梨为x吨，∴从A村运往D仓库的香梨为（20﹣x）吨，从B村运往D仓库的香梨＝26﹣（20﹣x）＝（6+x）吨，故答案为：（20﹣x），（6+x）；(2)解：由题意得：A村：40x+45（20﹣x）＝（﹣5x+900）元，B村：25（24﹣x）+32（6+x）＝（7x+792）元；(3)由题意得，﹣5x+900+7x+792＝1716，解得x＝12，答：x的值为12．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找到正确的数量关系是解题的关键．14．（2022·江苏无锡·七年级期末）甲，乙两个仓库向A，B两地运送水泥，已知甲库可调出100t水泥，乙库可调出80t水泥，A地需70t水泥，B地需110t水泥，两库到A，B两地的路程和运费如下表：（表中运费栏“元/（t•km）”表示每t水泥运送1km所需人民币）路程（km）运费（元/t•km）运量（t）甲库乙库甲库乙库甲库乙库A15201212xB2025810设甲库运往A地水泥为xt，请填写好表．(1)设甲库运往A地水泥为xt，请填写好表．(2)根据这张表，甲库运往A地的总费用是，乙库运往B地的总费用是，所以全部费用是．(3)若所拨全部费用是35600元，写出一种可行的运输方案．【答案】(1)见解析(2)180x，(250x+2500)，(30x+35300)(3)甲向A地运10吨，向B地运90吨，乙向A地运60吨，向B地运20吨时，总运费为35600元．【分析】（1）根据题意可表示出甲库运往B地的水泥，乙库运往A地和B地的水泥吨数；（2）根据总运费等于运往两地的费用之和列式整理即可得解；（3）根据总运费为35600元列出方程计算即可求解．(1)解：（1）设甲库运往A地水泥xt，则运往B地水泥（100-x）t，乙库运往A地（70-x）t，B地的水泥110-（100-x）=（10+x）t，填表如下：路程（km）运费（元/t•km）运量（t）甲库乙库甲库乙库甲库乙库A15201212x70-xB2025810100-x10+x(2)解：甲库运往A地的总费用是15×12x=180x，乙库运往B地的总费用是25×10×（10+x）=250x+2500，所以全部费用是15×12x+20×8×（100-x）+20×12×（70-x）+25×10×（10+x）=180x+16000-160x+16800-240x+2500+250x=30x+35300．故答案为：180x，(250x+2500)，(30x+35300)；(3)根据题意得：30x+35300=35600，解得x=10．100-x=90，70-x=60，10+x=20，故甲向A地运10吨，向B地运90吨，乙向A地运60吨，向B地运20吨时，总运费为35600元．【点睛】本题考查了列代数式以及一元一次方程的实际应用问题．解题的关键是理解题意，读懂表格求解．15．（2022·重庆涪陵·七年级期末）榨菜鲜嫩香脆、鲜香可口，是经独特的加工工艺制成的风味产品．，两地分别有榨菜50吨和40吨，需要全部运送到，两地去销售，其中地需要榨菜30吨，地需要榨菜60吨；已知从，两地到，两地的运价如下表：到地到地地每吨20元每吨16元地每吨15元每吨