工程弹塑性力学教学课件第三章应变状态理论

第三章应变状态理论

3.1位移分量和应变分量两者的关系

3.2相对位移张量转动分量

3.3转轴时应变分量的变换

3.4主应变应变张量不变量＊3.5应变二次曲面

3.6体应变

3.7应变协调方程＊3.8有限变形的几何浅析第三章应变状态理论由于我们只是从几何学观点出发分析研究物体的变形本身，而并不涉及到产生变形的原因和物体的物理性能，所以本章所得的结果对一切连续介质都是适用的。任务(1)分析一点的应变状态(2)建立几何方程和应变协调方程§3-1位移分量和应变分量两者的关系设原来占据空间某一位置D的物体，在外力或温度变化的作用下占据空间另一位置D1（如图）。在这过程中，物体可能同时发生两种变化：一种是位置的变化（这部分相当于刚体运动），另一种是形状的变化。

由物体的连续性假设，要求在变形前连续的物体变形以后仍保持为连续体。这一物理的要求，反映在数学上，则要求区域D内每一点，连续变化到区域D1内的相应点，而且两者成一一对应的关系。具体地说，如果P点为D内的任意一点，在物体变形后，它经过一个位移而变到D1中的一点P1；若分别用（x,y,z）和（x1,y1,z1）表示P点和P1点的坐标，则根据上述要求，这里的x1,y1,z1必须是x,y,z的单值连续函数。

称为位移矢量投影于坐标轴位移分量位移分量棱边的相对伸长和缩短为称正应变用来表示棱边间所夹直角的改变量称为剪应变用来表示应变分量3.胳2相对仇位移畏张量卵转动戒分量3.绣3转轴雷时应秤变分壁量的兆变换宪应身变张袄量1.转轴谱时应认变分涌量的追变换老坐标系应变分量新坐标系应变分量设为3个新坐标对老坐标轴的方向余弦（1）转轴文时位旅移分呢量的卫变换新坐标轴单位矢量（2）转轴绢时应我变分隶量的岭变换利用努方向至导数轧公式于是稿新坐驶标系挠中的细应变模分量穴为代入几何形方程赞，可得应变佛分量的变笼换公线式：上式塑可以扑写成2.应变副张量物体相内某涨一点阅沿任染意方学向微遥分线防段的涂相对薄伸长简率l,贺m,为该吹微分翁线段俭的方患向余陡弦3.好4主应哨变房诚应编变张炭量不访变量对任成一确货定点M，可帐找到择一个云坐标扇系，智在这仆个坐翻标系势下，营只有秀正应煎变分厕量，呈而所息有的弱切应诊变分驰量为纪零。右即过随点可梨找到永这样3个相携互垂早直的钳方向形，使滤沿这3个方令向的滤微分始线段很在物屑体变泳形后性只是毕各自勺地改晨变了华长度秤，而摊其夹料角仍右保持员为直章角。鱼但要铜注意柔的是撤在变灾形以咳后，肌主方盯向的莫微分愁线段邀由于朽单元闲体的哥刚性组转动权而转解动了而一个题角度移。1、应变挡主方毅向与伯主应狐变同样，主应变方向余弦有非零解的条件为展开鉴后得以上述称为应变我张量唤不变乓量（依猎次称奥为第触一、历第二壮和第咸三不镜变量开）。茫不变壳含义叙同应绘力张亲量其中三次情方程爪有3个实急根呀，罪代入续方程棕，并劝利用压，敞可以哄求出3个主丘应变元，并赖当总之初，单过物匹体内积的一抖点至挽少可抢以找地到3个互杆相垂珠直的立方向为，沿恨这3个方敢向的茅微分粥线段债在物飘体变件形后豪仍保吹持垂老直（1）3个主应变互相垂直（2），同时垂直，而方向任意（3）则任意方向均为主方向3.辅6体应验变3.辞7应变裂协调米方程AB从数诊学的浓角度碌看：几何方程中的6个应变分量是通过3个位移分量表示的，显然6个应变分量之间应满足一定的关系从几勤何的畏角度倦看：Ac1.应变轮协调猫方程几何去方程左列第一式和第二式分别对和求二阶偏导数，相加，再利用右列第三式把几何方程的右列第一、第二、和第三式分别对和求一阶偏导数，得把后瘦两式姥相加震再减李去它如们的海前一烦式，帆则有应变叔协调尸方程又称圣维候南方耐程轮换这样总共得到6个关系式，现综合如下：2.讨论（1）应政变分平量满目足应洽变协活调方容程，包是保趣证物晌体连模续的积一个叨必要疗条件询。（2）如能果物傅体是巩单连涨通的潮，应节变分截量满优足应负变协货调方守程是匪物体辩连续盒的充省分条垫件。如位摔移分斯量可汽以通律过对哭其一鸣阶偏嫌导数中积分耕求解纳：其中

不能直接应用应变分量表示出来，它们对求一阶偏导数，便可以用应变分量表示出来求得单值连续的的充分和必要条件为则