河南省驻马店市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

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学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、如果点A在直线a上，而直线a又在平面内，那么可以记作().

A.，B.，

C.，D.，

2、与的值最接近的数是()

A.B.C.D.

3、已知矩形ABCD的对角线相交于点O，则()

A.B.C.D.

4、用斜二测画法画的直观图如图所示，其中，，则中BC边上的中线长为()

A.B.C.3D.1

5、在复平面内，角的顶点为坐标原点，始边为实轴非负半轴，终边经过复数所对应的点，则()

A.B.C.D.

6、我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度Similarity为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P、Q的余弦距离为，Q，R的余弦距离为，则()

A.B.C.4D.7

7、直角梯形ABCD，满足，，，现将其沿AC折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值时其外接球的体积为()

A.B.C.D.

8、已知函数，，若对任意的a，，当时，恒成立，则实数m的取值范围()

A.B.C.D.

二、多项选择题

9、已知z为复数，则的值可能是()

A.B.C.D.

10、在中，，，，则下列结论错误的是()

A.若，则有两解B.若，则为钝角三角形

C.若只有一解，则D.若为直角三角形，则

11、如图，棱长为2的正方体中，点P在线段上运动，则()

A.异面直线AP与所成角的范围为

B.二面角（P不在C点）的余弦值为

C.点P到平面的距离为

D.存在一点P，使得直线AP与平面所成的角为

12、在中，D为AC上一点，，，若的外心O恰好在BD上，则()

A.

B.

C.

D.在方向上的投影向量为

三、填空题

13、已知复数，，则__________.

14、《九章算术》中将正四梭台（上下底面均为正方形）称为“方亭”.现有一方亭，高为2，上底面边长为2，下底面边长为4，则此方亭的表面积为__________.

15、已知函数定义域为R，满足，则__________.

16、在中，a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，，则面积的最大值为__________.

四、解答题

17、已知，是两个不共线的向量，为单位向量，.

（1）若__________，求；在①；②两个条件中任选一个填在__________上，并作答.

（2）是否存在实数，使得与共线，若存在求出；若不存在，说明理由，

18、如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，为等边三角形，平面底面ABCD，，，O为AB的中点，E为线段PC上的动点.

（1）证明：；

（2）当平面PCD时，求三棱锥的体积.

19、已知，，.

（1）求证：；

（2）若关于的方程有两个不相等的实根，求实数m的取值范围.

20、如图，A，B，C三地在以O为圆心圆形区域边界上，A，B两地间的距离为30公里，A，C两地间的距离为10公里，，D是圆形区域外一景点，，.

（1）求圆O的半径；

（2）若一汽车从A处出发，以每小时50公里的速度沿公路AD行驶到D处需要多少小时？

21、如图，直三棱柱中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在掕CC_1上，已知，，.

（1）求证：平面ADF；

（2）设点M在棱上，当BM为何值时，平面平面ADF.

22、已知向量，，.

（1）当时，函数取得最大值，求的最小值及此时的解析式；

（2）现将函数的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数的图象.已知A，B，C是函数与图象上连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，求的取值范围.

参考答案

1、答案：B

解析：直线上有无数个点，直线可看成点的集合，

点A在直线a上，可记作，

直线a在平面内，可记作，

故选B.

2、答案：D

解析：

.

故选：D

3、答案：D

解析：在矩形ABCD中，，又因为，则，

因此，.

故选：D.

4、答案：D

解析：在直观图中，，且，则，故，

又因为，则，可得，

故为等腰直角三角形，所以，，故轴，

依据题意，作出的原图形如下图所示：

延长BA至点D，使得，则A为BD的中点，

由题意可知，，，，且，

所以，且，故四边形OBDC为平行四边形，则，

取BC的中点E，连接AE，

因为A、E分别为BD、BC的中点，则.

故选：D.

5、答案：B

解析：复数在复平面内所对应的点为，

因为在复平面内，角的顶点为坐标原点，始边为实轴非负半轴，终边经过点，

所以，

故选：B

6、答案：A

解析：由，，，

，

，

所以，故，

则，

整理得.

故选：A

7、答案：B

解析：

由已知得为定值，则当平面平面ABC时，三棱锥体积取最大值，

由四边形ABCD为直角梯形，，，，

则，

为直角三角形，

，

平面ACD，

故，

又，且，

平面BCD，

，为直角三角形，

故，

所以O为外接球球心，半径，

外接球体积，

故选：B.

8、答案：B

解析：

所以得，

进而，故，

由于对任意的，当时，，恒成立，

，

不妨设，则问题转化成在单调递减，

所以其中，解得，

故选：B

9、答案：ABC

解析：设，则，则，，

所以.

对于A，若，则，解得，

所以，符合题意，A正确；

对于B，若，则，解得，

所以，符合题意，B正确；

对于C，若，则，解得，

所以，符合题意，C正确；

对于D，若，则，解得，

b不存在，D错误.

故选：ABC

10、答案：BCD

解析：若，由正弦定理可得，因为，所以或，即有两解，A正确；

若，由正弦定理可得，不存在，B错；

时，由正弦定理可得，此时有一解，即“若只有一解，则”不正确，C错；

时，由正弦定理可得，此时，三角形是直角三角形，即“若为直角三角形，则”不正确，D错；

故选：BCD.

11、答案：BC

解析：对于A：当P在点时，因为，所以即为异面直线AP（）与所成角，因为为等腰直角三角形，所以，故A错误；

对于B：因为P在线段上，所以平面PAC（P不在C点）即为平面，取AC的中点O，连接OB、，则，，所以即为二面角（P不在C点）的平面角，又，，所以，故二面角（P不在C点）的余弦值为，即B正确；

对于C：因为且，所以为平行四边形，所以，平面，平面，平面，所以点P到平面的距离与点到平面的距离相等，又为边长为的等边三角形，所以，，设点到平面的距离为d，又，即，解得，所以点P到平面的距离为，故C正确；

对于D：因为平面，连接BP，所以为直线AP与平面所成的角，

因为，所以，所以最大为，当且仅当P在、C时取得，所以不存在点P，使得直线AP与平面所成的角为，故D错误.

故选：BC

12、答案：ACD

解析：

对于A，因为的外心O恰好在BD上，连接OA，OC，

则OA，OB，OC分别平分角A，B，C，

在与中，由正弦定理可得①，

②，其中，，

两式相除可得，，

则

，故A正确；

对于C，设，则，在与中，由余弦定理可得，，

即，解得，

则，

在中，，故C正确；

对于B，因为，

则

，故B错误；

对于D，在中，由余弦定理可得，

，

则在方向上的投影向量为.

故D正确；

故选：ACD

13、答案：或

解析：由题意可得，，

，

则，

所以

故答案为：.

14、答案：

解析：如图所示，AC，BD分别是正四梭台不相邻两个侧面的高，，

则AE即为正四梭台的高，，

由，，得，

所以此方亭的表面积为.

故答案为：.

15、答案：-1

解析：因为，，

令，可得，

所以，，

，

所以，即函数为周期函数，且周期为6，

当，时，，所以，

所以，

则.

故答案为：-1

16、答案：

解析：由正弦定理可得，即，

故，

故，解得

由余弦定理，

即，解得.

又由基本不等式可得，当且仅当时取等号.

故，即，当且仅当时取等号，故.

故，

又，故当时，取最大值，此时.

故答案为：

17、答案：（1）答案见解析

（2）不存在，理由见解析

解析：（1）选①：由，得，即，

由，得，

因为，所以，

选②：由，即，

由，，得，

所以，

（2）若与共线，

则存在实数k，使得

由向量，是两个不共线，即

也即，显然不存在实数.

18、答案：（1）证明见解析

（2）

（1）

解析：连接OC，OP.

由为等边三角形，O为AB的中点，

故，且，，

因为平面平面ABCD，平面平面，平面PAB，

故平面ABCD，

因为平面ABCD，所以，

又因为，，

所以，

再由，，OP，平面POC，

所以平面POC，

因为平面POC，所以，

（2）连接AC，BE，DE，因为平面POC，且平面POC，所以，

因为，OC公共边，所以，所以，

因为四边形ABCD为菱形，为等边三角形，，

所以，

所以和是全等的等边三角形，所以，

因为平面PCD，平面PCD，所以，

所以E为PC中点，

根据等体积法

.

19、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）方法一：由，得.

所以，即，

因为，所以，或，

解得，或（舍去），

所以，

方法二：

由，，且函数单调递增

所以，即，

（2）由（1）知，方程可化为，

即，即，

所以，

因为，，所以，则，

在同一坐标系中作出，的图象，

因为关于的方程有两个不相等的实数根，

由图象知：

20、答案：（1）15.28

（2）1.25小时

解析：（1）由题意，设圆的半径为R，

在中，，，，

由余弦定理

，

，

由正弦定理得，

解得：，

（2）由题意及（1）得

在中，，，，

故，

在中，，，，

由正弦定理知，

即，

在中，，

，

由余弦定理，得

由一汽车从A处出发，以每小时50公里速度沿公路AD行驶到D处，

故所需时间：，

即需要1.25小时

21、答案：（1）证明见解析；（2）当时，平面平面ADP.

解析：（1）证明：连接CE交AD于O，连接OF.

因为CE，AD为的中线，

则O为的重心，

故，

故，

因为平面ADF，平面ADF，

所以平面ADF;

(2)当时，平面平面ADF.

证明如下：因为，D为BC的中点，

故.在直三棱柱中，

平面ABC，平面，

故平面平面ABC.

又平面平面，平面ABC，

所以平面，

又平面，

故.

又，，，，

故.

易证，又，DF，平面ADF，

故平面ADF.

又平面CA