同济版大一高数第十章习题课课件

高等数学第十八讲1高等数学第十八讲1习题课一、重积分计算的基本方法二、重积分计算的基本技巧三、重积分的应用第十章重积分的计算及应用2习题课一、重积分计算的基本方法二、重积分计算的基本技巧一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:面、线、点)3.掌握确定积分限的方法——累次积分法3一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或质心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号练习题4.利用重积分换元公式P1811(总习题十);P1824,7(2),9解答提示:(接下页)4二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺1、二重积分的定义定义:将区域D

任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.记作是定义在有界区域D上的有界函数,２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积．二重积分是柱体的体积的负值．51、二重积分的定义定义:将区域D任意分成n个小区域任性质１为常数时，性质２３、二重积分的性质性质３对区域具有可加性性质４为D的面积若性质５若在D上，6性质１为常数时，性质２３、二重积分的性质性质３对区域具有可加性质６性质７（二重积分中值定理）7性质６性质７（二重积分中值定理）7特别：轮换对称：

若D关于直线对称，则.例如计算：8特别：轮换对称：若D关于直线对称，则.例如计算：8４、二重积分的计算［X－型］

X-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴（１）直角坐标系下

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线［Y－型］的直线与区域边界相交不多于两个交点.与区域边界相交不多于两个交点.9４、二重积分的计算［X－型］X-型区域的特点：穿过区域（２）极坐标系下10（２）极坐标系下10两个方面。1．若关于轴对称，时，当时，运用对称性时，当则有必须兼顾被积函数与积分区域两个方面的对称性要相匹配，才能利用对11两个方面。1．若关于轴对称，时，当6、重积分的应用(1)体积设S曲面的方程为：曲面S的面积为(2)曲面面积126、重积分的应用(1)体积设S曲面的方程为：曲面S的面(3)质心若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(A为D的面积)得D的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度13(3)质心若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.(4)转动惯量14如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.((4)转动惯量15(4)转动惯量15例1计算积分其中D由所围成.提示:如图所示连续,所以16例1计算积分其中D由所围成.提示:如图所示连续,所以16解例2.17解例2.17解例3.18解例3.18例4.计算其中解:对于含有绝对值的函数,通常分区域积分原式=利用极坐标19例4.计算其中解:对于含有绝对值的函数,通常分区域例5.

计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)

利用对称性.围成.20例5.计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直(2)

积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得例5.

计算二重积分其中:(2)D由直线围成.21(2)积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得例(2)提示:两部分说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线将D分成在第一象限部分.其中D为圆域22(2)提示:两部分说明:若不用对称性,需分块积分以解：例6计算用极坐标计算。对称。如图D是关于直线23解：例6计算用极坐标计算。对称。如图D是关于直线2例7.

计算积分解:原式24例7.计算积分解:原式24例8计算，其中解：25例8计算，其中解：256、三重积分的定义定义.

设存在,称为体积元素,

若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式”极限记作266、三重积分的定义定义.设存在,称为体积元素,若对7、三重积分的几何意义8、三重积分的性质类似于二重积分的性质．277、三重积分的几何意义8、三重积分的性质类似于二重积分的性质投影法方法1.三次积分法设区域9、三重积分的计算28投影法方法1.三次积分法设区域9、三重积分的计算28方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为该物体的质量为记作29方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱(２)柱面坐标(３)球面坐标30(２)柱面坐标(３)球面坐标30例如计算：设轮换对称：31例如计算：设轮换对称：315)已知则提示:其形心为其体积为325)已知则提示:其形心为其体积为326)设在柱坐标系下,有则提示:336)设在柱坐标系下,有则提示:33例1：计算解由轮换对称有设34例1：计算解由轮换对称有设34

解例2被积函数仅为z的函数，截面为圆域：故采用“先二后一”的方法。35解例2被积函数仅为z的函数，截面为圆域：故采用“先二后一”例3.

计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,36例3.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,36三、重积分的应用1.几何方面面积(平面域或曲面域),体积,形心质量,转动惯量,质心,引力证明某些结论等2.物理方面3.其它方面37三、重积分的应用1.几何方面面积(平面域或曲面域)例3.计算其中是曲线绕轴旋转一周而成的曲面面所围的立体。解：绕轴旋转得

由旋转面方程为所围成的立体如图.与两平38例3.计算其中是曲线绕轴旋转一周而成的曲面面所围的立体。解：解法1.用“先二后一”计算例4.计算其中是曲线绕轴旋转一周而成的曲面面所围的立体。与两平旋转面方程为39解法1.用“先二后一”计算例4.计算其中是曲线绕轴旋转所围成立体的投影区域如图，解法2.(用柱坐标计算)旋转面方程为40所围成立体的投影区域如图，解法2.(用柱坐标计算)旋转面旋转面方程为41旋转面方程为41或旋转面方程为42或旋转面方程为427(1).计算积分其中是两个球(R>0)的公共部分.提示:由于被积函数缺x,y,原式=利用“先二后一”计算方便.P124437(1).计算积分其中是两个球(R>0)的公7(3).计算三重积分其中是由

xoy平面上曲线所围成的闭区域.提示:绕x轴旋转而成的曲面与平面P183原式＝447(3).计算三重积分其中是由xoy平面上曲线所围成7(3).计算三重积分其中是由

xoy平面上曲线所围成的闭区域.提示:原式绕x轴旋转而成的曲面与平面P183利用柱坐标457(3).计算三重积分其中是由xoy平面上曲线所围成证明:提示:左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.P1824.46证明:提示:左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.P18(2)质心若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(A为D的面积)得D的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度47(2)质心若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片例1.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,矩形薄片的另一边长度应为多少?提示:建立坐标系如图.由对称性知由此解得问接上去的均匀即有使整个薄片的形心恰好落在圆心上,48例1.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上一个例2.在半径为体质心位于球心上，该圆柱体的高应为多少？，以大圆为xoy平面，球心在原点，，故在球面坐标系中解得。的均匀半球体的大圆上接一个半径与球的半径相等材料相同的均匀圆柱体，使拼接后的立解：设高为密度为49例2.在半径为体质心位于球心上，该圆柱体的高应为多少？，以例3.计算二重积分解:其中利用对称性分区域D为(如图),则用形心公式50例3.计算二重积分解:其中利用对称性分区域D为(如图)例4设积分域D是以原点为中心,半径为r的圆域