高中数学.数列通项公式的求法专项练习题27道(含简易答案)

高中数学.数列通项公式的求法专项练习题27道(含简易答案)1.求数列$a_n$的通项公式，已知$a_1=1$，$a_{n+1}-a_n=n$。解：根据题意，可以列出递推式：$a_2-a_1=1,a_3-a_2=2,\cdots,a_{n+1}-a_n=n$，两边累加得到$a_{n+1}-a_1=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$，因此$a_{n+1}=\dfrac{n(n+1)}{2}+1$。2.求数列$a_n$的通项公式，已知数列满足$a_1=1$，$a_n=3+a_{n-1}$（$n\geq2$）。解：根据递推式，可以列出$a_n=3+a_{n-1}=3+3+a_{n-2}=\cdots=3(n-1)+a_1=3n-2$。3.求数列$a_n$的通项公式，已知数列满足$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+n^2+n$。解：根据递推式，可以列出$a_2=a_1+1^2+1=4$，$a_3=a_2+2^2+2=10$，$a_4=a_3+3^2+3=22$，$\cdots$，$a_n=a_{n-1}+(n-1)^2+(n-1)$。将递推式中的$n$替换为$n-1$，得到$a_{n}=a_{n-1}+(n-2)^2+(n-2)+n^2+n$，整理得到$a_n=2+\sum\limits_{i=2}^{n}(i-1)^2+(i-1)+n^2+n$。因此，$a_n=2+\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}+\dfrac{(n-1)n}{2}+n^2+n=\dfrac{n^3+3n^2+4n}{3}$。4.求数列$a_n$的通项公式，已知$a_{3n-1}=3$，$a_{n+1}=\dfrac{3n+2}{3n-1}a_n$。解：根据递推式，可以列出$a_4=\dfrac{3\cdot2+2}{3\cdot2-1}a_1=10$，$a_7=\dfrac{3\cdot3+2}{3\cdot3-1}a_4=\dfrac{29}{5}\cdot10=58$，$\cdots$，$a_{3n}=\dfrac{3n-1}{3n-4}a_{3n-3}=\cdots=\left(\dfrac{3n+2}{3}\right)^2$。因此，$a_n=\left(\dfrac{3\lfloor\frac{n}{3}\rfloor+2}{3}\right)^2$。5.求数列$a_n$的通项公式，已知$a_1=2$，$a_n=3a_{n-1}-2$（$n\geq2$）。解：根据递推式，可以列出$a_2=3a_1-2=4$，$a_3=3a_2-2=10$，$a_4=3a_3-2=28$，$\cdots$，$a_n=2^n+2$。6.求数列$a_n$的通项公式，已知数列满足$a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2n+2}$。解：根据递推式，可以列出$a_2=\dfrac{a_1}{4}$，$a_3=\dfrac{a_2}{6}=\dfrac{a_1}{24}$，$\cdots$，$a_n=\dfrac{a_1}{(n+1)!}$。因此，$a_n=\dfrac{1}{n!(n+1)}$。7.求数列$a_n$的通项公式，已知$a_1=2$，$a_{n+1}=2a_n+2$。解：根据递推式，可以列出$a_2=2a_1+2=6$，$a_3=2a_2+2=14$，$\cdots$，$a_n=2^{n+1}-2$。8.求数列$a_n$的通项公式，已知$a_1=2$，$a_{n+1}=2a_n$。解：根据递推式，可以列出$a_2=2a_1=4$，$a_3=2a_2=8$，$\cdots$，$a_n=2^{n-1}\cdot2=2^n$。9.求数列$a_n$的通项公式，已知$a_1=1$，$na_{n+1}=(n+1)a_n+1$。解：根据递推式，可以列出$a_2=\dfrac{3}{2}$，$a_3=\dfrac{11}{6}$，$a_4=\dfrac{25}{12}$，$\cdots$，$a_n=\dfrac{(n-1)!+1}{n!}$。因此，$a_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n(n-1)}$。10.求数列$a_n$的通项公式，已知$a_1=4$，$a_n=3a_{n-1}+2n-1$（$n\geq2$）。解：根据递推式，可以列出$a_2=3a_1+1=13$，$a_3=3a_2+3=42$，$a_4=3a_3+5=131$，$\cdots$，$a_n=3^{n-1}a_1+2\sum\limits_{i=1}^{n-1}i-1+2n-1=3^{n+1}-2n-7$。11.求数列$a_n$的通项公式，已知数列满足$a_1=6$，$a_{n+1}=3a_n+2n-1$。解：根据递推式，可以列出$a_2=3a_1+1=19$，$a_3=3a_2+3=60$，$a_4=3a_3+5=183$，$\cdots$，$a_n=3^{n-1}a_1+2\sum\limits_{i=1}^{n-1}i-1+2n-1=3^{n+1}-2n-13$。12.求数列$a_n$的通项公式，已知数列满足$a_1=1$，$a_{2n}=4a_{2n-1}-3$，$a_{2n+1}=2a_{2n}+2$。解：根据递推式，可以列出$a_2=4a_1-3=1$，$a_3=2a_2+2=4$，$a_4=4a_3-3=13$，$a_5=2a_4+2=28$，$a_6=4a_5-3=109$，$\cdots$，$a_{2n}=3\cdot2^{n-1}+(-1)^n$，$a_{2n+1}=3\cdot2^n+(-1)^n$。13.求数列$a_n$的通项公式，已知数列满足$a_1=2$，$a_n=4a_{n-1}-3+2n$。解：根据递推式，可以列出$a_2=4a_1-3+2=5$，$a_3=4a_2-3+4=17$，$a_4=4a_3-3+6=67$，$\cdots$，$a_n=2^{n+1}-n-2$。14.求数列$a_n$的通项公式，已知数列满足$a_1=2$，$a_{2n+1}=4a_{2n}-2n+1$，$a_{2n}=2a_{2n-1}+n-1$。解：根据递推式，可以列出$a_2=2a_1+1=5$，$a_3=4a_2-2+1=19$，$a_4=2a_3+2-1=39$，$a_5=4a_4-6+1=153$，$\cdots$，$a_{2n}=2^{n+1}-n-3$，$a_{2n+1}=2^{n+2}-2n-5$。15.求数列$a_n$的通项公式，已知数列满足$a_1=2$，$a_{n+1}=4n-a_n+2$。解：根据递推式，可以列出$a_2=4\cdot1-a_1+2=4$，$a_3=4\cdot2-a_2+2=12$，$a_4=4\cdot3-a_3+2=22$，$\cdots$，$a_n=2n^2-2n+2$。16.求数列$a_n$的通项公式，已知数列满足$a_1=1$，$a_2=3$，$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2n+3}{3n+2}$。解：根据递推式，可以列出$a_3=\dfrac{3\cdot2+3}{2\cdot3+2}\cdot3=5$，$a_4=\dfrac{4\cdot2+3}{3\cdot4+2}\cdot5=\dfrac{23}{3}$，$\cdots$，$a_n=\dfrac{(2n+1)!!(3n-1)!!}{(2n)!!(3n)!!}$。17.求数列$a_n$的通项公式，已知数列满足$a_1=1$，$a_2=2$，$4a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$。解：根据递推式，可以列出$a_3=3$，$a_4=5$，$a_5=7$，$\cdots$，$a_n=\dfrac{1}{3}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$。18.求数列$a_n$的通项公式，已知数列满足$a_1=2$，$a_n=\dfrac{2a_{n-1}+1}{2a_{n-2}+1}$。解：根据递推式，可以列出$a_2=\dfrac{2a_1+1}{1}=5$，$a_3=\dfrac{2a_2+1}{2a_1+1}=\dfrac{11}{4}$，$a_4=\dfrac{2a_3+1}{2a_2+1}=\dfrac{47}{22}$，$\cdots$，$a_n=\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}+\dfrac{1}{2}$。1.已知数列{an}的前n项和为Sn，对所有的n∈N，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项。求an。改写：对于数列{an}，其前n项和为Sn，且对于所有的n∈N，an与2的等差中项相等，而Sn与2的等比中项相等。求an。2.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+(-1)^n，n∈N*。求an。改写：数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an+(-1)^n，其中n∈N*。求an。3.数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=√(n+2Sn)，n∈N*。求an。改写：数列{an}的前n项和为Sn，其中a1=1，an+1=√(n+2Sn)，n∈N*。求an。4.数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=(n+2)Sn(n∈N*)。求an。改写：数列{an}的前n项和为Sn，其中a1=1，an+1=(n+2)Sn，n∈N*。求an。5.已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn+1=4an+2(n=1,2,…)，a1=1。求an。改写：数列{an}中，Sn是其前n项和，且当n=