高三总复习 数学 理科（人教版）第二章 第五节　对数函数（课件+学案+课时作业共打包5份）（解析版+原卷版）

第第页高三总复习数学理科（人教版）第二章第五节对数函数（课件+学案+课时作业，共打包5份）（解析版+原卷版）(共53张PPT)

第二章函数的概念与基本初等函数

第五节对数函数

考向预测

考情分析：对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数型函数的定义域、值域、最值等仍是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中档题．

学科素养：通过对数式运算考查数学运算的核心素养；通过对数函数的图象与性质考查直观想象、逻辑推理的核心素养．

栏目导引

知识分步落实

栏目一

考点分类突破

栏目二

微专题系列5

栏目三

知识分步落实

对数

N

logaM

logaM

logaN

logaM

(0,＋∞)

(1,0)

增函数

减函数

y＝logax

y＝x

考点分类突破

微专题系列5巧借运算性质拟合函数破压轴［思想方法］

微专题系列5

课时作业(十)

80

y

10

1

2

元

-2-10

12

X

A

B

1

1

2

x

2

X

C

D第五节对数函数

课程标准考向预测

1.理解对数的概念及其运算性质，用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象．3.体会对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．考情分析：对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数型函数的定义域、值域、最值等仍是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中档题．学科素养：通过对数式运算考查数学运算的核心素养；通过对数函数的图象与性质考查直观想象、逻辑推理的核心素养．

1.对数

概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式

性质对数式与指数式的互化：ax＝Nx＝logaN(a>0，且a≠1)

loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1)

运算法则loga(MN)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0

loga＝logaM－logaN

logaMn＝nlogaM(n∈R)

换底公式logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)

2.对数函数的图象与性质

a>10图象

性质定义域：(0，＋∞)

值域：R

过定点(1，0)

当x>1时，y>0当01时，y0

在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数

3.反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

eq\a\vs4\al()

1.换底公式的三个重要结论

①logab＝；②log＝logab；,③logab·logbc·logcd＝logad.

2.对数函数图象的特点

(1)当a>1时，对数函数的图象呈上升趋势；,当0(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．

(3)在直线x＝1的右侧，当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0小题练1．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是()

B［函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，函数y＝logax的图象与y＝ax的图象关于y＝x对称，分析图象可知符合条件的只有B项，故选B.］

小题练2．(必修1P74习题T3改编)计算：lg－lg8＋lg7＝.

解析：原式＝lg4＋lg2－lg7－lg8＋lg7＋lg5＝2lg2＋(lg2＋lg5)－2lg2＝.

答案：

小题练3．(巧用结论)若log34·log48·log8m＝log416，则m＝.

解析：利用换底公式，得··＝2，

∴lgm＝2lg3＝lg9，于是m＝9.

答案：9

小题练4．函数y＝logax(a>0，a≠1)在［2，4］上的最大值与最小值的差是1，则a＝.

解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0答案：2或

考点一对数式的化简与求值自练型

1.设alog34＝2，则4－a＝()

A．B．

C．D．

B［因为alog34＝log34a＝2，所以4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B.］

2.计算：＝.

解析：原式＝＝＝1.

答案：1

3.计算：log23·log38＋()log34＝.

解析：原式＝·＋3log34＝3＋3log32＝3＋2＝5.

答案：5

4.已知log23＝a，3b＝7，则log32的值为.

解析：由题意3b＝7，所以log37＝b.

所以log32＝log＝

＝＝

＝.

答案：

5.设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝.

解析：因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.

所以m2＝10，所以m＝.

答案：

eq\a\vs4\al()

对数运算的一般思路

考点二对数函数的图象及其应用讲练型

(1)(2023·泰安模拟)函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为()

(2)当01时不满足条件，当0，所以a的取值范围为.

答案：(1)A(2)B

eq\a\vs4\al()

对数型函数图象的考查类型及解题思路

(1)对有关对数型函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等求解．

(2)对有关对数型函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象．特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

(3)与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法．

即时练1.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(填序号).

①a>1，c>1；②a>1，00，所以0c

C．ab>c

(2)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为()

A．a1，b＝log29－log2＝log2(3)＝a，c＝log32c.

(2)因为y＝log5x是增函数，

所以a＝log52log0.50.5＝1；

因为y＝0.5x是减函数，所以0.5＝0.510且a≠1)满足f()0的解集为()

A．(0，1)B．(－∞，1)

C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)

C［法一：因为函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而02x－1>1，所以x>1.

法二：由f()1.由f(2x－1)>0得loga(2x－1)>0，

所以2x－1>1，即x>1.］

eq\a\vs4\al()

解对数不等式的方法

(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．

角度三探究对数型函数的性质

已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3).

(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

解析：(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，

因此a＋5＝4，即a＝－1，

这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3).

由－x2＋2x＋3>0，得－10，h(－)＝－＋3＝1，解得a＝.

故存在实数a＝，使f(x)的最小值为0.

eq\a\vs4\al()

求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤

一求求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论

二判判断对数函数的底数与1的关系，分a>1与0判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性

即时练1.设a＝log32，b＝log53，c＝，则()

A．a＜c＜bB．a＜b＜c

C．b＜c＜aD．c＜a＜b

A［由a＝log32＝log3log5＝log55＝＝c，所以a0时，f(x)＝

当0时，f(x)＝ln＝ln，易知f(x)单调递减．因为f(x)为奇函数，且在上连续，所以f(x)在上单调递增，在和上单调递减，故选D.］

即时练3.方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为.

解析：原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)

＝log2(x2－1)＝2，

即x2－1＝4，解得x＝±，

又x>1，所以x＝.

答案：x＝

巧借运算性质拟合函数破压轴［思想方法］

定义在(0，＋∞)上的增函数f(x)，满足对于任意正实数x，y恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(x－8)0)，

则不等式f(x)＋f(x－8)0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．考情分析：对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数型函数的定义域、值域、最值等仍是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中档题．学科素养：通过对数式运算考查数学运算的核心素养；通过对数函数的图象与性质考查直观想象、逻辑推理的核心素养．

1.对数

概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式

性质对数式与指数式的互化：ax＝Nx＝logaN(a>0，且a≠1)

loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1)

运算法则loga(MN)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0

loga＝logaM－logaN

logaMn＝nlogaM(n∈R)

换底公式logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)

2.对数函数的图象与性质

a>10图象

性质定义域：(0，＋∞)

值域：R

过定点(1，0)

当x>1时，y>0当01时，y0

在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数

3.反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

eq\a\vs4\al()

1.换底公式的三个重要结论

①logab＝；②log＝logab；,③logab·logbc·logcd＝logad.

2.对数函数图象的特点

(1)当a>1时，对数函数的图象呈上升趋势；,当0(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．

(3)在直线x＝1的右侧，当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0小题练1．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是()

小题练2．(必修1P74习题T3改编)计算：lg－lg8＋lg7＝.

小题练3．(巧用结论)若log34·log48·log8m＝log416，则m＝.

小题练4．函数y＝logax(a>0，a≠1)在［2，4］上的最大值与最小值的差是1，则a＝.

考点一对数式的化简与求值自练型

1.设alog34＝2，则4－a＝()

A．B．

C．D．

2.计算：＝.

3.计算：log23·log38＋()log34＝.

4.已知log23＝a，3b＝7，则log32的值为.

5.设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝.

eq\a\vs4\al()

对数运算的一般思路

考点二对数函数的图象及其应用讲练型

(1)(2023·泰安模拟)函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为()

(2)当00，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(填序号).

①a>1，c>1；②a>1，0c

C．ab>c

(2)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为()

A．a0且a≠1)满足f()0的解集为()

A．(0，1)B．(－∞，1)

C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)

eq\a\vs4\al()

解对数不等式的方法

(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．

角度三探究对数型函数的性质

已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3).

(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

eq\a\vs4\al()

求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤

一求求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论

二判判断对数函数的底数与1的关系，分a>1与0判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性

即时练1.设a＝log32，b＝log53，c＝，则()

A．a＜c＜bB．a＜b＜c

C．b＜c＜aD．c＜a＜b

即时练2.(2023·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)()

A．是偶函数，且在单调递增

B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增

D．是奇函数，且在单调递减

即时练3.方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为.

巧借运算性质拟合函数破压轴［思想方法］

定义在(0，＋∞)上的增函数f(x)，满足对于任意正实数x，y恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(x－8)1，

c＝0.20.3∈(0，1)，

∴a0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于()

A．log2xB．

C．logxD．2x－2

A［函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，

又f(2)＝1，即loga2＝1，

所以a＝2，故f(x)＝log2x.］

3.函数y＝ln的图象可能为()

A［易知2x－3≠0，即x≠，排除C、D．

当x>时，函数y＝ln＝－ln(2x－3)为减函数；

当x0且a≠1)的值为．

解析：原式＝(2log23)(log32)＋loga(×a)＝2×1＋logaa＝3.

答案：3

7.已知a>0，且a≠1，函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P，若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝．

解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P(2，)，则2α＝，所以α＝，故幂函数为f(x)＝x.

答案：x

8.函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为．

解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝(log2x＋)2－≥－，当log2x＝－，即x＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－.

答案：－

9.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0且a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求实数a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间上的最大值．

解析：(1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2.

由得－10恒成立，即a>－恒成立，

由于－∈(－∞，0)，故只要a≥0即可．

(3)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间［0，1］上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2(＋a).

由题意得log2(1＋a)－log2(＋a)≥2

故－［能力提升练］

11.已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，则()

A．f(x)在(0，2)上单调递增

B．f(x)在(0，2)上无最大值

C．f(x)的图象关于直线x＝1对称

D．f(x)的图象关于点(1，0)对称

C［f(x)＝lnx＋ln(2－x)，定义域为(0，2)，

f(x)＝ln［x(2－x)］＝ln(－x2＋2x)，

令t＝－x2＋2x，y＝lnt，

∵t＝－x2＋2x，x∈(0，2)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，

∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，故A不正确；

f(x)max＝f(1)＝0，故B不正确；

∵f(1＋x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)，

f(1－x)＝ln(1－x)＋ln(1＋x)，

∴f(1＋x)＝f(1－x)，

∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，D不正确．］

12.(2023·郑州模拟)设a＝log30.4，b＝log23，则()

A．ab>0且a＋b>0B．ab0

C．ab>0且a＋blog22＝1，所以ab0，故选B．］

13.设实数a，b是关于x的方程|lgx|＝c的两个不同实数根，且a0，且a≠1)是“半保值函数”，求实数t的取值范围．

解析：函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R.当a>1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝logaz在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；当0∴f(x)在定义域R上为增函数，

令f(x)＝loga(ax＋t2)＝x，

∴ax＋t2＝ax，则ax－a＋t2＝0.

令u＝a，u>0，

则u2－u＋t2＝0有两个不相等的正实根．

得Δ＝1－4t2>0，且t2>0，

∴00，且a≠1)，若f(x)>1在区间［1，2］上恒成立，则实数a的取值范围为．

解析：当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在［1，2］上是减函数，因为f(x)>1在［1，2］上恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)>1，解得11在［1，2］上恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)>1，即a>4，故不存在实数a满足题意．综上可知，实数a的取值范围是(1，).

答案：(1，)

16.在平面直角坐标系xOy中，对于点A(a，b)，若函数y＝f(x)满足x∈［a－1，a＋1］，都有y∈［b－1，b＋1］，就称这个函数是点A的“限定函数”．有以下函数：①y＝x，②y＝2x2＋1，③y＝sinx，④y＝ln(x＋2)，其中是原点O的“限定函数”的序号是．

解析：要判断所给函数是否是原点O的“限定函数”，只要判断x∈［－1，1］，都有y∈［－1，1］.

对于①y＝x，由x∈［－1，1］可得y∈［－，］［－1，1］，则①是原点O的“限定函数”；

对于②y＝2x2＋1，由x∈［－1，1］可得y∈［1，3］［－1，1］，则②不是原点O的“限定函数”；

对于③y＝sinx，由x∈［－1，1］可得y∈［－sin1，sin1］［－1，1］，则③是原点O的“限定函数”；

对于④y＝ln(x＋2)，由x∈［－1，1］可得y∈［0，ln3］［－1，1］，则④不是原点O的“限定函数”．

答案：①③课时作业(十)指数函数

［基础保分练］

1.已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()

A．a0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于()

A．log2xB．

C．logxD．2x－2

3.函数y＝ln的图象可能为()

4.已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实数根，则实数a的取值范围为()

A．(0，1)B．(0，1］

C．(1，2)