微探究 圆与动态几何

微探究圆与动态几何圆与动态几何圆与动态几何的基本表现形式是以圆为载体，通过点的运动、直线的运动，探讨点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，或运动中的圆与圆的位置关系。解决这类问题需要运用到分类讨论、数形结合、方程与函数等思想方法。关键是动中觅静、以静制动、以动制动。例如，在例1中，点A、B在直线MN上，AB=11cm，⊙A、⊙B的半径均为1cm，⊙A以每秒2cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也在不断增大，其半径r（cm）与时间t（s）之间的关系式为r=1+t(t≥0)，当⊙A出发后，两圆相切。解决这个问题需要注意圆的运动，关注圆半径的变化，还要考查两圆内切、外切的情形。在例2中，平面直角坐标系中，⊙A的圆心在x轴上，半径为1，直线l为，若⊙A沿x轴向右运动，当⊙A与l有公共点时，点A移动的最大距离是（）。解决这个问题需要以静制动，即在运动过程中，考查图形的临界状态或特殊状态。当⊙A与l相切或相交时，它们有公共点，于是将问题转化为直线与圆相切时的线段计算。动中觅静，即分清图形中不变元素或变动元素，或探寻那些隐含的、在运动中没有改变的不变量或不变关系。在例3中，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q.A、B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动。设运动时间为ts。求PQ的长和当t为何值时，直线AB与⊙O相切。解决这个问题需要动态思考、讨论动点构成的直线AB与⊙O相切的几种位置关系。在例4中，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是BC上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D。当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？解决这个问题需要寻找相似三角形，而动态思考、讨论动点构成的直线与⊙O相切的几种位置关系是解题的关键。试一试直觉引领，点P在射线DE上特殊位置时，线段DP为⊙O的切线。接下来可以展开证明与计算。例5如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D(3,0)和点E(0,4)。动点C从点M(5,0)出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左做匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向做匀速运动。设运动时间为t秒。（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标。（2）以点C为圆心、t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB。①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围。②当△PAB为等腰三角形时，求t的值。分析对于（2），当⊙C与射线DE有公共点时，建立t的不等式组，求t的取值范围。考查两种特殊情形：点A在点D的左侧，⊙C与射线DE相切；当△PAB为等腰三角形，由相等的线段建立t的方程。当⊙C的圆心C由点M(5,0)向左运动，使点A到点D并随继续向左运动时，解得C(5-t,0)，P(3-t,t)；有5-t≤3，即t≥2/3。当点C在点D的左侧时，过点C作CF⊥DE，垂足为F，则由∠CDF=∠EDO，得△CDF∽△EDO，则CF=4t/(5-t)。由CF≤t，即4t/(5-t)≤t，解得t≤25/23。∴当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围为2/3≤t≤25/23。当PA=PB时，有PC⊥AB，∴5-t=3-t，解得t=5/3。当PB=AB时，有PB^2=PQ^2+BQ^2=t^2+(5-t-3+t)^2，解得7t^2-8t-80=0，解得t=4或t=-（不合题意，舍去）。当△PAB为等腰三角形时，t=2/3、4、5或25/23。1.在一个$12\times6$的网格中，有两个圆$\odotA$和$\odotB$，其中$\odotA$的半径为$1$，$\odotB$的半径为$2$。要使$\odotA$与静止的$\odotB$相切，需要将$\odotA$向右平移$1$个单位。2.在一个半径为$3$厘米的圆$\odotO$外部，有一点$B$，$OB$与$\odotO$相交于点$A$，且$AB=OA$。动点$P$从点$A$出发，以每秒$\pi$厘米的速度沿着逆时针方向绕$\odotO$运动一周，回到点$A$后停止。当$P$运动$s$秒时，$BP$与$\odotO$相切。3.在平面直角坐标系$xOy$中，有一条直线$AB$，过点$A(-4,0)$和$B(0,4)$。一个半径为$1$的圆$\odotO$与直线$AB$相切于点$P$，过点$P$作$\odotO$的一条切线$PQ$，$Q$为切点。求切线$PQ$的最小值。4.已知一个以数轴原点$O$为圆心，半径为$1$的圆$\odotO$，且$\angleAOB=45^\circ$。点$P$在数轴上运动，若过点$P$且与$OA$平行的直线与$\odotO$有公共点，设$OP=x$，求$x$的取值范围。5.一个固定直径$AB$将圆$\odotO$分成上下两个半圆，自上半圆上一点$C$作弦$CD\perpAB$，$\angleOCD$的平分线交于点$P$。当点$C$在上半圆上移动时（不包括点$A$和$B$），点$P$（A.到$CD$的距离保持不变B.位置不变C.等分$BD$D.随点$C$的移动而移动）6.一个半径为$1$的圆$\odotO_1$与一个边长为$6$的正方形$ABCD$相切于点$P$，且$O_1O_2\perpAB$，$O_1O_2=8$，其中$O_2$是正方形的中心。将$\odotO_1$按顺时针方向绕点$P$旋转$360^\circ$，在旋转过程中，$\odotO_1$与正方形$ABCD$的边只有一个公共点的情况一共出现几次？7.已知直线$l:y=x+3$，它与$x$轴、$y$轴的交点分别为$A$、$B$两点。（1）求点$A$、$B$的坐标；（2）设$F$是$x$轴上一动点，用尺规作图作出一个圆$\odotP$，使$\odotP$经过点$B$且与$x$轴相切于点$F$（不写作法和证明，保留作图痕迹）；（3）设（2）中所作的$\odotP$的圆心坐标为$P(x,y)$，求$y$与$x$的函数关系式；（4）是否存在这样的$\odotP$，既与$x$轴相切又与直线$l$相切于点$