高中数学二面角求法及经典题型归纳

高中数学二面角求法及经典题型归纳立体几何二面角求法一、知识准备1.二面角的概念：二面角是由一条直线和两个半平面组成的图形，这条直线称为二面角的棱，两个半平面称为二面角的面。2.二面角的平面角的概念：二面角的平面角是指在二面角的棱上取一点，分别在两个半平面内做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角。3.二面角的大小范围：二面角的大小范围是[0°，180°]。4.三垂线定理：如果一条直线和一个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。5.平面的法向量：直线L垂直平面α，取直线L的方向向量，则这个方向向量称为平面α的法向量。一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量。6.二面角的求法：二面角的平面角可以用以下三种方法求解：(1)定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，这两条射线所夹的角。(2)垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与两个半平面分别有一条交线，这两条交线所成的角。(3)三垂线法：过一个半平面内一点做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足再做棱的垂线，连接垂足，则所得角度即为该二面角的平面角。7.两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有一定的关系。二、二面角的基本求法及练习1.定义法：在二面角的棱上取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角度即为二面角的平面角。可以通过添加辅助线和应用三角函数、正弦定理和余弦定理来解决问题。例如，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可以从二面角S-AMB中半平面ABM上的一个已知点B向棱AM作垂线，得到垂足F；在另一个半平面ASM内过该垂足F作棱AM的垂线GF，这两条垂线BF和GF便形成该二面角的一个平面角。然后在该平面角内建立一个可解三角形，通过直角三角函数、正弦定理和余弦定理求解。2.垂面法和三垂线法也可以用来求解二面角的平面角。例如，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，如果E为CC1的中点，则可以求截面A1BD和EBD所成二面角的度数。：利用向量的点积和向量模长的关系，可以求出二面角的余弦值，从而求出二面角的大小。例如：已知二面角的两个面的法向量a和b，二面角的余弦值为cosθ，则二面角的大小为θ=arccos(cosθ)=arccos(a·b/|a||b|)。例1．如图13，已知正四面体ABCD，点E在BC边上，且BE＝2BC，求平面AED与平面ABC所成的二面角的大小。例2．如图14，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点E在棱AA1上，且AE＝3AA1，求平面EBC与平面ABCD所成的二面角的余弦值。例3．如图15，已知正六棱柱ABCDEF，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝a，点G在棱AD上，AG＝2AD，求平面GBF与平面ACE所成的二面角的大小。向量法是一种传统且简捷的解立体几何题的方法。使用向量法解题时，需要建立空间直角坐标系，并写出各点的坐标。然后将几何图中的线段表示为向量，进行向量计算求解。例如，求解二面角可以归结为求两个向量的夹角问题。对于空间向量a、b，可以使用公式cos＜a，b＞=a·b/|a|·|b|来计算。利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中的二面角问题。例如，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD，求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值。我们可以建立空间直角坐标系，并设正方形边长为1。根据题意，得到AB=(0,1,0)是面VAD的法向量。设n=(1,y,z)是面VDB的法向量，则n·VB=0，n=(1,-1,-3)。因此，cos＜AB，n＞=-21/7。由题意可知，面VAD与面VDB所成的二面角为锐角，因此其余弦值为正。另外一个例子是直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA1=1，侧面AAB1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M。我们需要证明CD⊥平面BDM，并求解面B1BD与面CBD所成二面角的余弦值。最后一个例子是在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。我们需要求解二面角C—PB—D的