多体系统的基本力量指标

多体系统的基本力量指标

近年来，随着航空航天技术、机械工程、车辆工程、机械人学和生物动力学的发展，多体动动机系统的动态能力得到了更好的发展。多体系统动力学的研究包括建模方法的研究和数值算法的研究。目前,Lagrange方法是建立多体系统动力学方程的一种普遍方法本文运用第一类Lagrange方程建立了平面多刚体系统的动力学方程,对具有光滑固定面约束和光滑柱铰链约束的平面多刚体系统进行了分析,应用笛卡儿坐标1多刚体约束和自由面约束的平面系统模型对于一般的非树形平面多刚体系统,先解除闭链上的某些约束使其变成树形结构,如图1(a)、图1(b)所示,先解除刚体9和刚体12之间的约束。设固连在D设系统是由p个刚体和r个滑块(视为质点)组成的具有光滑铰链约束和光滑固定面约束的平面多刚体系统。假设该系统刚体只受铰链约束,滑块受铰链约束和固定面约束,且系统无冗余约束,解除l个铰链约束和e个固定面约束后系统为树形结构。这样,系统受到u个铰链约束和r个固定面约束,其中u=p+l+e。由于滑块受固定面约束,当取笛卡儿坐标为广义坐标q,即用广义坐标(x系统的动能为:其中:若第i个物体为滑块,则式(1)中没有设系统受到的u个铰链约束和r个固定面约束均为完整定常理想约束。由于每个铰链约束可列写2个独立的约束方程,每个固定面约束可列写1个独立的约束方程,所以系统可列写2u+r个独立的约束方程,写成矩阵形式为:由第一类Lagrange方法和约束方程可得系统的动力学方程为:其中:λ=[λ2采用局部方法的方法为了研究系统的理想约束力与Lagrange乘子之间的关系,本节利用矢量方法建立系统的动力学方程,将其与第一类Lagrange方法建立的动力学方程进行比较,得出理想约束力可以表示成与Lagrange乘子有关的比较简洁的形式。作用在刚体i上的主动力系可等价于作用在刚体i质心上的一个力F将式(3)与式(2)比较可得:由于物体i上受到的主动力在惯性坐标轴上的投影分别为F除具有奇异位置的多体系统外,方程(5)中的矩阵Φ建立约束方程的两种常用方法为便于列写约束方程,应对铰链和固定面进行编号:先解除闭环系统的约束使其变成树形系统,物体i与物体j(i<j)用铰链B对于光滑铰链,铰点其中:r在本文中,θ根据约束条件(6),每个铰链约束可写出两个独立约束方程。每个固定面约束只对应一个独立的约束方程。因此,对于具有u个铰链约束和r个固定面约束的系统,共有2u+r个独立的约束方程,约束方程按铰链序号和固定面序号编写。由于刚体1用铰其雅可比矩阵的转置为:1)设B由于本文假设滑块i受固定面约束,不存在与之用铰链连接的较高序号刚体j,故物体i只能是刚体。a)若刚体i用铰链B其中:Φb)若刚体i用铰链B2)设B该约束方程的雅可比矩阵的转置为:其中:Φ3)对于第v(v=1,2,,r)个固定面约束,设其约束方程为g该约束方程的雅可比矩阵的转置为:Φ这样系统所有约束方程的雅可比矩阵的转置可以表示为:其中:Φ式(5)中的其中:A∈R用矢量方法分析可得,对于上文提到的情况1)和2),有Φ将矩阵A与Φ写成矩阵形式为:其中,k=diag(k由上述建立系统约束方程的方法可知,局部方法由铰链的偶对刚体出发,对于同一类铰链,约束方程有共性,是一种程式化的方法。并且,应用笛卡儿坐标描述系统的位形,应用局部方法建立系统的约束方程,可使固定面的法向约束力及铰链约束力在惯性坐标轴上的投影与Lagrange乘子一一对应。由于Φ由式(8)可以得到物体在构成树形结构的铰链B在解除约束的铰链B滑块i在固定面v(v=1,2,…,r)所受的约束力为:3局部方法的数值计算如图5所示的曲柄-连杆-滑块机构,曲柄OA长为l由式(1),系统广义坐标q=[x分别由式(2)和式(3)建立系统的动力学方程可得:其中,[λ由此可知,若采用全局方法建立约束方程,则系统的约束力是Lagrange乘子的线性组合,不能简单的仅由一个Lagrange乘子表示一个约束力,且约束力不能由约束方程直接得到,给约束力的分析与计算带来困难。若用局部方法建立约束方程,其约束方程可表示为下列形式:由约束方程求出Φ因此铰链O,A,B处的约束力及滑块的法向约束力的大小可表示为:其中:由此算例可以验证式(8)是成立的。即:采用笛卡尔坐标描述系统的位形,并按局部方法的原则建立系统的约束方程,则固定支承面的法向约束力及每个铰链的约束力在惯性坐标上的投影与Lagrange乘子一一对应。下面给出两种建模方法的数值计算结果,如图6所示。其中图6(a)―图6(d)的第一幅图中细实线分别表示用Lagrange方法建立方程,得到的Lagrange乘子由数值计算结果可以看出,两种方法计算结果之间的误差最大为104建立系统的约束方程应用第一类Lagrange方程建立多体系统动力学方程,对于具有光滑柱铰链约束和光滑固定支承面约束的平面多刚体系统,其约束力一般可表示为Lagrange乘子的线性组合,不便于约束力的分析与计算。本文采用笛卡尔坐标描述系统的位形,并按局部方法的原则建立系统的约束方程,证明了由此得到的多体系统动力学方程中的拉氏乘子与固定支承面的法向约束力及每个铰链的约束力在惯性坐标上的投影一一对应的关系,便于系统约束力的分析与计算;若按其他方法建立约束方程,则一一对应的关系不成立,给约束力的分析带来困难。最后用算例验证了该方法的正确性。并且,当选用笛卡儿坐标描述系统的位形时,广义质量矩阵M和广义力Q都有统一规范的表达形式,便于方程的建立与计算。当选用局部方法建立约束方程时,对于同一类铰链,约束方程有共性,是一种程式化的方法。应用本文给