垂直于弦的直径 课件

24.1.2垂直于弦的直径24.1.2垂直于弦的直径1问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对2

由此你能得到圆的什么特性？可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

活动一不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗?

?由此你能得到圆的什么特性？可以发现：圆是轴对称图形。3ABCD思考：1、图中有哪些相等的量？O2.AB作怎样的变换时，AC=BC,AD=BD？ABCD思考：4ABCD思考：1、图中有哪些相等的量？O2.AB作怎样的变换时，AC=BC,AD=BD？ABCD思考：5ABCD思考：1、图中有哪些相等的量？O2.AB作怎样的变换时，AC=BC,AD=BD？ABCD思考：6ABCD思考：1、图中有哪些相等的量？O2.AB作怎样的变换时，AC=BC,AD=BD？ABCD思考：7ABCD思考：1、图中有哪些相等的量？O2.AB作怎样的变换时，AC=BC,AD=BD？ABCD思考：8ABCD思考：1、图中有哪些相等的量？O2.AB作怎样的变换时，AC=BC,AD=BD？ABCD思考：9CD1.图中有哪些相等的量？？O3.将弦AB进行平移时，以上结论是否仍成立？ABAB4.当弦AB与直径CD不垂直时,以上结论是否仍成立？思考演示

?2.AB作怎样的变换时，AC=BC,AD=BDECD1.图中有哪些相等的量？？O3.将弦AB进行平移时，10探索发现⌒已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。⌒⌒⌒⌒叠合法·OABCDE把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ和ＢＣ

重合，ＡＤ和ＢＤ重合．⌒⌒⌒⌒探索发现⌒已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，11探索发现OEDCBATheexplorationdiscovered

垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。即：如果CD过圆心，且垂直于AB，则AE=BE,AD=BD,AC=BC注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可。⌒⌒⌒⌒探索发现OEDCBATheexplorationdisc12几何语言：∵CD是直径,AB为⊙O的弦,且ＣＤ⊥ＡＢ·OBCDAE∴ＡＥ＝ＢＥＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ⌒⌒⌒⌒几何语言：·OBCDAE∴ＡＥ＝ＢＥ⌒⌒⌒⌒13议一议：ABDEOCFG如图，当直径ＣＤ平分弦ＡＢ(不是直径)时，ＣＤ与ＡＢ垂直吗？AC=BC,AD=BD吗？为什么？如果弦ＡＢ也是直径，上述结论是否成立？⌒⌒⌒⌒议一议：ABDEOCFG如图，当直径Ｃ14推论:1、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.1、几何语言:

∵CD是直径,AB为⊙O的弦（不是直径）,且ＡＥ＝ＢＥ∴ＣＤ⊥ＡＢAC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒2、平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦（不是直径）,并且平分弧所对的弦.推论:1、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且1、几何语言15下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是是火眼金睛不是OEDCAB下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是是火眼金睛不是OEDC16借你慧眼垂径定理的几个基本图形。CD过圆心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BD借你慧眼垂径定理的几个基本图形。CD过圆心CD⊥AB于EAE171．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。·OABE2.若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=

cm。轻松过关1．如图，在⊙O中，弦·OABE2.若⊙O的半径为10cm,18夯实基础我思考，我快乐例如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。若OA=10cm,OE=6cm,求弦AB的长。若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？若下面的弓形高为h，则r、d、h之间有怎样的关系?r=d+h即右图中的OE叫弦心距.Rammingfoundation

夯实基础我思考，我快乐例如图，已知在⊙O中，弦AB的长19夯实基础我成功，我快乐变式1：AC、BD有什么关系？OABCD变式2：AC＝BD依然成立吗？变式3：EA＝____,EC=_____。变式4：______ AC=BD.变式5：______ AC=BD.Rammingfoundation

夯实基础我成功，我快乐变式1：AC、BD有什么关系？OABC20夯实基础学会作辅助线如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。Rammingfoundation

夯实基础学会作辅助线如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA21你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?大显身手你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?大显身手2237.4m7.2mABOCE37.4m7.2mABOCE232、在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示。若油面宽AB＝600毫米，求油的最大深度。解决问题2、在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所24垂径定理定理

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.活动一：复习导入

推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧25（2005，天津）如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点AB=10cm,PB=4cm,PO=5cm则⊙O的半径等于

cm活动二：名题引路C7解：连AO，过O点作OC⊥AB于C∴AC=BC=1/2AB=5cm∵BP==4cm∴CP=1cm在Rt△OPC中，PO=5cm，CP=1cm∴OC2=52-12=24在Rt△OAC中，AO2=AC2+OC2=25+24=49∴AO=7cm515（2005，天津）如图，已知AB是⊙O活动二：名题引路C262、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP=3cm,则过P点的弦中，（1）最长的弦=

cm（2）最短的弦=

cm活动四：顺利闯二关

ABCD1085432、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，活动四：顺利闯二27如图，⊙O的直径AB=16cm，M是OB的中点，弦CD经过点M，∠CMA=30°，则CD=

cm活动三：轻松过一关E248

4如图，⊙O的直径AB=16cm，M是OB活动三：轻松过一关E281、（1）⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,

①请画出图形②根据图形，求出AB与CD之间的距离是

。

(2)你能直接写出此题的答案么：

⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,则以A、B、C、D为顶点的四边形的面积等于

cm活动四：顺利闯二关

49cm或7cm7cm或1cm1、（1）⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD,AB=6291、（2007，定西）如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是

。活动五：快乐冲三关

c3cm≤OP≤5cm4531、（2007，定西）如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P302、（2007，江西）如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于F,EF=

。活动五：快乐冲三关

42、（2007，江西）如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,31两条辅助线：