数学全册检测题基础题（解析版）-2021年高中数学同步培优检测题（选修2-2）

专题10人教A版数学全册检测题K基础题》（解析版）

一、单选题

1.复数z满足（Z—2i＞（l+i）=2（i为虚数单位），则复数=在复平面内对应的点在

（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】

先计算复数z=2一+2i,再求其共物复数，即可求出共朝复数对应的点，进而可得在

l+i

复平面内对应的点所在的象限.

【详解】

由卜_2，＞（1+,.）=2得：

2_2(1-/)2(l-z)

z=l-i,

l+i(1+/)(1-/)2

・'・z=l+i,z=1—/.

所以复数三在复平面内对应的点为（1,-1）,位于第四象限，

故选：D.

2.曲线y=ox+lnx在点（1,/。））处的切线斜率为3,则实数。的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

首先对函数求导，根据函数图象在某个点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，从

而将相应的量代入，求得结果.

【详解】

函数/（x）二以+lnx,可得r（x）=a+,，

X

所以切线的斜率为左=r（l）=a+l=3,解得〃=2,

故选：B.

3.已知函数〃"="一袅2"，3为/⑴的导函数，若r（a）=/（a）,贝心=

（）

A.0B.-1

C.2D.。或2

【答案】D

【分析】

求导，再由r（。）=/（。）解方程得出a的值.

【详解】

f\x）=ex-ex,根据条件得e"解得。=。或2.

故选：D

4.函数y=/+x的递增区间是（）

A.（0,-K»）B.（fl）C.（-oo,+oo）D.

【答案】C

【分析】

利用导数的性质进行求解即可.

【详解】

y=Y+xoy=3丁+1,因为y〉0在整个实数集上恒成立，所以函数y=l+x的

递增区间是（-8,+00）.

故选：C

5.若函数/（x）在R上可导，J0L/（x）=x2+2/,（2）x+;??（mG7?）,则（）

A./（0）＜/（5）B./（0）=/（5）

C./（0）＞/（5）D.以上答案都不对

【答案】C

【分析】

由已知等式两边同时求导，取x=2,求出2/'（2）的值.利用二次函数的对称性和单

调性即可解决问题.

【详解】

/（X）=X2+2/'（2）X+W,

.•/（x）=2x+21⑵，

试卷第2页，总14页

・•・r(2)=2x2+2,/(2),

⑵=T.

/(x)=x2-8x+7n,

图象为开口向上的抛物线，其对称轴方程为：x=4,

故选C.

【点睛】

本题考查导数的运算，求出.尸(2)的值是关键，属于中档题.

6.已知/(%)=4+伏+1)+(左+2)+...+2女(々wN*)，则()

A.f(k+1)-f(k)=2k+2B.f(k+l)-f(k)=3k+3

C./(%+1)-/(幻=4攵+2D.f(k+l)-f(k)=4k+3

【答案】B

【分析】

先计算出/0+1)J(Q,再求f(k+1)-f(k)得解.

【详解】

由题得/(女+1)=左+1+(女+2)+(k+3)+_+2左+2k+1+2(攵+1),

f(k)=k+(k+l)+(/c+2)+...+2/c,

所以/(&+1)-f(k)=-k+2k+l+2k+2=3k+3.

故选：B

【点睛】

本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

7.在集合/a,b,c,引上定义两种运算㊉和③如下：

abed@abed

aabedaaaaa

bbbbbbabed

ccbcbcacca

ddbbddadad

那么(。㊉c)=()

A.aB.bC.cD.d

【答案】c

【分析】

先计算a㊉c=c.再计算80C=C.

【详解】

根据运算㊉可知:。㊉c=c.

再根据运算③可得：b®c=c.

故选C

【点睛】

本题考查了新定义的理解，属基础题.

8.已知函数y=/(x)的导函数y=/'(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是

()

A.函数y=〃x)在上是增函数

B.x=3是函数y=/(x)的极小值点

c.r⑶<r⑸

D./(-1)</(3)

【答案】D

【分析】

由图得出函数丁=/(x)的单调性判断ABD,根据广(3)=/'(5)=0判断C.

【详解】

当xe(-oo,-l)时,/@)<0,则函数y="x)在(3,-1)上是减函数,故A错误;

函数y=/(x)在(T3)1二单调递增，在(3,5)上单调递减，则X=3是函数y=/(x)的

极大值点，故B错误；

由图可知，/(3)=/'(5)=0,故C错误；

试卷第4页，总14页

函数y=/(x)在［一1,3］上单调递增，则/(一1)<〃3),故D正确;

故选：D

9.已知复数z和虚数单位i满足4+i=l.则同=().

Z

5\

A.J2B.—C.2D.—

22

【答案】B

【分析】

根据复数的除法运算公式，求出z=■!■+■!■»,再利用复数的模的运算公式，即可求出结

22

果.

【详解】

111+z11.

因为一+j=l,所以z="j_-，v.,=-+-1,

zIT(1-Z)(1+Z)22

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了复数的运算和复数模，属于基础题.

10.用反证法证明“若x+ySO,贝!I烂0或殍0”时，应假设()

A.x>0或y>0B.x>0且y>0

C.xj>0D.x+yVO

【答案】B

【分析】

利用反证法的定义分析判断得解.

【详解】

用反证法证明“若x+)WO,则烂0或)W0”时，应先假设x>0且)>0,

故选B.

【点睛】

本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

11.关于x的函数/。)=丁+3/+3尤-。的极值点的个数有()

A.2个B.1个C.0个D.由。确定

【答案】c

【解析】

试题分析：因为，f(x)=x3+3x2+3x-a,所以，令/'*)=3/+6%+3=0,得,

(x+l)2=0,在x=-1附近，导函数值不变号，所以，关于》的函数

/(乃=1+3/+3；1-a的极值点的个数为0,选C.

考点：导数计算.

点评：简单题，应用Qv)'=a"+av',熟记导数公式.先确定“驻点”的个数.

12.如图所示的是y=f(x)的图象，则/'(乙)与/'(/)的大小关系是()

A.f'(xA)>f'(xB)B.f'(xA)<f'(xB)

C.f'(xA)=f(xB)D.不能确定

【答案】B

【解析】

试题分析：由函数图像可知函数在A处的切点斜率比在B处的切线斜率要小，由导数

的几何意义可知f'(xA)</'(乙)成立

考点：导数的几何意义

二、填空题

13.设函数/(力可导，则lim'("竺.

-03AJC

【答案】;尸(1)

【分析】

利用导数的定义计算即可.

【详解】

试卷第6页，总14页

由导数的定义可知：lim/0+加)―/。),

，'，20Ax

/(1+Ax)-/(1)1/(1+Ar)-/(1)1

所以lim-----------=-lim-----------=-

AS。3Ax3-Ax3

故答案为：1r(i)

14.已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下

说法：甲说：我去过北京，乙去过上海，丙去过北京；乙说：我去过上海，甲说的不完

全对；丙说：我去过北京，乙说的对.若甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去

过北京的是.

【答案】丙

【分析】

若甲说得不对，则乙、丙说得对，若乙或丙说得不对，则得出与''甲、乙、丙三人中恰

有1人说得不对“矛盾，从而得到去过北京的是丙.

【详解】

若甲说得不对，则乙、丙说得对，即乙一定去过上海，丙一定去过北京，甲只去过上海,

若乙或丙说得不对，则得出与''甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾，

故去过北京的是丙.

故答案为：内.

【点睛】

本小题主要考查简单的合情推理，属了基础题.

15.J^4--X2dx=.

【答案】2万

【分析】

根据被积函数3(2WxW2)表示•个半圆，利用定积分的几何意义即可得

解.

【详解】

被积函数y=J匚/(2VXW2)表示圆心为(0,0),半径为2的圆的上半部分，

所以［\IA-X2dx=-7r-22=27r.

J-22

故答案为：2〃.

【点睛】

本题考查了利用定积分的几何意义来求定积分，在用该方法求解时需注意被积函数的在

给定区间内的函数值符号，本题属于中档题.

16.已知复数4,z?满足Z22=l，F=l+Gi，则对于任意的/eR,14+Z2I的

Z2

最小值是.

【答案】立

2

【分析】

先设出Z2=a+4,根据题意得到㈤=扬+/=1,Z]=（1+网z2，代入住+z2|

化简得到上+z2|=卜++:,即可求出匕+z2\的最小值.

【详解】

解：设z2=a+bi,

则z2=a-hi,

2

又z^z2=（。+4）・（〃一4）="+/?=1,

12

|z2|=\]a+b=1，

五=1+后，

Z2

Z}=（l+Ki）.Z2,

=|^l+V3zj-z2+z2

=|r(l+V3/)+l|.|z2|

=卜(1+后)+1

=/4/+2f+l

试卷第8页，总14页

t£R,

，当/=一：时，/Z+Z2L=k（」+口

4112|minV（44）Q4=B2.

故答案为：昼

2

三、解答题

17.已知复数2="（加一1）+（机2+2加一3）i,当加取何实数值时，复数Z是:

（1）纯虚数；

（2）z=2+5i.

【答案】（1）加=0；（2）m=2.

【分析】

（1）利用力（加一1）=0,。〃2+2加—3）20,即可求解.

（2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等加（加一1）=2,（加2+2加-3）=5即可求

【详解】

m=0或m=1

（1）若复数是纯虚数，则＜纣解得，〃。-3且加工1'所以吁°

（2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等可得《

nr+2m-3=5

m-2或加=-1

解得《即加=2

m-2或=-4

18.若/（犬）=；/+%2-3%，xeR,求:

（1）/（X）的单调增区间

（2）/（%）在［0,2］上的最小值和最大值.

、/25

【答案】⑴增区间为（--3）,（1,+8）；（2）/（x）max/（x）min=--.

【解析】

分析：（1）求导/'（x）,解不等式/'（x）＞0得到/（力的单调增区间;

（2）求出极值与端点值，经比较得到/（x）在［0,2］上的最小值和最大值.

详解:

(1)/Z(X)=X2+2X-3,

由r（x）＞o解得％（一3或r）i,

/（X）的增区间为（一8,—3）,（1,+8）：

(2)f'(x)-x2+2x-3=0,x=-3(舍)或x=l，

〃l)=g+l一3=一？"0)=0.

/(2)=1X23+22-3X2=|,

〃月用=|，r(x)min=-|

点睛：函数的最值

（1）在闭区间［a,b］上连续的函数7（x）在［a,目上必有最大值与最小值.

（2）若函数y（x）在可上单调递增，则为函数的最小值，人与为函数的最大值；若函

数凡r）在［a,可上单调递减，则为函数的最大值，人份为函数的最小值.

?1

19.已知数列｛a,,｝满足4=-三，«„=------(n..2,neN4).

a

3n-\+,

（1）求）2、（3；

（2）猜想数列通项公式并用数学归纳法给出证明.

【答案】（1）--，--；（2）4=-W（〃GN*）.证明见解析.

【分析】

（1）依据递推关系可求。2、

〃+1

（2）根据（1）可猜测%=------,按照数学归纳法的基本步骤证明即可.

〃+2

【详解】

3

,Cl-i-

4-5

〃+1

（2）猜想数列通项公式。“=------,证明如下:

〃+2

2n+1_2所以a“=一巴U成立;

当〃=1时，a.=—,

3"十23〃+2

%+1

假设〃=左时成立，即4=-----

k+2

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11k+2++l

当〃=左+］时，“__q,+2__2.+j__k+3__（l+l）+2>

~k+2

•**〃=k+1时，a=-"+1-成立,

〃+2

综上，由①②得：（neN*）.

【点睛】

由数列的前若干项和递推关系可猜测数列的通项，然后再用数学归纳法去证明，注意数

学归纳法有三个部分即归纳的起点、归纳假设和归纳证明，注意归纳证明的推理过程必

须川到归纳假设.

2。.⑴若复数z二一一占是实数（其中济小■是虚数单位）,则求"的值.

（2）求曲线y=«,直线丁=*-2及y轴所围成的封闭图形的面积.

【答案】（1）a=\；（2）y.

【分析】

（1）先化简复数z再令虚部为0,求解即可.

（2）利用微积分基本定理即可求出.

【详解】

⑴因为2=1一寸=1一^4^=［亍卜丁是实数‘

U—1

所以——=0,所以。=1.

2

（2）由［>="解得x=4,y=2,故面积为

3=x-2

J（石-x+2）<Zx=-x2—+2xlo=—■

【点睛】

（1）本题考查复数的运算和基本概念，考查计算能力；（2）考查微积分基本定理求解

区域面积，均属于基础题.

21.（1）用综合法证明：对于任意x〉0,y>0,有此与41叱1ny；

22

（2）用分析法证明：对于任意a,be（0,6］时,有@—3|之6|a—4

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】

(1)先由基本不等式证明苫上之而，再结合函数单调性，即可得出结论成立；

(2)按照分析法的步骤，逐步递推，直到得出显然成立的结论，即可得证.

【详解】

(1)对于任意的x>0,y>o,有苫而当且仅当x=y时，等号成立.

又函数y=lnx是单调递增函数，所以InNin,而1nA=nx；lny,

.x+y、lnx+lny

故而证得In——>-------.

22

(2)要证：心》—3|2-4

只需证：｛ab-3)2>-b))2

只需证：a2b2-3a2-3b2+9>0

只需证：(a2-3)02-3)>O

因为a,bw(0,6］，所以"一3«0，/?2-3<0-

故而有(4-3)(〃-3)20成立.所以原不等式成立.

22.函数/(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=/(x)上点尸(1,f(1))处的切线方程为y

=3x+l

(1)若y=/(x)在x=-2时有极值，求函数y=/(x)在［-3,1］上的最大值；

(2)若函数y=/(x)在区间［-2,1］上单调递增，求6的取值范围.

【答案】(l)f(x)在［-3,1］上最大值为13(2)［0,+oo).

【分析】

(I)由/(X)=炉+公2+灰+C求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数/(X)在

X=-2时有极值即可列出关于a,b,c的方程，求得a,b,c的值，从而得到/(x)

的表达式，求函数的导数/(x),通过了(x)>0,及了(x)<0,得出函数的单调性，

进一步得出函数的最值即可.

(2)方法一：求出导函数，令导函数大于大于0在区间［-2,1］上恒成立，通过对对称

轴与区间位置关系的讨论，求出/⑴的最小值，令最小值大于等于0,求出人的范围.

方法二：求出导函数，令导函数大于大于0在区间［-2,1］上恒成立，分离出参数近

构造新函数机(X),利用基本不等式求出，"(X)的最大值，令。大于等于，〃(X)的最

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大值即可.

【详解】

322

解：（1）由/（x）=x+ax+bx-^ct求导数得/（x）=3x+2ar+6,

过y=/（x）上点尸（1,，（1））的切线方程为：y-/d）=f（1）（X-1）

即y-("分+c+1)=(3+2〃+〃)(x-1)

3+2。+Z?=32〃+b=0

即〈,个，；有尸/⑴在x=-2时有极值,

Q+〃+C-2=1Q+/?+C=3

故f(-2)=0,

2a+h=0

/.-4a+b=-12,则<a+b+c=3,解得a=2,b=-4,c=5,

一4。+人=-12

f(x)=x3+2x2-4x+5.

f(x)=3x2+2or+/?=3/+4尤-4=(3x-2)(x+2)

(-2,2

(-3,2(一，

X-3-231

3

-2)1)

3

fco+0-0+

极大极小增函

f（X）8增函数减函数4

值13