因式分解(提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法)课件

因式分解因式分解的方法因式分解因式分解的方法1提公因式法一。公因式的确定方法：二。提公因式法分解因式的步骤：1。取各项系数的最大公约数2。取各项相同字母的最低次幂。1。确定公因式2。用公因式去除多项式的各项得另一个因式3。写成这两个因式的积的形式。提公因式法一。公因式的确定方法：二。提公因式法分解因式的步骤2四．填空（1）3x2+6=

（2）7x2-21x=

（3）8a3b2-12ab2c+ab=

（4）-24x3-12x2+28x=

（5）（6）-5ab2+20a2b-15ab3=

（7）am-am-1=（）（a-1）

3（x2+2）7x（x-3）ab（8a2b-12bc+1）-4x（6x2+3x-7）-5ab（b-4a+3b2）am-1(a+2b)四．填空3（x2+2）7x（x-3）ab（8a2b-12bc3注意：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数。在提出“-”号时，多项式的各项都要变号！注意：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括4

分析：(b+c)是这两个式子的公因式,可以直接提出.例2分解因式.讨论5：公因式是多项式时，如何提公因式？分析：(b+c)是这两个式子的公因式,可以直5提公因式法-因式分解：24x3y－18x2y

；7ma+14ma2；(3)－16x4+32x3－56x2；(4)－

7ab－14abx+49aby；(5)2a(y－z)－3b(y－z)；(6)p(a2+b2)－q(a2+b2).提公因式法-因式分解：24x3y－18x2y；6拓展与提高1.20042+2004能被2005整除吗?

拓展与提高1.20042+2004能被2005整除吗?7六．利用分解因式计算：（1）-4.2×3.14-3.5×3.14+17.7×3.14

(2)30.5×768.3-768.3×20.5

解：原式=-3.14×(4.2+3.5-17.7)=-3.14×(-10)=-31.4解:原式=768.3(30.5-20.5)=768.3×10=7683六．利用分解因式计算：解：原式解:原式=768.3(30.58拓展与探究1.

已知n为非零的自然数,先将2n+4-2n分解因式,再说明2n+4-2n能否被30整除.

.

2.若a=-2，a+b+c=-2.8，求a2（-b-c）-3.2a（c+b）的值。

解:因为n是非零自然数,所以2n+4-2n=2n(24-1)=2n×15=2n-1×30，所以,2n+4-2n能被30整除。解:因为a=-2，a+b+c=-2.8,所以-2+b+c=-2.8,解得b+c=-2.8+2=-0.8原式=-a(b+c)(a+3.2)=2×(-0.8)×1.2=-1.92拓展与探究解:因为n是非零自然数,解:因为a=9专项训练一：确定下列各多项式的公因式。专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。专项训练一：确定下列各多项式的公因式。专项训练二：利用乘法分10公式法

(1)平方差公式：

a2-b2=(a+b)(a-b)(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2公式法(1)平方差公式：11平方差公式反过来就是说：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积a²-b²=(a+b)(a-b)因式分解平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²整式乘法平方差公式反过来就是说：两个数的平方差，等于这两个数的和与这12尝试一下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？（1）（2）（3）（4）（5）尝试一下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？（1）（13分解因式(1)a2－

b2;(2)9a2－4b2;(3)x2y－4y;(4)－a4+16.我优秀分解因式我优秀14将下面的多项式分解因式1)m²-162)4x²-9y²m²-16=m²-4²=(m+4)(m-4)

a²-b²=(a+b)(a-b)4x²-9y²=(2x)²-(3y)²=(2x+3y)(2x-3y)将下面的多项式分解因式m²-16=m²-4²15例1.把下列各式分解因式（1）16a²-1(2)4x²-m²n²(3)—x²-—y²

925116(4)–9x²+4解：1）16a²-1=(4a)²-1=(4a+1)(4a-1)解：2）4x²-m²n²=(2x)²-(mn)²=（2x+mn)(2x-mn)例1.把下列各式分解因式925116(4)–9x²16例2.把下列各式因式分解(x+z)²-(y+z)²4(a+b)²-25(a-c)²4a³-4a(x+y+z)²-(x–y–z)²5)—a²-212解：1.原式=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)]=(x+y+2z)(x-y)解：2.原式=[2(a+b)]²-[5(a-c)]²=[2(a+b)+5(a-c)][2(a+b)-5(a-c)]=(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c)解：3.原式=4a(a²-1)=4a(a+1)(a-1)解：4.原式=[(x+y+z)+(x-y-z)]

×[(x+y+z)-(x-y-z)]=2x(2y+2z)=4x(y+z)例2.把下列各式因式分解12解：解：解：解：17

思维延伸2.对于任意的自然数n，(n+7)2－(n－5)2能被24整除吗?为什么?思维延伸18巩固练习：1.选择题：1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（）4X²+y²B.4x-(-y)²C.-4X²-y³D.-X²+y²-4a²+1分解因式的结果应是（）-(4a+1)(4a-1)B.-(2a–1)(2a–1)-(2a+1)(2a+1)D.-(2a+1)(2a-1)2.把下列各式分解因式：1）18-2b²2)x4–1DD1)原式=2（3+b)(3-b)2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)巩固练习：DD1)原式=2（3+b)(3-b)19完全平方公式完全平方公式20现在我们把这个公式反过来很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“完全平方公式”现在我们把这个公式反过来很显然，我们可以运用以上这个公式来分21我们把以上两个式子叫做完全平方式“头”平方,“尾”平方,

“头”“尾”两倍中间放.我们把以上两个式子叫做完全平方式“头”平方,“尾”平方22判别下列各式是不是完全平方式是是是是判别下列各式是不是完全平方式是是是是23完全平方式的特点：1、必须是三项式2、有两个平方的“项”3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍完全平方式的特点：1、必须是三项式2、有两个平方的“项”3、24下列各式是不是完全平方式是是是否是否下列各式是不是完全平方式是是是否是否25请补上一项，使下列多项式成为完全平方式请补上一项，使下列多项式成为完全平方式26我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因式我们称之为：运用完全平方公式分解因式我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因式27例题：把下列式子分解因式4x2+12xy+9y2=(首±尾)2a2+2×a×b+b2(a+b)2例题：把下列式子分解因式4x2+12xy+9y2=(首±尾)28请运用完全平方公式把下列各式分解因式：请运用完全平方公式把下列各式分解因式：295、把分解因式得（）A、B、6、把分解因式得（）A、B、BA5、把分解因式得BA307、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（）A、20

B、-20C、10D、-108、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（）A、6

B、±6C、3D、±3BB7、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,31思考题:1、多项式:(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解吗?2、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式：X4+4x2+()思考题:32小结：1、是一个二次三项式2、有两个“项”平方,而且有这两“项”的积的两倍或负两倍3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解完全平方式具有：小结：1、是一个二次三项式2、有两个“项”平方,而且有这两“331.利用因式分解计算：1002-992+982-972+962-952+…+22-12【解析】原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97）+…+(2+1)(2-1)=199+195+191+…

+3

=50501.利用因式分解计算：【解析】34知识解密16、（2005年浙江省）在日常生活中如上网等都需要密码，有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译。例如用多项式x4-y4因式分解的结果（x-y)(x+y)(x2+y2)来设置密码，当取x=9,y=9时，可得一个六位数的密码“018162”。你知道这是怎么来的吗?小明选用多项式4x3-xy2，取x=10,y=10时。用上述方法产生的密码是什么?(写出一个即可)应用性作业知识解密16、（2005年浙江省）在日常生活中如上网等都需要352、计算：

25×2652－1352×25选做题：1、分解因式：4、已知x+y=7,x-y=5,求代数式x2-y2-2y+2x的值.5、若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.课后作业:3、1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整除?6、英国数学家狄摩根在青年时代,曾有人问他:“今年多大年龄？”狄摩根想了想说：“今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差是141，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗？”假设狄摩根的年龄为x岁，他弟弟的年龄为y岁，你能算出他们的年龄吗？2、计算：25×2652－1352×25选做题：136十字相乘法因式分解之

二次三项式

十字相乘法因式分解之37口答计算结果(x+3)(x+4)(x+3)(x-4)(3)(x-3)(x+4)(4)(x-3)(x-4)整式乘法中，有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab口答计算结果(x+3)(x+4)整式乘法中，有38(x

+a

)(x

+b)=

如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以进行如上的因式分解。(x+a)(x+b)=如果二次三项式39例一：或步骤：①竖分二次项与常数项②交叉相乘，和相加③检验确定，横写因式十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。例一：或步骤：①竖分二次项与常数项②交叉相乘，和相加③检验确40举一反三：小结：用十字相乘法把形如二次三项式分解因式为的形式(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱)(x+a)(x+b)举一反三：小结：用十字相乘法把形如二次三项式分解因式为(顺口41学以致用将下列各式分解因式学以致用将下列各式分解因式42

试将分解因式提示：当二次项系数为-1时，先提出负号再因式分解。

试将分解因式提示：当二次项系数为-1时，先提出负号再43

独立练习：把下列各式分解因式独立练习：把下列各式分解因式44练习：将下列各式分解因式1、7x－13x＋622、－y－4y＋1223、15x＋7xy－4y224、10(x＋2)－29(x＋2)＋102答案(7x＋6)(x＋1)5、x－(a＋1)x＋a2答案－(y＋6)(y－2)答案(3x－y)(5x＋4y)答案(2x－1)(5x＋8)答案(x－1)(x－a)练习：将下列各式分解因式1、7x－13x＋622、－y451.十字相