2016-2017学年上海中学高一上学期期末数学试卷和解析

2016-2017学年上海中学高一上学期期末数学试卷和解析2016-2017学年上海中学高一（上）期末数学试卷一.填空题1.函数f(x)=log(3x+1)的定义域是(-1/3,+∞)。2.函数f(x)=x^2(x≥1)的反函数f^-1(x)=√x(x≥1)。3.若幂函数f(x)=a^x的图像经过点(2,4)，则a=2。4.若对任意不等于1的正数a，函数f(x)=a(x+2)-3的图像都过点P(1,1/2)，则点P的坐标是(1,1/2)。5.已知f(x)=ax^2+bx是定义在[a^-3,2a]上的偶函数，则a=-1/3，b=2/3。6.方程log2(x+1)^2+log4(x+1)=5的解是x=5/2。7.已知符号函数sgn(x)=[x/|x|]的值域为{-1,0,1}。8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x^2+x，则函数f(x)的解析式为f(x)=|x|^2-|x|。9.函数y=x/(x-1)的单调增区间为(-∞,0)和(1,+∞)，则函数y=sgn(|x|)+|sgn(x)|的单调增区间为(-∞,-1)和(0,+∞)。10.设函数y=f(x)存在反函数f^-1(x)，若满足f(x)=f^-1(x)恒成立，则称f(x)为“自反函数”，如函数f(x)=x，g(x)=b-x，(k≠0)等都是“自反函数”，一个不同于上述例子的“自反函数”是y=-1/x。11.方程x^2+2x-1=0的解可视为函数y=x+2的图像与函数y=1/x的图像交点的横坐标，若方程x^4+ax-4=0的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是(-∞,-8)。12.对于函数y=f(x)，若存在定义域D内某个区间[a,b]，使得y=f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b]，则称函数y=f(x)在定义域D上封闭。如果函数y=x^2在定义域R上封闭，则定义域D=[0,+∞)。二.选择题13.已知f(x)=ax^3+bx+1(ab≠0)，若f(2013)=k，则f(-2013)=-k+2。14.定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,2)上是增函数，且f(x+2)的图像关于x=1对称，则f(x)的解析式为f(x)=x-1。2．（3.00分）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（1）=2，则f（0.5）=．【分析】由单调递减函数的性质可知，对于任意的x1＜x2，有f（x1）＞f（x2），因此可以利用f（1）=2和单调递减的性质，来确定f（0.5）的范围．【解答】解：由于f（x）在（0，+∞）上单调递减，因此有f（1）＞f（0.5）＞f（0）．又因为f（1）=2，所以有2＞f（0.5）＞f（0）．故f（0.5）的值在（0，2）之间，但无法确定具体值．故答案为：（0，2）．3．（3.00分）函数f（x）=2x﹣3x﹣2的值域为（a，b），则a+b=．【分析】要求函数f（x）的值域，可以先求出函数f（x）的最小值和最大值，然后将它们相加即可得到a+b的值．【解答】解：设函数f（x）的最小值为m，则有：f（x）≥m，即2x﹣3x﹣2≥m．移项得：2x﹣3x﹣2﹣m≥0，即3（x﹣1）2≤m﹣1，因此，当x＝1时，有3（x﹣1）2＝0，此时f（x）＝﹣2，即m＝﹣2．又设函数f（x）的最大值为M，则有：f（x）≤M，即2x﹣3x﹣2≤M．移项得：2x﹣3x﹣2﹣M≤0，即3（x﹣1）2≥M﹣1，因此，当x＝1时，有3（x﹣1）2＝0，此时f（x）＝﹣2，即M＝﹣2．因此，函数f（x）的值域为（﹣2，﹣2），故a+b=﹣4．故答案为：﹣4．当x＞0时，sgn（|x|）=1，sgn（x）=1，故y=1+1=2；当x＝0时，sgn（|x|）=0，sgn（x）=0，故y=0+0=0；当x＜0时，sgn（|x|）=1，sgn（x）=﹣1，故y=1+﹣1=0；故函数y=sgn（|x|）+|sgn（x）|的值域为{0，2}．故答案为：{0，2}．1.当$x>0$时：$y=\text{sgn}(|x|)+|\text{sgn}(x)|=\text{sgn}(x)+1=1+1=2$；当$x=0$时：$y=\text{sgn}(|x|)+|\text{sgn}(x)|=\text{sgn}(x)+0=0+0=0$；当$x<0$时：$y=\text{sgn}(|x|)+|\text{sgn}(x)|=\text{sgn}(x)+1=-1+1=0$；综上可得：函数$y=\text{sgn}(|x|)+|\text{sgn}(x)|$的值域为$\{0,2\}$．故答案为：$\{0,2\}$．2.已知$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数，当$x<0$时，$f(x)=x^2+x$，则函数$f(x)$的解析式为$f(x)=\begin{cases}x^2+x&x<0\\-x^2+x&x\geq0\end{cases}$．【分析】首先利用奇函数的性质可得$f(0)=0$，然后结合奇函数的性质求解$x>0$时函数的解析式，最后将函数的解析式写出分段函数的形式即可．【解答】解：由奇函数的性质可得：$f(0)=0$，设$x>0$，则$-x<0$，此时有：$-f(x)=f(-x)=(-x)^2+(-x)=-x^2-x$，则$f(x)=-(-x^2-x)=x^2-x$，且当$x=0$时，$-x^2+x=0$，综上可得：函数的解析式为$f(x)=\begin{cases}x^2+x&x<0\\-x^2+x&x\geq0\end{cases}$．3.函数的单调增区间为$(-\infty,1]$和$[3,5]$．【分析】首先将解析式中的指数看作一个函数讨论其单调性，然后利用复合函数同增异减的原则讨论原函数的单调性即可．【解答】解：绘制函数$y=|x^2-6x+5|$的图象如图所示：观察函数图象可得函数的单调递增区间为：$[1,3]$和$[5,+\infty)$，单调递减区间为：$(-\infty,1]$和$[3,5]$．指数函数$y=0.3^x$在定义域内单调递减，结合复合函数同增异减的原则可得函数$y=|x^2-6x+5|$的单调递减区间：$(-\infty,1]$和$[3,5]$．故答案为：$(-\infty,1]$和$[3,5]$．4.设函数$y=f(x)$存在反函数$f^{-1}(x)$，若满足$f(x)=f^{-1}(x)$恒成立，则称$f(x)$为“自反函数”，如函数$f(x)=x$，$g(x)=b-x$等都是“自反函数”，试写出一个不同于上述例子的“自反函数”$y=\begin{cases}x&-1\leqx\leq1\\\frac{1}{x}&x<-1\text{或}x>1\end{cases}$．【分析】根据题意，只要写出满足条件的函数即可，如$y=\begin{cases}x&-1\leqx\leq1\\\frac{1}{x}&x<-1\text{或}x>1\end{cases}$．【解答】解：根据题意，设函数$y=f(x)$为“自反函数”，则$f(x)=f^{-1}(x)$，即$x=f(f(x))$．当$-1\leqx\leq1$时，$f(x)=x$，则$x=f(f(x))=f(x)=x$，满足题意；当$x<-1$时，$f(x)=\frac{1}{x}$，则$x=f(f(x))=f(\frac{1}{x})=\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x$，满足题意；当$x>1$时，$f(x)=\frac{1}{x}$，同理可得$x=f(f(x))$，满足题意．综上可得，$y=\begin{cases}x&-1\leqx\leq1\\\frac{1}{x}&x<-1\text{或}x>1\end{cases}$为一个“自反函数”．∴f（﹣2013）=2﹣k，故选D．14．（3.00分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+3x+1，g（x）=f（x﹣1），则g（x）的单调递减区间为（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，0）【分析】将g（x）=f（x﹣1）带入计算可得g（x）=（x﹣2）3+2，这是一个单调递减的函数，因此g（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）．【解答】解：g（x）=f（x﹣1）=(x﹣1)3﹣3（x﹣1）2+3（x﹣1）+1=x3﹣3x2+3x﹣2=(x﹣2)3+2，∴g（x）单调递减，故g（x）的单调递减区间为（﹣∞，1），故选C．（2）解法一：由f（﹣x）=﹣f（x），得k•a﹣x﹣a﹣﹣x=k•ax﹣a﹣x，即a﹣x﹣a﹣﹣x=ax﹣a﹣x，解得a=3．又因为g（x）=a2x﹣a﹣2x﹣2mf（x）=32x﹣3﹣2x﹣2mf（3x﹣3﹣x），令t=3x﹣3﹣x，则t是关于x的增函数，可得h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，讨论对称轴和区间的关系，可得最小值为﹣2，解方程可得m=1．解法二：由f（﹣x）=﹣f（x），得k•a﹣x﹣a﹣﹣x=k•ax﹣a﹣x，即a﹣x﹣a﹣﹣x=ax﹣a﹣x，解得a=3．又因为g（x）=a2x﹣a﹣2x﹣2mf（x）=32x﹣3﹣2x﹣2mf（3x﹣3﹣x），令t=3x﹣3﹣x，则t是关于x的增函数，可得h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，h（t）在区间[0，+∞）上单调递增，且对称轴为t=m，最小值为﹣2，解方程可得m=1．当m=0或m=-时，f(x)有2个零点；当m<0或m>0时，f(x)有3个零点。21.已知a∈R，函数f(x)=log2[(a-3)x+3a-4]，求解以下问题：(1)当a=2时，解不等式：log2(-x+2)>1。(2)若函数y=f(x^2-4x)的值域为R，求a的取值范围。(3)若关于x的方程(a-3)(x^2-4x)+(3a-4)=0只有一个实根，求a的取值范围。【解答】(1)当a=2时，f(x)=log2(-x+2)，则不等式化为-log2(x-2)>1，即x-2<1/2，解得x<5/2，所以不等式的解集为(-∞,5/2)。(2)将y=f(x^2-4x)转化为关于x的函数，得到f((x-2)^2-4)+3a-4。因为对数函数的定义域为正数，所以(a-3)x+3a-4>0，即x>(4-a)/(a-3)。又因为log2的值域为R，所以(a-3)x+3a-4≠1，即x≠(1-3a)/(a-3)。结合二次函数的开口方向和判别式，得到不等式组：(4-a)/(a-3)<x<(1-3a)/(a-3)或x>(1-3a)/(a-3)或x<(4-a)/(a-3)。因为log2的定义域为正数，所以还需满足(a-3)x+3a-4>0，综合起来得到a≥8。(3)设方程(a-3)(x^2-4x)+(3a-4)=0的实根为x0。因为只有一个实根，所以判别式Δ=0，即(