流体的物理性质及流体静力学

教案

（2008/2009学年第2学期）

课程名称热工理论________

课程编号1111000102

课程性质学科基础

教学时数92学时_______

教学对象机械大类一

授课教师六人合上________

职称_________________

邵阳学院机械与能源工程系

工程流体力学部分

§1流体的物理性质及流体静力学

教研室：热能与动力工程教师姓名：周东一

课程名称热工理论授课专业及班07级

次机械类

授课内容流体定义及连续介质假定、流体的物理性质、作讲授8学时

用在流体上的力、流体静压强、静止流体作用在

壁面上的力

目的要求掌握连续介质模型的概念及流体的粘性和可压缩性，质量力和表面力的

概念、静压力的性质、静力学平衡方程和静压力的分布规律的基本知识，

熟练掌握应用静力学基本知识解决实际问题方法。

重点与难点重点：连续介质假定、作用在流体上的力、静力学基本方程式。难点：

作用于平面和曲面上的力。

讲授内容及流体定义及连续介质假定、流体的物理性质（2学时）；作用在流体上的力

时间分配（2学时）；流体静压强（2学时）；静止流体作用在壁面上的力（2学时）。

教具课堂讲授

参考资料《流体力学》（张也影）、《工程流体力学》（盛敬超）、《工程流体力

学》（严敬）、《工程流体力学》（陈卓如）

§1.1流体定义及连续介质假定

一、流体的概念

自然界的物质有三态：固体、液体、气体

从外观上看，液体和气体很不相同，但是从某些性能方面来看，却很相似。流体与

固体相比，分子排列松散，分子引力较小，运动较强烈，无一定形状，易流动，只能抗

压，不能抗拉和切。

流体：是一种受任何微小剪切力都能连续变形的物质。它是气体和液体的通称。

二、流体的特点

液体气体

微观分子排列紧密分子排列松散

易流动，只受压力，不受拉力和切力，没有固定形状，受到微小的剪切力

流动性就产生变形或流动

有固定的体积没有固定的体积

压缩性不易压缩易压缩

粘性粘性大，随温度增加粘性下降粘性小，随温度增加粘性上升

why?一分子间的吸引力（内聚力）一分子间的碰撞、动量交换

温度对粘性的影响：产生粘性的主要因素不同

（1）气体：T升高，H变大分子间动量交换为主

（2）液体：T升高，四变小内聚力为主

三、连续介质假设——连续性说明（稠密性假设）

1、假设的内容：1753年欧拉（数学家）

从微观上讲，流体由分子组成，分子间有间隙，是不连续的，但流体力学是研究流

体的宏观机械运动，通常不考虑流体分子的存在，而是把真实流体看成由无数连续分布

的流体微团（或流体质点）所组成的连续介质,流体质点紧密接触，彼此间无任何间隙。

这就是连续介质假设。

流体微团（或流体质点）：基本单位

宏观上足够小（无穷小），以致于可以将其看成一个几何上没有维度的点；

微观上足够大（无穷大），它里面包含着许许多多的分子，其行为已经表现出大量分子

的统计学性质。

2、引入意义：第一个根本性的假设

将真实流体看成为连续介质，意味着流体的一切宏观物理量，如密度、压力、速度

等，都可作为时间和空间位置的连续函数，使我们有可能用数学分析来讨论和解决流体

力学中的问题。

3、假设的局限性：

对稀薄气体，不能适用，必须考虑为不连续流体。

流体在各种不同水力现象中的表现，取决于：内因：流体本身的物理性质——第二、

三节;外因：作用在流体上的力——第四节

§1.2流体的密度和粘性

一、密度和重度

1、密度：单位体积流体的质量，P（density）

MdM

p=一P二-----=hm------

均质:V非均质:dVA3\v

M——流体质量（kg）

V——流体体积（n?）

单位：千克/米3（kg/m3）

水的密度：1OOOkg/n?=1g/cm3

2、重度：单位体积流体的重量，Y（specificweight）

GdG[.AG

y=——y-.......=lim-----

均质：v非均质：dV

单位：牛顿/米3（N/m3）

3、密度与重度的关系

牛顿第二定律：G=Mg-G/v=M8/v一闾g=9,8m/s2

水的重度：9800N/m3

4、相对密度（比重）：5或4（specificgravity）

（1）液体的相对密度：液体的重量与同体积4P蒸镭水重量之比。

3=2=匚

0k/水

因为：蒸储水在4（密度最大，为lOOOkg/n?

例：8=0.85=>/=0.85x98007V/W3

（2）气体的相对密度：气体的重度与同温同压下的空气重度之比。

（3）相对密度的单位：1（无量纲）

水银的相对密度：与g=13.6

5、气体的比容（v）：单位重量气体的体积E3,在热力学中，用的较多。

二、粘性（viscosity）：g

粘性是流体所特有的性质，自然界中的任何流体都具有粘性，只是有大有小。

1、定义：流体微团发生相对运动时，流体内部具有抵抗变形、阻滞流体流动的特性。

2、产生粘性的原因

（1）流体内聚力

（2）动量交换

（3）流体分子和固体壁面之间的附着力

2、产生条件：流体发生相对运动

3、产生的实质：微观分子作用的宏观表现

5、内摩擦力的计算一牛顿内摩擦定律（Newton'slawofinternalfriction）1686

怎样确定流体运动时的粘滞力呢？它与哪些因素有关？牛顿经过大量实验研究于

1686年提出了确定流体内摩擦力的所谓“牛顿内摩擦定律”。

,…।...।u+du

期||-----A

--V

T-

图速度分布规律

如图，A、B为长宽都是足够大的平板，互相平行，设B板以u（）运动，A板不动。

由于粘性流体将粘附于它所接触的表面上（流体的边界无滑移条件），u|.=U0,uh=0o

（1）两平板间流体流层：速度自上而下递减，按直线分布；

（2）取出两层

快层：u+du

慢层：〃

相邻流层发生相对运动时.：

T：快层对慢层产生一个切力T,使慢层加速，方向与流向相同。

r：慢层对快层有一个反作用力r,使快层减速，方向与流向相反，这种阻止运动的力,

称为阻力。

（3）T与F：大小相等，方向相反的一对力，分别作用在两个流体层的接触面上，这

对力是在流体内部产生的，叫内摩擦力。

（4）牛顿内摩擦定律的内容：

流体相对运动时，层间内摩擦力T的大小与接触面积、速度梯度成正比，与流体

种类及温度有关，而与接触面上的压力无关，即：

T=±M~

dy

T-----内摩擦力，单位：牛顿（N）

U——动力粘性系数，与流体性质、温度有关

A------接触面积

du

dy---速度梯度Velocitygradient

（5）粘性切应力T：单位面积上的内摩擦力

单位：N/m2

（6）公式说明：

①“土”是为使T、T永远为正值而设

du

当力＞0时，T、T取“+”号

du

当改=0时，T、T=0

du

当改＜0时，T、T取“一”号（①拖下板②y轴向下③管流）

du

T=±〃一

②符合dy的流体一牛顿流体

du

T—±4—

不符合dy的流体—非牛顿流体

③公式适用条件：牛顿流体做层流运动

7、粘性系数（粘度）coefficientofviscosity：表征流体粘性大小，通常用实验方法确定。

（1）动力粘度U：coefficientofdynamicviscosity

T,du

T=—=±4—

①定义：由公式A力得

〃=±/

du

dy

②物理意义：表示速度梯度为1时，单位面积上的摩擦力的大小。

③国际单位：牛顿•秒/米2或Pa・S

Pa.s=^_.^=kg/

s2m2Am-s)

lPa«S=1000mPa«S(在程序中常用mPa・S)

物理单位：泊(poise)=达因•秒/厘米2

(1N=105dyn=1kg,m/s2)

1泊poise=100厘泊centipoise=0.1pa*s

lcP=1mPa*S

注：P295.附1：水的粘度数量级1mPa*S

(2)运动粘度v：coefficientofkinematicviscosity

v=—

①定义：P——在方程中经常出现

②国际单位：米2/秒;

物理单位：厘米2/秒,叫做沱（或斯stokes）

1沱=100厘沱

Is-1045/=106c.y/

8、理想流体与实际流体

(1)理想流体：假想没有粘性的流体11=0，能量损失=0

(2)实际流体：又称为粘性流体，即真实流体

口W0，能量损失w0

流体在运动中因克服摩擦力必然要做功，所以粘性也是流体中发生机械能量损失的

根源。

例题：

已知：A=1200cm2,V=0.5m/s

口]=:0.142Pa.s9h]1.Omni

u2=0.235Pa.s,h2=1.4mm

求：平板上所受的内摩擦力F?绘制：平板间流体的流速分布图及应力分布图

解：（前提条件：牛顿流体、层流运动）

V-u

々=4—j—

=>[%

du〃一0

7=〃丁72=〃2%—

dyI"2因为T!=T2

V-uU〃也「八”,

从----=〃2—=>u=------------=0.23加/s

所以4〃2〃2%+〃1力2

V-it

F=74=4------=4.6N

§1.3流体的其他性质

一、压缩性和膨胀性

1、压缩性(Compressibility)：

(1)定义：温度一定时流体在体积或密度随压强改变的性质。

(2)体积压缩系数K：(coefficientofvolumecompressibility)温度不变时，压强增加一

个单位，体积的相对变化量。

dV--体积改变量

V--原有体积

dp----压强改变量

负号说明：保证懵永远为正，与符号相反。

由于液体受压体积减小，功和"「异号，式中右侧加负号，以使心为正值，其值愈

大，愈容易压缩。

压缩系数的倒数称为体积模量，即：

E」=—风

kTdV

(3)单位：1/Pa或1/大气压

(4)说明：液体压缩性很小

M-

P=—=Const

y、，

△/很小ff液体?=常数

2、膨胀性(expansibility)：

(1)定义：压力一定时流体在体积或密度随温度改变的性质。

(2)体积膨胀系数a：(Coefficientofvolumetricexpansion)压力不变时,温度增加一

个单位，体积的相对变化量。

小“玲)

dT--温度改变量

(3)单位：1/℃或1/K

(4)说明：液体膨胀性很小——在实际计算中，一般不考虑液体的膨胀性。

3、体积压缩系数和体膨胀系数的另一种表达式

根据液体压缩前后，质量夕V不变，有:

耳子，则焉同理…翳

三、流体的汽化和空化

1、汽化：液体分子逸出液面向空间扩散的过程称为汽化。反之则为凝结。

汽化和凝结同时存在。

2、空化：液体中的压力低于当地的汽化压力时，产生气泡。

空化的影响：⑴：阻塞流动；⑵：产生冲击破坏。

四、表面张力。与毛细现象

1、定义：使液体表面处于拉伸状态的力为表面张力

2、表面张力系数单位长度上的表面张力

3、表面张力的产生：液、气接触自由表面

4、表面张力产生的原因：由于内聚力的不同而导致(分子受力不平衡)。

在气液自由表面上，由于液体分子的内聚力显著的大，因此在液体表面的分子有向

液体内部收缩的倾向，使得自由表面有一拉紧作用的力产生，即表面张力。在液固交界

面上，也会产生附着力。液体内聚力的大小决定其是否产生湿润管壁。

毛细现象：P9o表面凹凸取决于附着力和内聚力^大^小。

水与玻璃管相互作用计算及分析

管壁圆周上总表面张力在垂直方向上的分力:

7I»D,O»COS0（1）

Y，-D2h

上升液柱重：4（2）

712

人TTDCTcos0=h

可得毛细管内液柱上升高度

.4。cos。

h=-----

yD(3)

其中：。为液面与壁面的接触角

Y为液体的重度N/m2

D为毛细管内径m

。为表面张力N/m

§1.4作用在流体上的力

按力的表现形式有：表面力、质量力

一、表面力（近程力）（接触力）

1、定义：作用于流体表面上，与作用面的表面积成正比。

2、分类：

（1）法向力（压力）：P=p-A——垂直于作用面

A点的压强（A点的压应力）PA犯？"

（2）切向力（内摩擦力）：T=T-A——平行于作用面

AT

A点的切应力

二、质量力（体积力）（长程力）（非接触力）

1、定义：作用于流体的每一个质点上，与流体的质量成正比。

2、分类：

（1）重力G=mg

（2）惯性力：

直线惯性力I=ma

离心惯性力R=加/”=加r

3、单位质量力：流体质量为M,总质量力为尸=工'人

/

单位质量力M,

设f=Xi+Yj+Zk

FFvF

则"MM（包含了各种质量力：重力、惯性力等）

若作用在流体上的质量力只有重力，则瓜=°,琮=°,鼠=—蜂

7-mg

Z=------=-g

单位质量力X=°,Y=°,m

三、说明：

1、在一定的情况下，这些力有的存在，有的不存在；

2、内力和外力是相对而言的，不是固定不变的。

§1.5流体静压特性及静止流体的压力分布

一、流体静压特性

1、基本概念

（1）、流体静压强：静止流体作用在单位面积上的力。P

设微小面积附上的总压力为AP,则

__AP

平均静压强：'一AP

[./S.Pv----'AA

P

点静压强：=/h喝rn根—

即流体单位面积上所受的垂直于该表面上的力。

单位：N/m2（Pa）

（2）、总压力：作用于某一面上的总的静压力。P

单位：N（牛）

（3）、流体静压强单位：

国际单位：N/m2=Pa

物理单位：dyn/cm2

lN=10>dyn,lPa=10dyn/cm2

工程单位：kgf/m2

混合单位：Ikgf7cm2=1at（工程大气压）Wlatm（标准大气压）

1at=lkgf/cm2=9.8X104Pa=10m水柱

latm=1.013X105Pa=10.3m水柱

2、流体静压强特性

（1）、静压强作用方向永远沿着作用面内法线方向——方向特性。

（垂直并指向作用面）

证明：反证法证明之。

有一静止流体微团，用任意平面将其切割为两部分，取阴影部分为隔离体。设

切割面上任一点m处静压强方向不是内法线方向，则它可分解为P”和切应力而静

止流体既不能承受切应力，也不能承受拉应力，如果有拉应力或切应力存在，将破坏平

衡，这与静止的前提不符。所以静压强"的方向只能是沿着作用面内法线方向。

（2）、静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等，而与作用面的方位无关，即

。只是位置的函数P=P（x,y,z）——大小特性。（各向相等）

证明思路：如图1一5一1。

1、选取研究对象（微元体）

2、受力分析（质量力与表面力）

3、导出关系式XF=0

4、得出结论

1、选取研究对象（微元体）

从静止流体中取出一微小四面体OABC,其坐标如图，三个垂直边的长度分别为dx、

dy、dz,设心、Py、2、P”（n方向是任意的）分别表示作用在AOAC、AOBC.AOAB.

△ABC表面上的静压强。

2、受力分析（质量力与表面力）

流体微元所受力分为两类：表面力和质量力。

（1）表面力

表面力与作用面的面积成正比。作用在AOAC、AOBC>AOAB、AABC面上的

总压力分别为：（特性一：垂直并指向作用而）

P..Pxdydz

Py=~Pydxdz

p：=-P^xdy

P"=PnSMBC=Pn-dA

（2）质量力

质量力与微元体的体积成正比。

V.=—dxdydz

四面体的体积：°n由Rr6.

M=—pdxdydz

四面体的质量：6…■

设单位质量流体的质量力在坐标轴方向上的分量为X、Y、Z,则质量力F在坐标

轴方向的分量是：

Fx=*pdxdydz'X

Fv=（pdxdydz-Y

F.=­pdxdydz■Z

3、导出关系式工厂=°

因流体微团平衡，据平衡条件，其各方向作用力之和均为零。则在x方向上，有:

Px-Pncos(n,x)+Fx=0

将上面各表面力、质量力表达式代入后得

—pdydz-p-dA-cosa+—pdxdydz•X二0

2xn6

又血・cosa即为△ABC在yoz平面上的投影面积,

pndAcosa=；pndydz

—pdydz--pndydz+—pdxdydz・X=0

2x26

Px-P“+；9,X=0

则当dx、dy>dz趋于零时也就是四面体缩小到o成为一个质点时，有:

Px=Pn

同理：Py=P„

P：=P„

即：Px=Py=P：=Pn

4、得出结论

因n方向是任意选定的，故上式表明，静止流体中同一点各个方向的静压强均相等。

在连续介质中，P仅是位置坐标的连续函数。=2(x,y,z).

同一点受力各向相等，但位置不同，大小不同。

呈什么关系？=》下节中讨论

说明：

以上特性不仅适用于流体内部，而且也适用于流体与固体接触的表面。如:

二、静止流体的压力分布

(一)、绝对静止流体

A.静止流体平衡微分方程—欧拉方程

它是流体在平衡条件下，质量力与表面力所满足的关系式。

根据流体平衡的充要条件，静止流体受的所有力在各个坐标轴方向的投影和都为

零，可建立方程。

%=0

方法：微元分析法。在流场中取微小六面体，其边长为小、dy、dz,然后进行受力

分析，列平衡方程。

以X轴方向为例，如图所示

1、取研究对象

微元体：无穷小平行六面体，

dx、dy、dz-。

微元标中心：A(x,y,z)

Ai点坐标：Ai(x-dx/2,y,z)

A2点坐标：A2(x+dx/2,y,z)

2、受力分析

①表面力

设A处压强：p(x,y,z)

因压强分布是坐标的连续函数，则A|点、A?点的压强0、P2可按泰勒级数展开,

dp(dx\1d2P1d"p

=p(x,y,z)++

~dx[^)2~d^n\dxn

略去二阶以上无穷小量,得到A1、A2处的压强分别为:

dpdxdpdx

P\=P-Pz=p+

dx2dx2

则表面力在X方向的合力为:

(P1-Pl)-dy-dz+dy-dz=~^-dx-dy-dz

|_<ox2J\dx2J]dx

②质量力

微元体质量：M=Pdxdydz

设作用在单位质量流体的质量力在x方向上的分量为X。

则质量力在x方向的合力为：X•Pdxdydz

3、导出关系式：

对微元体应用平衡条件工厂二°,则

X-pdxdydz--dxdydz=0

8x

4、结论:

X」史=0

pdx

同理，在y和z方向可求得:

y__L迦=0

pQy

z--^-=o

P^z(I)

——欧拉平衡微分方程式

X、Y、Z——单位质量力在X、入Z轴方向的分量

1dp1dp1dp

Pdx＞「力、p&单位质量流体所受的表面力在X、AZ轴方向上的分量

公式的物理意义：

平衡流体中单位质量流体所受的质量力与表面力在三个坐标轴方向的分量的代数

和为零。

B.静止平衡微分方程的全微分式

1、利用Euler平衡微分方程式求解静止流体中静压强的分布，可将Euler方程分别乘以

dx,dy,dz,然后相加，得

—dx+—dy+—dz=p(Xdx+Ydy+Zdz)

dxdydz⑴

因为p=p(x,y,z),所以上式等号左边为压强p的全微分协，则上式可写为

dp=p(Xdx+Ydy+Zdz)(口)

2、势函数(力函数)

对于不可压缩流体：p=const

因为II式左边是压强P的全微分，从数学角度分析，方程式的右边也应该是某个函数

U(x,y,z)的全微分，即：

Xdx+Ydy+Zdz=dU

dU=迎小组dy+亚dz

又因为dxdydz

则有ESHES(III)

该函数U{x,y,z)称为势函数。

显然，U(x,yz)在x,7，z方向的偏导数正好等于单位质量力分别在各坐标轴上的

投影。因为在所有的空间上的任一点都存在质量力，因此，这个空间叫质量力场或势力

场。重力就是势力。

C.等压面

1、定义：同种连续静止流体中，静压强相等的点组成的面。（p=const）

2、方程：

由II式dp=p（Xdx+Ydy+Zdz）

由/>=const—dp=0

得Xdx+Ydy+Zdz=0

3、等压面性质

①等压面就是等势面。因为胸=必。

②作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。

证明：沿等压面移动无穷小距离近=Tdx+jdy+kdz

则由空间解析几何：单位质量力做的功应为

F-ds=（X,Y,Z）-{dx,xy,dz）=Xdx+Ydy+Zdz=0

所以，质量力与等压面相垂直。

③等压面不能相交

相交一一点有2个压强值：错误

④绝对静止流体的等压面是水平面

X=Y=0,Z=—g+性质②

⑤两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面

证明：在分界面上任取两点A、B,两点间势差为dU,压差为劭。因为它们同属于两

种流体，设一种为。”另一种为人，则有：

dp=P1dU且dp=PzdU

因为01#

所以只有当劭、dU均为零时，方程才成立。

说明：

等压面可能是水平面、斜面、曲面、分界面。

D.静力学基本方程式

1、坐标系的原点选在自由面上，z轴垂直向上，液面上的压强为po,则

X=0,Y=0,Z=-g

代入公式.dp=p（Xdx+Ydy+Zdz）（］）

得:dp=p(-g)dz--ydz

(2)

Y=const,积分(2)式得:

(3)

静力学基本方程形式之一

2、由（3）式得P=~^+C

代入边界条件：z=0时，p=po

则po=C

所以P=P「/（4）

令-z=h（点在液面以下的深度h）

则|P=P°+例（5）

——静力学基本方程形式之二。

3、说明：

帕斯卡连通器原理简单称为连通器原理，在仅受重力作用下的均质、连通、静止的

液体中，水平面就是等压而。

（1）仅受重力作用下，静止流体中某一点的静压强随深度按线性规律变化。

（2）仅受重力作用下，静止流体中某一点的静压强等于表面压强加上流体的容重与该

点淹没深度的乘积。

（3）自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用下的同一连续连通的

静止流体的等压面是水平面。

（4）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的压强值。

22=Pi+心力

4、静力学基本方程式的意义

Z+J

Y

1、几何意义

Z——位置水头：该点到基准面的高度。

£

¥——压力水头:该点压强的液柱高度。

z+—

了——测压管水头：为一常量

静止流体中各点的测压管水头是一个常数。

2、物理意义

Z二

z比位能：单位重量流体所具有的位能。%

£

y——比压能：单位重量流体从大气压力为基点算起所具有的压力势能。

是一种潜在的势能，若在某点压力为p,接出一测压管，则在该压力作

p_

用下，液而上升的高度为7

z+—

/——总势能：为一常量

静止流体中，单位重量流体的总势能是恒等的。

（二）、相对静止流体

1°研究对象：相对于坐标系静止的流体称为相对平衡流体。

本节讨论两种情况：

•等加速直线运动,

•等角速旋转运动j质量力包括重力和惯性力

2。研究方法：

利用达朗贝尔原理

工少二机。的动力学问题变为工厂二。的静力学问题

达朗贝尔原理：

如果在运动的质点上加上惯性力，则作用在质点上的主动力、约束力与惯性力平衡。

3°研究目的：

,压强分布公式

•等压面方程

•自由液面方程

A、等加速水平运动容器中流体的相对平衡

1、问题描述：

如图，作用在流体上的质量力除重力外，还有一个与加速度方向相反的惯性力。显

然，在石不变时，户=机万亦不变化。这时，流体相对于容器不动。如果把坐标固定在容

器上，据达朗贝尔原理，把惯性力户=〃疝加在液体质点上，容器内液体在重力机g和

惯性力F的作用下，处于相对平衡。

2、等加速直线运动流体的压强分布及等压面方程。

取坐标如图。任取一点加，作用在质点上的质量力为mg（I）,ma（一）,合力R与z

轴成。角。

X=-a,X=0,Z=-g

代入公式dp=p1Xdx+Ydy+Zdz）

则：dp=-p（adx+gdz）（1）

①等压面方程

令dp=O,则adx+gdz=O

所以|ax+gz=C|（2）

结论：

a.等压面是一簇平行斜平面

a=tg-if-

b.等压面与x轴夹角为：VgJ（等压面与重力和惯性力的合力垂直）

②自由液面：x=0,z=0-C=0

则自由液面方程为:ax+gzx=0

a

zs=----x

g(3)

zs------自由液面上点的z坐标

③静压强分布

设P=const,对(1)式积分，得

p=-/?(ax+gz)+C(4)

由边界条件：x=0,z=0时，p=po

得：C=po

则：口=%03+gz)|(5)

P=Po+Pg(--x-z)=%+y(z,-z)=po+例

g符合静力学基本方程式

B、等角速旋转容器中液体的相对平衡

1、问题描述：

容器以勿角速度绕轴旋转时，由于粘性作用，靠近壁处流体首先被带动旋转，平衡

后，各流体质点具有相同的角速度，此时，液体与容器一起旋转。相对于作等角速运动

的圆桶而言，流体处于相对平衡状态。

受力分析：液体中任一质点所受的质量力有

重力：G

惯性力：F,且F°^mw2r

则元=6+户随r增大而增大。

2、压强分布、等压面方程

坐标固定在容器上，坐标原点。在旋转轴与自由液面的交点，z轴竖直向上。

因为F=Mco2r(力)

,F2

/=—=Ct)r

所以,M(单位质量力)

所以22

X=fx=cor-cosa~cox(1)

Y=f=co2r-sina=co2y

y(2)

而Z=-g(3)

把(1)、(2)、(3)式代入Euler方程的积分式

21

dp=p^Xdx+Ydy+Zdz)=p(coxdx+coydy-gdz)(4)

①等压面方程

令(4)式dp=。,得

a)2xdx+a)2ydy-gdz=0

g(a)2x2+a)~y2)-gdz=C

积分得:(5)

—G)~Y~~gZ=C

所以得等压面方程12I(6)

结论：等压面是一簇绕z轴旋转的抛物面。

②自由液面方程

对于自由液面，r=0,z=0

得C=0

则得到自由液面方程：2(7)

(79

Zs为水面高出xoy平面的垂直距离。

③流体静压强分布

222，

,CDxcoy-、尸

p=/?(-------+--——gz)+C

不可压O=co〃s3积分(4)式得：226

,(or、八

p=r-(——z)+C

即2g(8)

代入边界条件：r=0,z=0时，p=po

得：C=po

22

P=Po+/1(-........z)=Po+/(zs—z)=Po+浊

则：2g(9)

结论：在同一高度上，其静压强沿径向按二次方增长。

例1:(1)装满液体容器在顶盖中心处开口的相对平衡

分析：容器内液体虽然借离心惯性力向外甩，但由于受容器顶限制，液面并不能形成旋

转抛物面，但内部压强分布规律不变：

.a)2r2、_

p=r-(——z)+C

2g(不能体现绝压、表压)

(2)装满液体容器在顶盖边缘处开口的相对平衡

,cor、八

p=y-(------z)+C

压强分布规律：2g

边缘A、B处：r=R,z=0时，p=Pa

22

作用于顶盖上的压强：p=pa-^^R-r)

2g

三、压力测量

1、分类：根据适用范围、适用条件的不同，分为液式、金属式、电测式。

2、液式测压计

原理：匠口。+例(p、p。的标准必须一致，用表压)

方法：找等压面（性质5：两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面）

特点：结构简单、使用方便、制造简单，常用于实验室中。

a.液面计b.测压管

[75po>p.HII

*面"[jjf™>11----------J「

―11风=泡

c.U形管测压计

1rijP+A

=P1]

；=>夕=/7一九

_____________%如图]_5_14丫加由2=P2

d.组合式U形管测压计

nJ

|JLJP+A-/Hg

HgHg(

夕=//.口2T加

e.U形管压差计

fl气

fTMp「九二二22-泡

-，2)

f.组合式U形管压差计

先找等压面：a一a面、b—b面

写出等压面压力表达式：a—a面上

P「血="2-防2+7破八〃

所以P「小=/雄△0一/（%一4）

当两测点在同一水平面上时：△〃=用一耳

所以M=P「P2=0Hg-ykh

3、金属测压计

（1）原理：弹性元件在压力作用下产生弹性变形。

（2）分类：弹簧管式、薄膜式压力表。

（3）缺点：易坏（超量程操作）

4、电测式测压计

电量一数字信号

5、几种压强的表示（基准不同）

（1）、绝对压强：P绝

是以绝对真空为零点而计量的压强。

P『Pa+油*°

（2）、相对压强（表压）：p«|或P我

是以当地大气压为零点而计量的压强。

夕表="绝一4=及

（3）、真空压强（真空度）：Pv或p其

当绝对压强小于当地大气压时，当地大气压与绝对压强的差值。

Pi(=Pa-P绝=-P表=济真之0

注：①只有当。表＜°时，才用真空度的概念

②气体的压强都是绝对压强

③尽可能用表压：R,在液体内部等值传递的

(4)、压强的度量

a、应力单位：Pa,Kgf/cm2(即at),dyn/cm2

b、大气压单位：

252

1atm=760mmHg=1.0336Kgf7cm=10.336mH20=1.013X10N/m

244

lat=735mmHg=1Kgf7cm=9.8X10Pa=10mH2O=9.8X10Pa

c、液柱高单位：mmHg,mH2O

§1.6静止流体作用在壁面上的力

一、作用在平面上的作用流体总压力

平行力系问题。

1、问题描述：

设静止液体中有一任意形状的平面，它与水平面的夹角为a,面积为人

2、坐标：选坐标如图

原点---取在自由液面上；

X轴——平面或其延伸面与自由液面的交线；

Y轴——垂直于ox轴沿着平面向下。

3、分析

①.总压力的大小

在N上取微元面积加，坐标为丁，其上所受总压力为火，口对应水下深度为鼠则:

dP=p-dA=浊dA=/v-sinadA(*)

在面积A上积分:

P=^dP=jy/sinadA=ysinajydA

(1)

面积/对ox轴的面积矩，即

所以尸=/sinaycA-yhcA-pcA

P=yhcA=pcA

——总压力计算公式

结论：总压力=形心处压强x平面面积

问题：平面形心处压强与平面的平均压强大小一样么？（一样）

②.总压力的方向：垂直并指向平面

③.总压力作用点（压力中心）

或%>="+e

e=——>0

其中偏心距匕4

Jc——平面对通过形心c并与x轴平行的轴的惯性矩，单位〃九

压心的位置与受压面倾角。无关，压力中心（作用点）D永远在平面形心C的下

边，距离为偏心距e。只有当受压面位置为水平放置时，压心与形心才重合。

二、作用在曲面上的流体总压力

它包括压力的大小、作用点及作用方向三个方面。求解时，通常将总压力分解成空间坐标系的

三个分量，求出各分量后再合成。

工程上遇到最多的是二向曲面（柱面）。因此，我们只推导如图所示曲面总压力计算公式。

求总压力问题就是空间力系的合成问题。

取坐标如图，

原点---自由液面上；

j轴——与二向曲面的母线平行。

设a为弘法线方向与x轴方向夹角，则

（一）、总压力大小

①化整为零

②变不平行为平行

即曲面上所受的液体总静压力P可分解为在。x轴方向的水平分力尸、和在oz轴方向的垂直分力匕。

1、水平分力

dPx=yhdAcosa=yhdAx

Px=y[hdAx=yheAx=pcAx

Y=C,

所以PX=A4=PCAX（i）

式中J/""'一为面积A在yoz平面上的投影面对oy轴的面积矩。

2、垂直分力

因为dP：=yhdAsina=yhdA：（2）

令丫=C,对（2）式积分

匕="5=%

其中小I砒为压力体体积

3、总压力：0=M+乃（4）

（二）、总压力的方向

总压力的方向与垂线夹角为9,则

tan。=乙

____匕

（三）、总压力的作用点

尸应通过Px与尸z的汇交点E,于是根据E点和。角可确定尸作用线位置，此线与曲面交点。

即为所求。

三、关于压力体

由承受压力的曲面、曲面边缘向上引垂面与自由液面或延长线（面）相交形成的无

限多微小体积的总和。

1、组成：

a.自由液面或其延伸面

b.曲面

c.沿曲面的周界垂直至液面（或其延伸面）的铅垂而

2、压力体的画法

a.找自由液面（或其延伸面）p表=0（当P/W0,等效方法：h=p/Y）

b.找出液固分界面

c.据静压力作用方向的不同（f或I）找特殊点，分段。

d.做虚实压力体。

4、分类

a.实压力体

b.虚压力体

c.综合压力体

例如：实压力体（a）：PzI充满液体

虚压力体（b）：Pzt空

四、阿基米德浮力原理

（一）、静止流体的浮力

1、潜体：完全潜没在流体当中的物体。

2,浮体：当物体当中的部分浸没在流体中，另一部分露出在自由表面之上时，称为浮

体。

3、浮力：浮体或潜体表面所受到流体对它的作用力的合力成为浮力。

巴孚=乃《入部分

4、浮心：浮力的作用点，为V的几何中心。

（二）、浮体的平衡及稳定

1、浮体的平衡条件

a.G=P

b.重心D和形心C在同一垂直线上

2、稳定性分析

a.重心在浮心之下——稳定平衡

b.重心与浮心重合——随遇平衡

c.重心在浮心之上——不稳定平衡

（三）、阿基米德浮力定律

p=Ph14/

物体实际受到的浮力，于同体积流体重量。于是阿基米德浮力定理得证。物体在液

体中，所受的静水总压力，仅有铅直部分力，其大小就等于物体所排开的同体积的液