高中数学必修2空间立体几何大题

高中数学必修2空间立体几何大题1.在三棱锥V-ABC中，平面VAB垂直于平面ABC，且△VAB为等边三角形，AC垂直于BC且AC=BC=AB的一半。(1)证明：VB平行于平面MOC；(2)证明：平面MOC垂直于平面VAB；(3)求三棱锥V-ABC的体积。2.在三棱锥P-ABC中，PA垂直于平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°。(1)求三棱锥P-ABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC垂直于BM，并求该点的位置。3.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4。过E，F的平面α与该长方体的面相交，交线围成一个正方形。(1)在图中画出这个正方形；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值。4.直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点。(1)证明：平面AEF垂直于平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F-AEC的体积。5.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC垂直于BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C与BC1的交点为E。(1)证明：DE平行于平面AA1C1C；(2)证明：BC1垂直于AB1。6.在三棱锥P-ABC中，平面PAC垂直于平面ABC，∠ABC=90°，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF平行于BC。(1)证明：AB垂直于平面PFE；(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长度。7.AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1。(1)证明：AC垂直于平面PDO；(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值。8.四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE垂直于平面ABCD。(1)证明：平面AEC垂直于平面BED；(2)若∠ABC=120°，AE垂直于EC，求三棱锥E-ACD的体积和侧面积。9.已知AA1垂直于平面ABC，BB1平行于AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=BC的一半，BB1为A1C的中点。(1)证明：EF平行于平面A1B1BA；(2)求三棱锥P-ABC的体积。明AC⊥BM，利用点、线、面间的距离计算求出BM的长度．解答：（1）由VP﹣ABC=•S△ABC•PA，得VP﹣ABC=√3/2，又因为PA=1，所以三棱锥P﹣ABC的体积为VP﹣ABC/3=√3/6．（2）因为∠BAC=60°，所以△ABC为等边三角形，BN=AC/2=1，AN=√3/2，由于MN∥PA，所以∠MNB=∠PAC=30°，因此BN/MN=tan30°=1/√3，所以MN=√3/3．又因为∠ACB=90°，所以AC⊥BN，而BN⊥MN，所以AC⊥BM．根据勾股定理，BM=√(AB^2-MN^2)=√(1-1/3)=√2/√3．点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查勾股定理的运用，需要注意计算过程中的精度控制，以免影响结果的准确性．1.解题思路：利用三角形的面积公式求解三棱锥P-ABC的体积，同时运用线面垂直的判定和性质来解决问题。2.解题过程：(1)首先根据题设，可以得到AB=1，AC=2，∠BAC=60°，因此S△ABC=√3/4。由于PA⊥平面ABC，且PA=1，因此VP-ABC=1/3×√3/4×1=√3/12。(2)接着，过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM。由PA⊥平面ABC，知道PA⊥AC，因此MN⊥AC。由BN∩MN=N，可以得到AC⊥平面MBN。因为BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM。在直角△BAN中，AN=AB×cos∠BAC=1/2，因此NC=AC-AN=3/2。由MN∥PA得PA/PM=AC/CM，因此PM=2/3。又因为三角形BMN与三角形BPC相似，所以PC=3。(3)最后，根据三棱锥的体积公式，可以得到三棱锥F-AEC的体积为1/3×(AE×EC×FC)=1/3×(4/3×2×3/2)=4/3。3.解题思路：利用平面与平面平行的性质，可以画出交线围成的正方形，然后求出正方形的边长，从而计算出平面α把长方体分成的两部分体积的比值。4.解题过程：(1)利用平面与平面平行的性质，可以在图中画出交线围成的正方形EFGH。(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8。因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH=6，AH=10，HB=6。由于长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为6:4=3:2。5.总结：以上两道题目都是典型的空间几何题，需要掌握线面垂直的判定和性质，以及平面与平面平行的性质。同时，需要熟练掌握三角形、三棱锥、棱柱等几何图形的面积和体积计算公式。又因为$AB_1\subset$平面$B_1AC$，所以$BC_1\perpAB_1$。解析：由于$AB_1$在平面$B_1AC$内，所以$BC_1$垂直于平面$B_1AC$，同时也垂直于平面$AB_1C_1$，因此$BC_1\perpAB_1$。6.如图，三棱锥$P-ABC$中，平面$PAC\perp$平面$ABC$，$\angleABC=90^\circ$，$PD=PC=4$，点$F$在线段$AB$上，且$EF\parallelBC$。（Ⅰ）证明：$AB\perp$平面$PFE$。解析：由于$PAC\perpABC$，所以$PAC\perpAB$，又因为$EF\parallelBC$，所以$\anglePFE=\anglePAC=90^\circ$，即$FE\perpPA$，又因为$PA\perpAB$，所以$FE\perpAB$，即$AB\perp$平面$PFE$。（Ⅱ）若四棱锥$P-DFBC$的体积为7，求线段$BC$的长。解析：设$BC=x$，则在直角$\triangleABC$中，$AB=\sqrt{PD^2-PC^2}=2\sqrt{3}$，$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}AB\cdotBC=\sqrt{3}x$。由$EF\parallelBC$，得$\triangleAFE\cong\triangleABC$，所以$S_{\triangleAFE}=S_{\triangleABC}=\sqrt{3}x$，又因为$AD=AE=2$，所以$S_{\triangleAFD}=\frac{1}{2}AD\cdotDF=2DF$。因此，四边形$DFBC$的面积为$S_{DFBC}=S_{\triangleABC}-S_{\triangleAFE}-S_{\triangleAFD}=x^2$。由（Ⅰ）可知，$PE\perpABC$，所以$PE$为四棱锥$P-DFBC$的高，$PE=\frac{S_{DFBC}}{DF}=\frac{x^2}{4}$。因为$VP-DFBC=S_{DFBC}\cdotPE=7$，所以$\frac{1}{4}x^3=7$，解得$x=3$，故线段$BC=3$。（Ⅱ）已知AB=2，BC=3，BE=4，求平面ABCD与平面EG的夹角的余弦值．考点：直线与平面垂直的判定；菱形的性质；空间角的概念．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC，即平面AEC⊥平面BED．（Ⅱ）因为ABCD为菱形，所以平面ABCD的法向量为又因为BE⊥平面ABCD，所以BE为平面ABCD的法向量之一，又因为G=AC∩BD，所以G在平面ABCD上，所以平面EG的法向量为所以平面ABCD与平面EG的夹角的余弦值为：解答：（Ⅰ）因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又因为BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC，即平面AEC⊥平面BED．（Ⅱ）因为ABCD为菱形，所以平面ABCD的法向量为又因为BE⊥平面ABCD，所以BE为平面ABCD的法向量之一，又因为G=AC∩BD，所以G在平面ABCD上，所以平面EG的法向量为所以平面ABCD与平面EG的夹角的余弦值为：点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定、菱形的性质、空间角的概念等基础知识，考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，属于中档题．证明：连接A1B，在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF平行于A1B。又因为A1B在平面A1B1BA中，而EF不在该平面中，所以EF平行于平面A1B1BA。证明：因为AB=AC，E为BC中点，所以AE垂直于BC。又因为AA1垂直于平面ABC，BB1平行于AA1，所以BB1垂直于平面ABC。所以BB1垂直于AE。又因为BC与BB1交于B，所以AE垂直于平面BCB1。因为AE在平面AEA1中，所以平面AEA1垂直于平面BCB1。取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE。因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE平行于B1B，所以四边形A1AEN是平行四边形，所以A1N平行于AE。又因为AE垂直于平面BCB1，所以A1N垂直于平面BCB1。在△ABC中，可得AE=2，所以A1N=AE=2。因为BM平行于AA1，BM=AA1，所以A1M平行于AB且A1M=AB。又因为AB垂直于BB1，所以A1M垂直于BB1。在RT△A1MB1中，A1B1=4，在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N=1/2，所以∠A1B1N=30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°。证明：因为M，N分别是AC，AD的中点，所以MN平行于CD。又因为MN不在平面BCD中，而CD在该平面中，所以MN平行于平面BCD。因为AB垂直于平面BCD，CD在平面BCD中，所以AB垂直于CD。又因为CD垂直于BC，AB与BC交于B，所以CD垂直于平面ABC。因为CD在平面BCD中，所以平面BCD垂直于平面ABC。可知AB∥CE，AD∥BG，且∠BCD=∠BCE=90°，∴四边形ABCD为矩形，CD=AB，又因为BC=CD=CE，∴三角形BCE为等腰三角形，∠BEC=∠BCE，又∠BCD=∠BCE，∴∠BEC=∠BCD，∴EC⊥平面ABCD，又因为CD∥EC，∴EC⊥CD…（6分）（Ⅱ）证明：∵CE∥BG，∴∠BCE=∠BGC，又∠BCD=∠BCE，∴∠BGC=∠BCD，又因为BC=CD，∴△BGC≌△DCB，∴BG=DC，又因为ABCD为矩形，∴AD=BC，又因为AD∥BC，∴△ABG≌△DCG，∴AG=GD，又因为∠ABD=∠BCE，∴∠ABD=∠BGC，又因为CE∥BG，∴∠BGC=∠CEN，∴∠ABD=∠CEN，又因为∠BDE=∠CEN，∴∠ABD=∠BDE，∴AG∥平面BDE…（10分）（Ⅲ）如图，连接AC，EF，GH，IJ，KL，MN，OP，QR，ST，UV，WX，YZ，分别将几何体分割成六个棱柱和两个棱锥，易得几何体EG﹣ABCD的体积为：V=6•S△ABE•AD+6•S△BCF•CD+6•S△CGH•CE+2•S△BCEG=6••••1••••2+6••••1••••2+6••••1••••2+2••••1••••2=…（8分）点评：本小题考查了空间位置关系、平行关系、垂直关系和几何体的分割求体积，属于中档题。14.（2015•沈阳模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=√3，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点。（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P-EAD的体积。【解答】（Ⅰ）证明：因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，∠BAD=60°，所以∠ABO=∠DBO=30°，∠AEO=∠DEO=60°，因为AB=2，所以BO=1，OE=√3，所以AE=√7。又∠APE=∠DPB=90°，所以四边形APDE为矩形，所以PE=AD=2√3。因为PE⊥平面ABCD，PD⊥平面ABCD，所以EP∥PD，所以平面EAC⊥平面PBD。（Ⅱ）解：因为PD∥平面EAC，所以PD∥AC，所以三棱锥P-EAD与平面ABCD平行，所以三棱锥P-EAD的高为PD=√3，底面EAD的面积为S△EAD=（1/2）×AE×AD=√21，所以三棱锥P-EAD的体积为V=(1/3)×S△EAD×PD=√21/3。专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）已知ABCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱，且PQ∥AB，Q是BB1中点，C1Q⊥QR。由此可以推出C1Q⊥平面PQR。（2）已知B1Q=1，BQ=1，C1Q=√2。利用相似三角形△B1C1Q∽△BQR，可以求出BR=QR=√2。又因为C1Q、QR、QP两两垂直，可以利用体积公式求出四面体C1PQR的体积。解答：（1）证明：由于ABCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱，因此AB⊥平面B1BCC1。又因为PQ∥AB，所以PQ⊥平面B1BCC1。因此C1Q⊥PQ。又已知C1Q⊥QR，且QR∩QP=Q，所以C1Q⊥平面PQR。（2）解：由于B1Q=1，BQ=1，C1Q=√2，因此B1C