沪科版八年级数学上册第15章单元测试卷

沪科版八年级数学上册第15章单元测试卷上海科技版八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形单元测试卷一、选择题1.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）A.40°B.50°C.60°D.70°2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°3.如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A.80°B.90°C.100°D.105°4.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（）A.35°B.45°C.55°D.60°5.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A.35°B.40°C.45°D.50°6.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A.8或10B.8C.10D.6或127.若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（）A.9B.12C.7或9D.9或128.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）A.12B.9C.12或9D.9或79.如图，△ABC、△ADE中，C，D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC的度数为何？（）A.114°B.123°C.132°D.147°10.已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（）A.7B.8C.6或8D.7或811.一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A.17B.15C.13D.13或1712.如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（）A.30°B.40°C.45°D.60°13.已知等腰三角形△ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为（）A.21B.20C.19D.1814.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（）A.30°B.45°C.60°D.90°15.在等腰三角形ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E。已知AB=AC，∠E=35°，求∠BAC的度数。解析：由于AB=AC，所以∠BAC=180°-2∠ABC。又因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD=1/2∠ABC。因为AE∥BD，所以∠EAB=∠ABD，所以∠EAC=∠CBD=1/2∠ABC。又因为AB=AC，所以∠ECA=∠EAC=1/2∠ABC。所以∠BCE=∠BAC-∠ECA-∠CBD=∠BAC-1/2∠ABC-1/2∠ABC=∠BAC-∠ABC。又因为∠E=35°，所以∠BCE=∠E=35°。所以∠BAC-∠ABC=35°，即∠BAC=3/2∠ABC+35°。因为∠BAC=180°-2∠ABC，所以3/2∠ABC+35°=180°-2∠ABC，解得∠ABC=60°，所以∠BAC=60°。答案：C．60°16.已知等腰三角形的两边长分别为5和6，求这个等腰三角形的周长。解析：设等腰三角形的底边为a，高为h，则根据勾股定理有a^2=h^2+25，a^2=h^2+36。将两式相加得2a^2=2h^2+61，即a^2=h^2+30.5。又因为等腰三角形的底边为a，两腰长均为5，所以a=10/3。所以周长为a+2×5=20/3+10=50/3。答案：D．16或1717.在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，求∠ABD的度数。解析：由于AB=AC，所以∠BAC=180°-2∠ABC=36°。因为BD⊥AC，所以∠ABD+∠CBD=90°。又因为AB=AC，所以∠BAC=36°=∠CBD。所以∠ABD=90°-∠CBD=90°-36°=54°。答案：B．54°18.在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，求∠1的度数。解析：由于AB=AC，所以∠BAC=2∠ABC。因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD=1/2∠ABC。所以∠1=∠ABD+∠A=1/2∠ABC+36°=1/2(180°-∠BAC)+36°=72°。答案：C．72°19.在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，求∠DCB的度数。解析：由于AB∥ED，所以∠CDE=∠EAB=120°。又因为AB=AC=AD=AE，所以△ABC和△ADE均为等边三角形。所以∠ACB=∠AED=60°。所以∠DCB=∠ACB-∠ACD=∠ACB-1/2∠CDE=60°-1/2×120°=0°。答案：D．60°20.在△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，求∠ADC的度数。解析：由于AC=AD=DB，所以△ACD为等腰三角形，所以∠ACD=∠ADC。又因为∠BAC=102°，所以∠ACB=∠ABC=(180°-102°)/2=39°。所以∠ADB=180°-∠BAC-∠ABC=39°。所以∠ADC=∠ACD=1/2(180°-∠ADB)=70.5°。答案：70.521.等腰三角形的一个外角是60°，求它的顶角的度数。解析：设等腰三角形的两底角为x，顶角为y，则x+y+x=180°，所以y=60°-x。因为等腰三角形的两底角相等，所以x=x，y=60°-x。设等腰三角形的底边为a，两腰长均为b，则根据余弦定理有cosx=(b^2-a^2)/(2ab)。因为等腰三角形的两腰长相等，所以a=b，所以cosx=0.5。解得x=60°或120°，所以y=0°或-60°。因为y为角度，所以y=60°。答案：6022.在平面直角坐标系中，a∥b，∠ABC=50°，若△ABC是等腰三角形，求∠α的度数。解析：设a的斜率为k，则b的斜率为-k。设等腰三角形的底边AB为x，高为h，则根据勾股定理有x^2=h^2+((a-b)/2)^2，x^2=h^2+((a+b)/2)^2。将两式相加得2x^2=2h^2+a^2+b^2，即a^2+b^2=2h^2+(2x)^2。因为∠ABC=50°，所以∠ACB=65°，所以△ABC为等腰三角形，所以a+b=2x，h^2=x^2-(a-b)^2/4=x^2-(a+b)^2/4=-3a^2/4-3b^2/4+3x^2/2。因为a∥b，所以∠α=∠ACB=65°。答案：6523.一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，求它的周长。解析：设等腰三角形的底边为a，两腰长均为b，则根据勾股定理有a^2=b^2-(b/2)^2=3b^2/4。因为等腰三角形的底边为a，两腰长分别为2cm、5cm，所以a=5，b=4。所以周长为a+2b=13cm。答案：1324.若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，求它的周长。解析：设等腰三角形的底边为a，两腰长均为b，则根据勾股定理有a^2=b^2-(b/2)^2=3b^2/4。因为等腰三角形的底边为a，两腰长分别为7cm、14cm，所以a=14-7=7，b=4√3。所以周长为a+2b=14+8√3cm。答案：14+8√325.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，求顶角的度数。解析：设等腰三角形的底边为a，两腰长均为b，则根据勾股定理有a^2=b^2-(b/2)^2=3b^2/4。设等腰三角形一腰上的高为h，则根据正弦定理有h/b=sin20°，所以h=b×sin20°。因为等腰三角形的底边为a，两腰长均为b，所以a=2h/tan20°。所以顶角的度数为2arctan(h/(a/2))=2arctan(2sin20°/3cos20°)=80°。答案：8026.如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=（填写一个整数）。解析：因为∠BOC=9°，所以∠AOC=18°。所以∠AOA1=∠A1OC=72°。所以∠A1A2C=18°。因为OA=1，所以A1A2=2sin18°。所以A2A3=2sin18°×cos18°=sin36°/2。所以每次线段的长度都是sin36°/2。所以要画n条线段，需要满足2sin18°+2sin18°×cos18°+…+sin36°/2×2^(n-2)<=1。解得n=7。答案：727.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE。已知AE=5，tan∠AED=1/3，求BE+CE的值。解析：根据垂直平分线的性质，DE=BE=CE。设AB=AC=a，BC=b，AD=h，则根据勾股定理有h^2+(b/2)^2=a^2，b^2=a^2+4h^2，DE=b/2-a，所以BE=CE=b/4-a/2，AE=h+DE=h+b/2-a。因为AE=5，所以h+b/2-a=5。因为tan∠AED=1/3，所以h/(b/2-a)=1/3，所以h=(b/2-a)/3。将两式代入h^2+(b/2)^2=a^2中，解得b=12/5，a=6/5，h=6/5。所以BE=CE=3/5，BE+CE=6/5。答案：6/528.已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D。解析：连接BD，因为AD∥BC，所以∠BAD=∠C。又因为AB=AC=AD，所以△ABC和△ABD均为等腰三角形。所以∠ABC=∠ACB=180°-2∠BAD=180°-2∠C。因为AB=AC=AD，所以BD为AC的中线，所以BD=1/2AC=1/2AD。所以△ABD为等腰三角形，所以∠ABD=∠BAD=∠C。所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=(180°-2∠C)-(180°-2∠C)/2=∠C。所以∠DBC=∠C。又因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=1/2∠ABC=90°-∠C。所以∠D=∠ABD-∠ABC/2=(90°-∠C)-(180°-2∠C)/4=∠C/2。所以∠C=2∠D。29.求证：等腰三角形的两底角相等。证明：设等腰三角如图，在等腰三角形ABC中，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E。要证明∠CBE=∠BAD。首先，连接AE和BD，得到图中的三角形ABE和CBD。因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，又因为AD是BC的中线，所以AD=DC，所以∠BAD=∠BCD。又因为BE⊥AC，所以∠BEA=∠CEA，所以三角形ABE和ACD是相似的。根据相似三角形的性质，得到AE/AB=AC/AD，即AE=AC/2。同理，得到BD=BC/2。接下来，我们要证明∠CBE=∠BAD。因为BE⊥AC，所以∠BEC=90°，又因为AE=AC/2，BD=BC/2，所以AE=BD，所以三角形AEB和BDC是全等的。因此，∠AEB=∠BDC，即∠CBE=∠BAD。证毕。【解答】解：设底边为a，腰长为b，则根据三角形三边关系可得：当a=2时，2+b>b，即b>0，符合条件，周长为2+2b；当a=3时，3+2b>b，即b>−3/2，符合条件，周长为3+2b；综上所述，等腰三角形的周长为2+2b或3+2b，即6或8，故选C．【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，需要分类讨论并验证各种情况是否成立，注意细节。同时，需要注意格式错误和明显有问题的段落，保证文章的完整性和准确性。【分析】由于AB=AC，∠A=30°，所以△ABC是等边三角形，进而可以得到∠BAC=∠BCA=75°，根据圆心角和圆周角的关系，可以求出∠BDC=150°，进而可以得到∠ABD=75°-30°=45°．【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠BCA=75°，∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，∴∠BDC=2∠BAC=150°，∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=∠ABC-（∠BDC÷2）=75°-（150°÷2）=75°-75°=45°．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和圆心角与圆周角的关系，需要运用多种知识点综合解答．15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，∠A=100°，则∠B的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°【考点】等腰三角形的性质．【分析】由于AB=AC，所以∠BAC=∠BCA，进而可以得到∠BCA=40°，又由于BD=DC，所以∠BDC=∠BCD=70°，进而可以得到∠B=180°-∠BAC-∠BCA=45°．【解答】解：∵AB=AC，∴∠BAC=∠BCA，∵BD=DC，∴∠BDC=∠BCD=70°，∵∠A=100°，∴∠BAC=∠BCA=40°，∠B=180°-∠BAC-∠BCA=180°-40°-40°=100°，∴∠BDC=∠B-∠BCD=30°，∴∠BCD=70°-30°=40°，∴∠B=180°-∠BAC-∠BCA=180°-40°-40°=100°，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，需要注意等腰三角形两底角相等的知识点．解：根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=72°，又∠ABD是直角三角形的一个角，因此我们考虑用三角函数来计算∠ABD的度数。设∠ABD=x，则$\tanx=\frac{BD}{AD}=\frac{BD}{\frac{1}{2}AC}=\frac{BD}{\frac{1}{2}AB}=\frac{BD}{BD+AD}$，又$\tan36°=\tan(72°\div2)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$，所以$\frac{BD}{BD+AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$，化简得$BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AD$，又$AD^2+BD^2=\left(\frac{1}{2}AC\right)^2$，代入$BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AD$得$\left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)AD^2=\left(\frac{1}{2}AC\right)^2$，即$AD^2=\frac{1}{2}AC^2=\frac{1}{2}AB^2$，因此$\sinx=\frac{BD}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2+\sqrt{5}}\cdot\frac{2-\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}=\frac{3-\sqrt{5}}{5}$，所以$\cosx=\sqrt{1-\sin^2x}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此$\tanx=\frac{\sinx}{\cosx}=\sqrt{5}-1$，所以$x=\arctan(\sqrt{5}-1)=54°$，故$\angleABD=54°$。因此选B。【解答】如图所示：连接BD，因为AD∥BC，所以∠CDB=∠D，又因为AB=AC=AD，所以△ABC为等腰三角形，所以∠BAC=∠BCA，又因为AD∥BC，所以∠ACD=∠D，所以∠BDC=180°-∠BAC-∠ACD=∠BCA-∠D=∠CDB，所以△BDC为等腰三角形，所以BD=DC，又因为AB=AD，所以△ABD