初二平行四边形的动点问题学案 (含答案经典)

初二平行四边形的动点问题学案(含答案经典)的性质，利用对角线互相平分的条件，可以得到AH=HC=OD=OB，进而得到△AHE≌△CFO，从而得到HE=FO=AB/2，最后利用三角形面积公式求解即可．解答：解：如图，连接OF，HE，连接OB，OD，OE，OF，连接AH，HC，连接HF，EF．∵平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，∴HE=FO=1/2AB，AD=BC∴AH=HC=OD=OB=1/2AD=1/2BC∴△AHE≌△CFO∵HF∥AB，∴AHF和CHF为平行四边形∴HF=AB/2∴△HEF≌△FOE∴EH=OF=AB/2∴△AEH≌△COF∴AE=CO=1/2AC∴S△AEH=S△COF=1/2S△ABCD∴S△AEH+S△HEF+S△FOC=S△ABCD∴S△AOH=S△ABCD-S△HEF-S△FOC∴S△AOH=S△ABCD-1/2S△ABCD∴S△AOH=1/2S△ABCD∴S△AOH=1/2×AB×OD∴S△AOH=1/2×AB×1/2AD∴S△AOH=1/4AB×AD∴S△AOH=1/4S△ABCD∴=1/4故选A．点评：此题主要考查了三角形中位线定理和平行四边形的性质，关键是熟练掌握相关定理和性质的应用．解答：解：根据题意，可以列出如下方程：$\frac{1}{2}(AB+CD)\cdotAD=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdotPQ+\frac{1}{2}(DC-AB)\cdot(2t)$化简得：$AD=PQ+2t$又因为$PQ=BC-PC=BC-\frac{1}{2}vt$，$AD=16$，$BC=21$，$v=2$，代入上式得：$\frac{1}{2}(21+CD)\cdot16=\frac{1}{2}(21+CD-\frac{1}{2}\cdot2\cdott)\cdot(21-\frac{1}{2}\cdot2\cdott)+\frac{1}{2}(CD-21)\cdot2t$化简得：$CD=21+\frac{1}{4}t$因为$AB=12$，所以$AB\neqCD$，所以四边形PQCD不能为平行四边形。当四边形PQCD为等腰梯形时，作PE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E、F，需要满足QE=CF。由于$QE=\sqrt{PE^2+PQ^2}=\sqrt{(\frac{1}{2}vt)^2+(21-\frac{1}{2}vt)^2}$，$CF=\sqrt{DF^2+DC^2}=\sqrt{(16-\frac{1}{2}vt)^2+(\frac{1}{4}t)^2}$，代入等量关系式中得：$\sqrt{(\frac{1}{2}vt)^2+(21-\frac{1}{2}vt)^2}=\sqrt{(16-\frac{1}{2}vt)^2+(\frac{1}{4}t)^2}$解得$t=16$。因此，当$t=16$时，四边形PQCD为等腰梯形。在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16。动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。（1）求△DPQ的面积S与t之间的函数关系式。解：由题意，AQ=t，BP=2t，则DQ=16-t，PC=21-2t。过点P作PE⊥AD于E，则四边形ADPE是矩形，PE=AB=12。因此，S△DPQ=DQ×AB=(16-t)×12=-6t+96。（2）求四边形PCDQ是平行四边形的t值。解：当四边形PCDQ是平行四边形时，PC=DQ。根据DQ=16-t和PC=21-2t，可得21-2t=16-t，解得t=5。因此，当t=5时，四边形PCDQ是平行四边形。（3）分别求出当t为何值时，①PD=PQ，②DQ=PQ。解：①当PD=PQ时，由△DPQ和△APE的相似性可得，PE/PQ=AD/DQ，即12/PQ=16/(16-t)，解得t=4。②当DQ=PQ时，由勾股定理可得，DP²=DQ²+PQ²，即(16-t)²=12²+PQ²，解得t=-1或t=7，但因题目中要求动点在端点处同时停止运动，因此t=-1不符合实际。因此，当t=7时，DQ=PQ。在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm．动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动．当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动．设点P、Q同时出发，并运动了t秒，求解以下问题：（1）求直角梯形ABCD的面积。解：作DM⊥BC于点M，则四边形ABMD是平行四边形，且DM=AB=6cm。在直角△CDM中，CM=8cm，因此BC=BM+CM=4+8=12cm。所以直角梯形ABCD的面积为（AD+BC）•AB=48cm²。（2）当四边形PQCD成为平行四边形时，t为多少？解：当PD=CQ时，四边形PQCD成为平行四边形，即4-5t=4t，解得t=4/9秒。（3）当t=4/9秒时，AQ=DC吗？解：BQ=12-5t=7，由直角△ABQ中，AB²+BQ²=AQ²，即6²+7²=AQ²，解得AQ=√85≠DC，因此当t=4/9秒时，AQ≠DC。（4）是否存在t，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由。解：存在。连接QD，则CP=14-4t，CQ=5t。若QP⊥DC，S△DQC=S△DPC，有CQ×AB=CD×QP，得到QP=3t。在直角△QPC中，QP²+PC²=CQ²，即（3t）²+（14-4t）²=（5t）²，解之得到t=4/9秒。因此存在t=4/9秒时，P点在线段DC上且PQ⊥DC。解答：（1）由于△AOB为直角三角形，所以AB=2，AO=2cos30°=√3，BO=2sin30°=1，因此直线BE的斜率为tan30°=√3/3，过点B的直线方程为y=（√3/3）x，因此直线BE的方程为y=（√3/3）x+2；（2）点D在直线BE上，且OD=OB=2，因此点D的坐标为（4，4√3/3）；（3）设点P的坐标为（x，0），则由等腰三角形的性质可知，AP=PB，即x=2-√3，因此点P的坐标为（2-√3，0）；（4）设点M的坐标为（a，（√3/3）a+2），则过M点的平行线方程为y=（√3/3）x+（√3/3）a+2-（√3/3）a=（√3/3）x+2，与y轴的交点为（0，2-（√3/3）a），设点N的坐标为（0，b），则由平行四边形的性质可知，DN=OB=2，且MN=NB，即（a-0）2+（（√3/3）a+2-b）2=（2-b）2，解得b=（√3/3）a+4/3，因此M点的坐标为（a，（√3/3）a+2），N点的坐标为（0，（√3/3）a+4/3）．当且仅当四边形MNDP为平行四边形时，有ND=MP，即（√3/3）a+4/3=2-（2-√3）a，解得a=1/4，因此M点的坐标为（1/4，17/12）．【励志语录】既然选择了远方，就必须风雨兼程！既然选择了远方，就必须风雨兼程。这句话告诉我们，选择了远方的路，就必须坚持不懈地前进，不畏风雨，不怕艰险。下面是一道计算题：已知直线AB与坐标轴交于点A（0，6）和B（2，0），点E在直线AB上，且AE=2BE。求点E的坐标。解答：由于AE=2BE，所以AE=2/3AB=4/3。又因为直角三角形ABE中∠BAE=30°，所以∠ABE=60°。设BE=x，则AE=2x，AB=2x/√3。根据勾股定理可得x²+(2x)²=(2x/√3)²，解得x=2/√3。因此，BE=4/√3，AE=8/√3。又因为直线AB的解析式为y=-3x+6，所以点E的坐标为（2/√3，2/√3+6）。变式练习：已知直线y=-3/4x+6与坐标轴分别交于点A、B两点，动点P、Q同时从原点O出发，同时到达点A，运动停止。点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动。求：（1）点A、B的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S=48/5时，求出点P的坐标，并求出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标。解答：（1）令y=0，可得点B的坐标为（8，0）。令x=0，可得点A的坐标为（0，6）。（2）由于OA=10，OB=8，AB=6，因此点Q由O到A的时间为10秒，点P由B到A的时间为4秒。设点Q的坐标为（t，-3/4t+6），则△OPQ的面积为1/2×10t×(-3/4t+6)=15t²-15t。因此，S与t之间的函数关系式为S=15t²-15t。（3）当S=48/5时，解得t=2/5或3。若t=2/5，则点Q的坐标为（2/5，24/5），点P的坐标为（8/5，18/5），平行四边形的第四个顶点M的坐标为（10/5，12/5）即（2，2.4）。若t=3，则点Q的坐标为（3，3/4），点P的坐标为（8，6），平行四边形的第四个顶点M的坐标为（10，7.5）。在解题之前，先对文章中的格式错误进行修改，删除明显有问题的段落。解题：（1）根据题意，可得出以下信息：AD=24cm，AB=8cm，BC=26cmP沿AD边向D以1cm/s的速度运动，Q沿CB边向B以3cm/s的速度运动设P运动的时间为t，Q运动的时间为3t要使四边形PQCD为平行四边形，需要满足以下条件：PQ∥CD，且PQ=CD根据速度公式，可得：PQ=AP+BQ=t+3t=4tCD=AD+BC=24cm+26cm=50cm因此，当4t=50cm，即t=12.5s时，四边形PQCD为平行四边形。（2）要使四边形PQCD为等腰梯形，需要满足以下条件：PQ=CD，且∠PQD=∠QPC根据速度公式，可得：PQ=4tCD=50cm由于∠PQD=∠QPC，且∠PQD+∠QPC=180°，因此：2∠PQD=180°∠PQD=90°因此，要使四边形PQCD为等腰梯形，需要满足4t=PD，且∠PQD=90°。根据勾股定理，可得：PD²=AD²+AP²=24²+t²QD²=BC²+BQ²=26²+(3t)²因为四边形PQCD为梯形，所以PD+QC=50cm。代入上面的式子，可得：PD+QC=50√(24²+t²)+√(26²+9t²)=50解得t≈8.7s因此，当t≈8.7s时，四边形PQCD为等腰梯形。最后，根据平行四边形的性质，可得：DP=BQ=3t=26.1cmCQ=AP=t=8.7cm因此，四边形PQCD的面积为：S=PQ×CD/2=4t×50/2=100t代入t≈8.7s，可得S≈870cm²。根据题意，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，因此，P和Q到达端点的时间都为3t≈26.1s。点评：本题主要考查梯形的性质及速度公式的运用。在解题过程中，需要注意分情况进行讨论，特别是在求解等腰梯形的问题时，要善于运用勾股定理。在直角梯形ABCD中，由题意可知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动，动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动，过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N。P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动，设点Q运动的时间为t秒。（1）由题意可知，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，因此可以得到AC=BD=5。又由于Q点从D点出发，沿线段DA向点A作匀速运动，因此Q点在t秒内走过的距离为3t。过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N，因此可以得到MN=QC-BC=3t-4。由于Q点从D点出发，沿线段DA向点A作匀速运动，因此Q点在t秒内走过的距离为3t，也就是说QM=3t。因此，可以得到MC=AC-QM=5-3t，NC=MN-MC=3t-9。因此，NC和MC的长分别为3t-9和5-3t。（2）当四边形PCDQ构成平行四边形时，有PC∥DQ，因此可以得到∠PBC=∠QAD。又因为P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，因此P点在t秒内走过的距离为t，也就是说PB=t。又因为AB=3，BC=4，因此PC=AB+BC-PB=7-t。又因为Q点从D点出发，沿线段DA向点A作匀速运动，因此Q点在t秒内走过的距离为3t，也就是说QD=3t。又因为AD=AB=3，因此CD=QD-AD=3t-3。因此，当PC=CD时，四边形PCDQ构成平行四边形，即7-t=3t-3，解得t=1。（3）要使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分，需要满足以下两个条件：首先，QN必须经过△ABC的重心G；其次，QN必须垂直于BC。根据△ABC的重心公式，可以得到点G的坐标为$(\frac{4}{3},\frac{5}{3})$。又因为Q点从D点出发，沿线段DA向点A作匀速运动，因此Q点在t秒内走过的距离为3t，也就是说Q点的坐标为$(3t,0)$。因此，射线QN的斜率为$\frac{\frac{5}{3}}{\frac{4}{3}-3t}=-\frac{3t}{5}$。又因为QN必须垂直于BC，因此QN的斜率为$\frac{5}{4}$。因此，$-\frac{3t}{5}\times\frac{5}{4}=-1$，解得$t=\frac{5}{3}$。因此，存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分，此时t的值为$\frac{5}{3}$。（4）要使△PMC为等腰三角形，需要满足以下两个条件：首先，PM=MC；其次，∠PMC=∠MPC。由于P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，因此P点在t秒内走过的距离为t，也就是说PB=t。又因为AB=3，BC=4，因此PC=AB+BC-PB=7-t。又因为Q点从D点出发，沿线段DA向点A作匀速运动，因此Q点在t秒内走过的距离为3t，也就是说QD=3t。又因为AD=AB=3，因此CD=QD-AD=3t-3。因此，可以得到MC=NC=3t-9。又因为PM=PC-CM=7-t-(3t-9)=16-4t，因此，要使△PMC为等腰三角形，需要满足$16-4t=3t-9$，解得t=5。因此，当t=5时，△PMC为等腰三角形。根据题意可得，四边形ABNQ是矩形，因此NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ。已知BC和AD，因此只需求出DQ（即t）即可解出。又因为AB∥QN，因此△CMN∽△CAB，故CM：CA=CN：CB。已知CB和CN，根据勾股定理可求出CA=5，从而表示出CM。四边形PCDQ构成平行四边形，因此PC=DQ，列方程4-t=t即可解出t。我们可以先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值。然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，从而得出是否存在符合条件的t值。由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时，即NP=NC，可求出t的值；②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值；③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值。综上所述可得出符合条件的t的值。因此，根据求解过程，我们得出t=2。篇文章存在格式错误和明显的段落问题，需要进行修改和删除。修改后的文章如下：励志语录：既然选择了远方，就必须风雨兼程！在数学练习中，我们需要不断强化练习，提高自己的能力和水平。1.如图，在四边形ABCD中，AB=6、AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG=42，则△CEF的面积是多少？解析：由于AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，则∠BAF=∠DAF。又因为AB∥DF，所以∠BAF=∠F，因此△FAD为等腰三角形，AD=DF=9。又因为AB=CD=6，所以CF=3。由∠BEA=∠DAF＝∠BAF，可知BA＝BE。在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=42，因此AG=2。又因为BG⊥AE，所以AE=2AG=4，因此△ABE的面积为8/2=4。由于▱ABCD，所以△CEF∽△BEA，相似比为1：2，面积比为1：4，因此△CEF的面积为22。2.在四边形ABCD中，下列结论中一定正确的是（）解析：根据平行四边形的性质，可得出结论∠A+∠B=180°。因此选项B正确。3.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）解析：根据平行四边形的判定定理，只有两组对边互相平行或者两组对边相等，才能判定一个四边形为平行四边形。因此选项D不能判定该四边形为平行四边形。在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为多少？解：首先根据平行四边形的性质，AD与BE平行，因此∠DAE=∠BAE。又因为AE为∠BAD的平分线，所以∠DAE=∠DFA，即∠BAE=∠DFA。因此，由AB∥DC可得∠BCF=∠BAE，又因为F为DC的中点，所以DF=CF，即AD=DF=DC=AB=2。接下来，考虑三角形ADF。由题意可知DG⊥AE，且DG=1，因此AG=√3。根据勾股定理可得AD=√13。又因为F为DC的中点，所以DF=CF=1，因此AF=2AG=2√3。最后，由三角形ADF与三角形ECF全等（AAS），可得AF=EF，因此AE=2AF=4。因此，答案为B。训练辅导专题4：中考真题例7.如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点PQ运动时间为t（单位：秒）．（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；（2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．考点：等腰梯形的判定；等腰三角形的判定；勾股定理；平行线分线段成比例．专题：压轴题；动点型；分类讨论．分析：（1）可通过构建直角三角形来求解．过B作BG⊥OA于G，过Q作QH⊥OA于H．可根据勾股定理，求出AB的值，用t表示出QP，让QP=AB，求出t的值；（2）有了t的值，即可求出OP，CQ，QB的值，根据平行线段成比例，可以得出AF，进而求出OF的值，这样就可以求出梯形的面积；（3）分三种情况进行讨论，让△PQF的三边两两相等，求出t的值．解答：（1）如图，过B作BG⊥OA于G，则AB=√(12²+