惯性载荷作用下的准则法拓扑优化方法

惯性载荷作用下的准则法拓扑优化方法

1惯性载荷作用下结构拓扑优化设计的应用结构优化设计是指在给定空间内获得的最佳材料分布。这是目前最具挑战的研究领域之一。目前,常用的拓扑优化方法有均匀化方法、变密度法SIMP、双向进化方法BESO等。均匀化方法惯性载荷是航天器在发射和再入阶段必须考虑的载荷工况,在该运行阶段航天器速度和加速度都在马赫量级。典型的实例有超音速飞行的运载火箭、导弹、航天飞机等。这些飞行器的关键承力结构不仅要有足够的强度刚度,还要尽可能轻。结构自重也是惯性载荷的表现形式之一,航天器静载必然受到自重的作用,同样需要分析研究。总之,研究惯性载荷作用下结构的拓扑优化设计问题具有非常重要的理论价值和应用价值。惯性载荷作用下结构的拓扑优化是一个载荷相关的优化设计问题。早期拓扑优化研究主要集中在载荷不随优化迭代过程变化的情况,随着研究领域的拓展,惯性力的拓扑优化研究逐渐进入人们的视野。文献优化准则法是优化设计中最有效的优化数值求解算法之一。该方法简单、收敛快而且迭代次数少。本文使用均匀化方法和优化准则法,推导考虑惯性载荷的准则法迭代公式,并对准则法迭代进行修正,通过文献示例对本文方法的正确性进行验证,最后应用本文提出的方法对火箭橇结构进行拓扑优化设计。2在不可抗拒的情况下，优化模型和基准法2.1材料的弹性模量和微结构的力学分析在进行复合材料力学行为分析时,由于复合材料的高度异质性,迫使研究者假想一个无限小、具有周期性的微结构,用该微结构几何特性的变化等效描述宏观结构物理特性的变化,如图1所示,该微结构称为单胞。单胞的力学性能(弹性模量、密度等)遵循如下方程,即式中:Φ可表示材料的弹性模量、密度、位移、应力等;ε为一个非常小的正数,表示一个单胞与整个结构体的尺度大小之比。用均匀化方法对周期性复合材料中典型的单胞进行分析,可得复合材料的等效弹性模量为式中:|Y|为单胞的体积;χ为单胞微观特征位移场。在进行结构拓扑优化时,引入上述均匀化思想,采用有限元方法将连续体离散成长方形带孔洞的单元结构,如图2所示。以孔洞长度a2.2优化数学模型设拓扑优化的设计空间为Ω其中:Z为设计变量,Z={z本文以结构刚度最大化(柔度最小化)为优化目标,以结构的体积为优化约束条件,使用均匀化方法优化的数学模型表述如下其中:U为结构的位移向量;K为结构的整体刚度矩阵;F对2D单胞模型构造拉格朗日方程,即其中Λ、λ均为拉格朗日乘子。在优化过程中,设计变量的值如果低于下限则取下限值,若高于上限则取上限值,此时λ由KKT条件有式(6)中目标函数对设计变量的敏度为将式(7)式代入式(6)得令λ=-2U,则式(8)简化为在单元尺度下,式(9)改写为式(10)两边同除以-Λ(-b式(11b)称为迭代算子。同理,对设计变量2.3迭代过程中灵敏度修正与通常拓扑优化中只有呆载荷作用的工况不同,在考虑惯性载荷的结构灵敏度迭代式中,式(11b)中多了(2u为了解决惯性载荷引起的结构灵敏度非单调性问题,本文对惯性力部分灵敏度的计算进行了修正对式(12b)也可作相同的处理。式(13)对惯性力部分灵敏度计算的修正贯穿于整个优化迭代过程。事实上,在拓扑优化的初期阶段:若目标函数值变化大,惯性力项引起的振荡幅度较大,需要对式(13)中第一项值的大小进行限制,减小此项的影响;若目标函数值变化不大时,惯性力项引起的振荡幅度小,则不需要对式(13)中第一项的值进行限制,这样也符合式(11b)和式(12b)的要求。为此本文在式(13)的基础上,结合目标函数变化情况,将式(13)进一步修正为式中μ按下式取值式中:k为迭代次数;ν为目标函数的相对变化量,按经验取值。数值经验表明ν较合适的取值范围为0.01～0.1。2.4移动极限因子更新在优化迭代过程中,为了保证设计变量稳定、平缓变化,引入阻尼因子ζ(0<ζ<1)和移动极限因子m(0<m<1),则式(11)和式(12)的迭代更新算式可表示为3抗弯能力优化计算的示例分析算例模型如图3所示3.1结构灵敏度计算式验证承受自重工况下的优化结果如图4所示。图4(a)为按式(14)～(17)进行优化迭代的结果,图5为其优化迭代过程曲线。图4(b)为按式(11)、式(12)、式(16)、式(17)进行优化迭代的结果。由图4(a)与图4(b)可知,修正后的结构灵敏度计算式使优化结果更为紧凑,而对结构灵敏度计算式不作修正时优化结果出现结构中空现象。本文优化结果与文献3.2材料的优化结果整体结构承受水平方向加速度时(a=9.8m/s图6的优化结果去除了设计区域的大部分材料。由图6可知:水平方向的惯性力对结构的拓扑形状影响比较小,对准则法迭代乘子计算式作修正和不作修正的结果相差不大。3.3不同载荷对拓扑形状的影响整体结构承受自身重力(a=9.8m/s由图8结果可知,两个方向载荷对优化起作用大小不同,自重载荷对拓扑形状影响始终比较大,水平方向载荷始终比较小。优化结果的拓扑形状与自重拓扑形状很接近,迭代过程曲线亦是如此。下一节实例优化使用式(14)修正迭代乘子进行优化计算。4几何模型的建立火箭橇是一种在火箭滑轨上运行的特殊结构,其结构需要承载火箭发动机、待试验件、试验控制、测量仪器。结构运行速度在音速和超音速范围之间,结构运行时间极短,在几秒至十几秒;运行轨道平直,不带弯道。本文取橇体某一横截面进行拓扑优化设计。对该实例建立几何模型和有限元模型,分别如图10和图11所示。将安装发动机区域(下部深色圆柱形区)简化为质量不变的固定质量区域;将安装待试验件区域(上部浅色圆柱形区)也简化为质量不变区域。同时,需要保证橇体和滑轨的连接区域,把横截面两底端(两底端深色方形区)也简化为质量不变区域。在拓扑优化设计过程中,这些区域为非设计区域。火箭橇整体结构在运行过程中,必然受到自身重力,在自重方向取加速度a=9.8m/s图12和图13分别为工程实例的自重载荷作用和自重、轴向双向载荷作用的拓扑优化结果。优化结果符合结构分别受到重力和运行轴向惯性载荷的承载拓扑构型。5准则法迭代算子的修正本文基于均匀化优化方法和准则优化方法,推导了考虑惯性载荷的准则法迭代计算公式;为了保证在拓扑优化迭代中收敛到最优解,根据计算过程中目标函数变化的特点,引入了灵敏度过滤函数,对准则法迭代中涉及的惯性载荷敏度计算部分进行了修正。通过典型的算例研究表明:修正的准则法迭代算子可以保证迭代过程平稳且获得最佳的拓扑构型。本文得到的拓扑构型与采用SIMP和BESO方法得到的拓朴构型基本一致,说明本文提出的方法是可行的。最后利用本