2020-2021海淀区高三上期末数学试题及答案

第第#页共18页所以点q在线段OB(不包括端点)上，且AOCQ的面积等于ABD。时的面积.所以AOCB的面积等于ABCD的面积•所以OD//BC.设D(m,n)，n<0，则n-o-返―晅.m4—22因为点D在椭圆W上,所以m+伫二i164所以m=2所以m=2所以点D的坐标为(2,—73)20)(本小题共14分)解：(I)因为解：(I)因为Inx，x所以x(0,e)所以x(0,e)f'(x)+f(x)/e(e,+s)0极大1—Inx•X2令f'(x)=0，得x=e•f(x)与f'(x)在区间(0,+w)上的情况如下:所以f(x)的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,+2)•TOC\o"1-5"\h\zlnxlnx(II)因为f(x)=，所以g(x)=—x.xx1—lnx1—lnx—x2所以g'(x)=—1=—x2x2①当xG(0,1)时，1—x2>0,—lnx>0,所以g'(x)>0；②当xG(1,+S)时，1一x2<0,—Inx<0，所以g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1,+s)内单调递减.所以g(x)<g(1)=—1.lnxlnx(Ill)因为f(x)=，所以h(x)=一x2+2ax一4a2+1.xx当0<a<—时，h(1)=2a一4a2=2a(1—2a)>0，即存在1,使得h(1)>0；2lnxlnx当a>时，由(II)可知，一x<—1，即<x一1.xx所以h(x)<x一x2+2ax一4a22a+1(2a+1)2=—(x—)2+一4a2241<—3a2+a+—4—(2a一1)(6a+1)所以对任意x>0，h(x)<0，即不存在x使得h(x)>0.00综上所述，a的最大值为2.21)(本小题14分)解：记a(i,j)为数表A中第i行第j列的数，艺艺a(i,j)为数表A中所有数的和，艺为a(i,j)为数表i=1j=1i=1j=1A中前k行k列交叉处各数之和.A］是“4阶非负数表”；A?不是“4阶非负数表”.由题意知a(i,j)g{1,—1},i=1,2,3,4,5，j=1,2,3,4,5且数表A是“5阶非负数表”，所以R(s)(s=1,2,3,4,5)为奇数，且R(1)+R(2)+R(3)+R(4)+R(5)>0.不妨设R(1)>R(2)>R(3)>R(4)>R(5).当R(3)>0时，因为R(3)为奇数，所以R(3)>1.所以R(1)+R(2)+R(3)>3R(3)>3．当R(3)<0时，因为R(3)为奇数，所以R(3)<—1.所以R(4)+R(5)<2R(3)<—2.所以R(1)+R(2)+R(3)>—R(4)—R(5)>2.有因为R(1),R(2),R(3)均为奇数，所以R(1)+R(2)+R(3)>3.(Ill)(1)先证明数表A中存在n—1行n列(n=2k)，其所有数的和大于等于0.设R(t)a(i,j)(i=1,2,…,n)，由题意知艺R(i)>0.TOC\o"1-5"\h\zj=1i=1不妨设R(1)>R(2)>…>R(n).由于n艺R(i)—(n—1正R(i)=艺R(i)—(n—1)R(n)=艺[R(i)—R(n)]>0,i=1i=1i=1i=1所以艺R(i)>口工R(i)>0ni=1i=1由(1)及题意不妨设数表A前n—1行n列(n=2k)，其所有数的和大于等于0.下面考虑前2k-1行，证明存在2k-1行k列，其所有数的和大于等于k.设T(j)=戈-1a(i,j)(j=1,2,…丄k)，则艺T(j)=艺R(i)>0.i=1j=1i=1不妨设T(1)>T(2)>•••>T(2k).因为T(j)为2k—1个奇数的和，所以T(j)为奇数(j=1,2/--,2k).①当T(k)>0时，因为T(k)为奇数，所以T(k)>1.所以艺T(j)>kT(k)>k.j=1②当T(k)<0时，因为T(k)为奇数，所以T(k)<—1.所以艺T(j)<kT(k)<—k.j=k十1所以艺T(j)>—艺T(j)>k.j=1j=k+1在(2)所设数表下A，证明前2k—1行前k列中存在k行k列，其所有数的和>k.设R©=》a(i,j)(i=1,2/--,2k—1)，则艺R(i)=》T(j)>k.j=1i=1j=1①①当R(k)>1时，艺R(i)>kR(k)>k；i=1②②当R(k)<0时，R(2k-1)<R(2k-2)<•••<R(k)<0.所以艺R'(i)