控制工程系统的稳定性

控制工程系统的稳定性第1页，课件共86页，创作于2023年2月系统的稳定性基本要求：1.掌握系统稳定与相对稳定的概念2.掌握三个系统稳定判据及其应用3.掌握系统相对稳定裕度的概念及其计算重点与难点：1.三个系统稳定判据及其应用2.系统相对稳定裕度的计算第2页，课件共86页，创作于2023年2月系统稳定性的概念没有外力作用的自由振荡若是减幅的，则系统是稳定的；自由振荡若是增幅的，则系统就是不稳定的。

1．单摆2．小球偏离初始状态后能恢复到初始状态的系统是稳定的系统第3页，课件共86页，创作于2023年2月稳定的含义:

系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称系统是稳定的，否则系统是不稳定的。理解：(1)线性系统的稳定性取决于系统本身的结构与参数，与输入无关；(2)外力消失后的振荡是由初始偏差造成的;(3)不稳定现象的发生和系统具有正反馈相关;(4)控制理论中仅讨论输入为零，系统仅存有不为零的初态时的稳定性。第4页，课件共86页，创作于2023年2月系统不稳定现象：二阶系统中的三种情况——0<<1

减幅（收敛）振荡

=0

等幅振荡

<0

增幅（发散）振荡系统不稳定现象的发生取决于系统的内部结构参数，与系统输入无关；系统发生不稳定现象说明系统中必有反馈，而且是正反馈。不稳定稳定第5页，课件共86页，创作于2023年2月系统稳定的定义：

原来处在平衡状态的系统受到扰动后会偏离原来的平衡状态，扰动消失后，系统能回到原来的平衡状态或达到新的平衡状态，则称该系统是稳定的。否则，系统是不稳定的。系统稳定的条件：结论：当系统所有的特征根都具有负实部，即所有特征根都位于复平面的左半平面，该系统就是稳定的。该条件是系统稳定的充要条件。所有Re[si]<0——系统稳定只要有一个Re[si]=0——系统临界稳定，趋于等幅振荡或者Re[si]>0——系统不稳定，发散第6页，课件共86页，创作于2023年2月Routh(代数)稳定判据基于方程式根与系数的关系而建立通过对系统特征方程式的各项系数进行代数运算，得出全部特征根都具有负实部的条件，从而判断系统的稳定性系统的特征方程式若所有特征根都具有负实部，系统稳定的必要条件:特征方程所有的系数都大于0则有：所有系数ai都大于0第7页，课件共86页，创作于2023年2月系统特征方程为a0sn+a1sn-1+…an-1s+an=0列Routh劳斯表:sn:a0

a2a4a6…sn-1:a1a3a5a7…sn-2:b1

b2

b3b4…sn-3:c1

c2c3…┆┆┆┆s2e1e2s1f1s0g1系统稳定的充要条件第8页，课件共86页，创作于2023年2月系统的特征方程式为

列劳斯表：6061455666101166121sssss01234第9页，课件共86页，创作于2023年2月劳斯稳定判据(1)系统稳定的必要条件是特征方程所有的系数都大于0；(2)系统稳定的充要条件是劳斯表的第一列元素全大于零；(3)劳斯表第一列元素符号改变的次数代表特征方程正实部根的数目。第10页，课件共86页，创作于2023年2月例：设系统的特征方程式为

试判别系统的稳定性。解：特征方程符号相同，又不缺项，故满足稳定的必要条件。列劳斯表判别：第一列各数均为正数故系统稳定第11页，课件共86页，创作于2023年2月验证:将特征方程式因式分解为

求得所有特征根为：可见,所有特征根均有负实部，所以系统稳定。第12页，课件共86页，创作于2023年2月劳斯表中可能出现的两种特殊情况：1.第一列出现0元素:如：处理方法：用一个正数ε→0来代替第一列的0元素，继续列写劳斯表。若该元素的上下两元素无符号变化，且都为正，说明该系统有一对共轭虚根，系统处于临界稳定；若有符号变化，即有一个元素为负，则系统是不稳定的，而且符号改变几次就有几个不稳定根存在。第13页，课件共86页，创作于2023年2月例如:特征方程式：劳斯表(＋)(＋)(-)符号有变化，说明系统存在不稳定根符号变化2次，系统的不稳定根有2个第14页，课件共86页，创作于2023年2月列劳斯表ε上下两行符号不变，说明有纯虚根存在，系统临界稳定。将特征方程式因式分解为特征根为系统等幅振荡第15页，课件共86页，创作于2023年2月2.出现全0行:处理方法：由全0行上方的元素行得到辅助方程，对其求导，用求导后的方程系数作为劳斯表新的行元素继续列写劳斯表。由辅助方程可以求得系统特殊的特征根，如为相反数的一对实根、或一对纯虚根、或一对共轭复根。第16页，课件共86页，创作于2023年2月82421216000某行所有项系数均为零的情况，说明特征方程有对称的根.建辅助方程,求导后继续计算例：系统特征方程式为列劳斯表

第17页，课件共86页，创作于2023年2月由辅助方程

s4+6s2+8=0可得：虽然无根在右半平面，但有根在虚轴上，∴系统临界稳定。

第18页，课件共86页，创作于2023年2月Routh稳定判据的应用1.可在不求特征根的情况下判别系统的稳定性；2.可确定使系统稳定的系统结构参数的取值范围,分析系统参数变化对稳定性的影响3.可检验稳定裕度,求使系统具有一定稳定裕度的结构参数的取值范围。令s=z-

(

>0),将其代入系统特征方程，可得关于z的多项式，以判断系统的相对稳定性。第19页，课件共86页，创作于2023年2月例:说明如图所示系统的稳定条件解：求出闭环传递函数特征方程

Ts+(1+K)=0

第20页，课件共86页，创作于2023年2月例：单位反馈系统的开环传递函数为

试求K的稳定范围。解：系统的闭环特征方程：列劳斯表系统稳定的充分必要条件K>00.35-0.025K>0得K<14所以保证系统稳定，K的取值范围为0<K<14。第21页，课件共86页，创作于2023年2月系统的结构图如下，试确定K和a取何值时，系统将以角频率

=2rad/s进行持续振荡。＋－解：理解题意，系统持续振荡，即系统作等幅振荡，亦即系统存在共扼纯虚根；角频率ω=2rad/s，即共扼纯虚根为s=j2第22页，课件共86页，创作于2023年2月由结构图求系统闭环传递函数特征方程列劳斯表：a0令得到全0行使系统存在纯虚根求纯虚根联立求解第23页，课件共86页，创作于2023年2月系统结构图如下，已知T1=0.1,T2=0.25，试求使系统特征根均位于s=-1线的左侧的K的取值范围。＋－解：理解题意，使系统特征根均位于s=-1线的左侧，即对Routh判据(s=0)进行坐标移动。令s’=s+1，则s=s’-1，代入系统特征方程并整理后再利用Routh判据进行求解。第24页，课件共86页，创作于2023年2月先求系统闭环传递函数特征方程：将s=s’-1代入整理可得：第25页，课件共86页，创作于2023年2月列劳斯表：根据Routh稳定判据可知：若要系统稳定则需所以，当0.675<K<4.8时，该系统所有特征根均位于s=-1的左侧。第26页，课件共86页，创作于2023年2月Nyquist(几何)稳定判据Nyquist稳定判据的特点：1.不需要求取系统特征根就可以判断系统是否稳定；2.利用闭环控制系统的开环传递函数求取系统开环频率特性即可判断闭环系统是否稳定；3.如果系统不稳定，可以求出系统不稳定的闭环极点的个数；4.可以求出系统的相对稳定的稳定裕度，从而指出提高和改善系统动态性能的途径；5.是一种几何判据。第27页，课件共86页，创作于2023年2月1、幅角原理幅角原理是Nyquist稳定判据的数学基础分析问题的思路是从相角的变化来判断系统的稳定。对于系统的一个极点s=p：令D(s)=s-p⇒D(jω)=jω-p若把D(jω)看成矢量——由P点指向jω极点第28页，课件共86页，创作于2023年2月如果P点在负实轴上（系统是稳定的），当ω由0→+∞时，矢量D(jω)逆时针旋转90⁰；如果P点在正实轴上（系统是不稳定的），当ω由0→+∞时，矢量D(jω)顺时针旋转90⁰；极点第29页，课件共86页，创作于2023年2月这样就可以将稳定问题转化为D(jω)的相角变化问题：对n阶系统：当ω由0→+∞时，如果D(jω)逆时针旋转n

90⁰，系统稳定；不等于n

90⁰，系统不稳定；若有m个极点在右半平面，则D(jω)逆时针旋转(n-m)

90⁰。当ω由-∞→+∞时，上面的结论中的角度改为n

180⁰或(n-m)

180⁰。第30页，课件共86页，创作于2023年2月即，当ω从-∞→+∞变化时：[S]左半平面上的零、极点矢量均变化+π弧度；[S]右半平面上的零、极点矢量均变化-π弧度。设n阶系统有P个开环极点在[S]右半平面，则有(n-P)个开环极点在[S]左半平面，系统开环极点的相角为：第31页，课件共86页，创作于2023年2月构造一个复变函数F(s)：若F(s)有P个极点、Z个零点位于[S]平面的右半平面，则当ω由-∞→+∞时，极点相位变化：零点相位变化：F(j

)的相位变化：第32页，课件共86页，创作于2023年2月结论：当ω由-∞→+∞时，F(jω)将围绕原点逆时针方向旋转N=P-Z圈。注意：P为F(S)位于右半平面的极点Z为F(S)位于右半平面的零点F(jω)第33页，课件共86页，创作于2023年2月2、开环传递函数、闭环传递函数与F(s)之间的关系如图为控制系统的一般结构图：如果令则根据结构图可求得：第34页，课件共86页，创作于2023年2月令F(s)=1+GK(s)，则有比较上面三个表达式，可知：F(s)与GK(s)有相同的极点；F(s)的零点与GB(s)的极点相同；第35页，课件共86页，创作于2023年2月结论：线性定常系统稳定的充要条件是闭环系统的特征方程的特征根都具有负实部,即GB(s)在s平面的右半平面没有极点，亦即F(s)在s平面的右半平面没有零点，即Z＝0。第36页，课件共86页，创作于2023年2月∵GK(jω)=F(jω)-1，∴GK(jω)曲线逆时针方向围绕(-1，j0)点的圈数为N=P-Z

第37页，课件共86页，创作于2023年2月3、结论Z=P-N，如果Z=0，则系统稳定；否则系统不稳定。其中，P为系统开环极点位于［S］平面右半平面的个数；N为系统开环Nyquist曲线逆时针包围(-1，j0)点的圈数；Z为系统闭环极点位于［S］平面右半平面的个数。第38页，课件共86页，创作于2023年2月Nyquist稳定判据Nyquist稳定判据内容：当ω由-∞到+∞时，若系统开环频率特性逆时针包围（-1,j0）点P圈，其中P是开环传递函数在s平面右半平面的极点数，则闭环系统稳定。推论：对开环稳定的系统即P＝0，其闭环稳定的充要条件是：系统的开环频率特性不包围(-1,j0)点。第39页，课件共86页，创作于2023年2月如，某系统，其Nyquist曲线如图，判断系统的稳定性。－1－2－

+

ω＝0Nyquist曲线逆时针包围(-1,j0)点一圈，即N=1而开环有一个位于右半平面的极点，即P=1，所以闭环系统稳定。由图可知：所以Z=P-N=0第40页，课件共86页，创作于2023年2月Nyquist稳定判据几点说明：1.开环Nyquist曲线关于实轴对称；故一般只画ω由0+到+∞时的曲线，然后对称画出-∞到0-的一半。2.积分环节的处理:当开环传递函数含有积分环节时，ω由-∞到+∞时，积分环节对应的Nyquist曲线是半径为∞按顺时针方向从v

90⁰到-v

90⁰的圆弧。当只画ω由0到+∞时的曲线时，就补画从-v

90⁰到0⁰半径为∞的圆弧。3.开环不稳定的系统，闭环时有可能稳定的；开环稳定的系统，闭环也有可能不稳定。第41页，课件共86页，创作于2023年2月4.若P=0，仅考察GK(jω)是否围绕(-1,j0)点；

若P≠0，应先求出P，再查GK(jω)逆时针围绕

(-1,j0)点的圈数，若少于P则闭环系统不稳定。5.Nyquist稳定判据的应用，其关键是作GK(jω)的Nyquist曲线。第42页，课件共86页，创作于2023年2月由图可知：N=0由开环传递函数可知：P=0所以：Z=P-N=0故系统闭环稳定，而且无论K取何值,闭环系统稳定。例1：0型系统，开环传递函数为试判系统闭环是否稳定。解：先作系统开环Nyquist曲线第43页，课件共86页，创作于2023年2月例2:存在导前环节的0型系统系统开环传递函数为试对其闭环判稳。解：作Nyquist曲线(1)当T1、T2、T3很大，而T4、T5很小，在

为有限值时，有可能使曲线包围(-1,j0)点，如曲线1所示，则系统闭环不稳定。(2)若减小K，或增大T4、T5，其Nyquist曲线如曲线2所示，不包围(-1,j0)点，则系统闭环稳定。第44页，课件共86页，创作于2023年2月例3：Ⅰ型系统，开环传递函数为解：作Nyquist曲线特殊：积分环节，补画半圆。∵

P=0，N=0∴闭环系统稳定。第45页，课件共86页，创作于2023年2月例4：Ⅱ型系统，开环传递函数为解：作Nyquist曲线特殊：根据T1、T2的取值不同，其Nyquist曲线就不同，有以下三种情况：(a)T1<T2(b)T1=T2(c)T1>T2不包围(-1,j0)点，系统闭环稳定经过(-1,j0)点，系统闭环临界稳定包围(-1,j0)点，系统闭环不稳定第46页，课件共86页，创作于2023年2月Nyquist稳定判据应用1.根据开环传递函数判断系统闭环的稳定性方法:画Nyquist曲线，注意与负实轴的交点与(-1,j0)点的位置关系数圈数N，注意逆时针为正、顺时针为负观察开环传递函数的右半平面极点数P计算Z=P-N，判断系统稳定性第47页，课件共86页，创作于2023年2月2.根据系统某参数的取值讨论系统稳定性方法:画Nyquist曲线，注意参数对与负实轴的交点的影响——与(-1,j0)点的位置关系根据参数取值范围不同，负实轴上交点与(-1,j0)点的位置不同，分别：数圈数N，注意逆时针为正、顺时针为负观察传递函数的右半平面极点数P计算Z=P-N，判断系统稳定性第48页，课件共86页，创作于2023年2月例5：对非最小相位系统判断其系统稳定性。解：分析该系统的特点：(a)在[s]右半平面有一个极点，即P=1，开环系统不稳定；(b)Ⅰ型系统。求系统开环频率特性：第49页，课件共86页，创作于2023年2月作Nyquist曲线如图:求出Nyquist曲线与负实轴的交点交点与(-1,j0)的位置关系将决定系统闭环的稳定性可得：

2＝3时曲线与实轴相交，交点为：第50页，课件共86页，创作于2023年2月讨论：K>1即交点在(-1,j0)的右侧时，Nyquist曲线逆时针围绕(-1,j0)点一圈，则N=1,Z=P-N=0，闭环系统稳定。K<1即交点在(-1,j0)的左侧时，Nyquist曲线顺时针围绕(-1,j0)点一圈，则N=-1,Z=P-N=2，闭环系统不稳定。第51页，课件共86页，创作于2023年2月例6：对于系统，试分析K对系统稳定性的影响。解：作Nyquist曲线注意：K对Nyquist曲线的影响：起始点与坐标轴的交点曲线形状不变，只是范围变换第52页，课件共86页，创作于2023年2月取K=1和K=100作Nyquist曲线如图Nyquist曲线与负实轴的交点为-K/60P=0

当曲线不包围(-1,j0)点时，系统闭环稳定当-K/60<-1即K>60时系统闭环稳定当K=60时系统临界稳定当K<60时系统不稳定。1/6100/6-1/60-10/6-1K=1K=100第53页，课件共86页，创作于2023年2月例7:单位反馈系统开环传递函数为试讨论不同K值时系统的稳定性。方法？1.画出Nyquist曲线；2.考虑到K对系统开环Nyquist曲线的影响——不改变形状，只作缩小或放大，改变与坐标轴的交点——求出与坐标轴的交点——特别是与负实轴的交点；3.比较交点与(-1,j0)点的位置关系；4.根据Nyquist稳定判据进行讨论。第54页，课件共86页，创作于2023年2月解：1.求系统频率特性：幅频、相频、实频、虚频2.画Nyquist曲线：3.求交点：4.讨论不同K值时系统对稳定性的影响：当时，曲线不包围(-1,j0)点，系统稳定。当时，曲线通过(-1,j0)点，系统临界稳定。当

时，曲线包围(-1,j0)点，系统不稳定。

第55页，课件共86页，创作于2023年2月Bode稳定判据Nyquist稳定判据是利用系统开环频率特性的极坐标图来判定系统闭环的稳定性。如果将系统开环极坐标图变为开环对数坐标图即Bode图，同样也可以用来判定系统闭环的稳定性———Bode稳定判据。第56页，课件共86页，创作于2023年2月穿越的概念在Nyquist图中画一个单位圆，负实轴上所有点的相位为-180⁰。当Nyquist曲线穿过负实轴时，如果是在(-1,j0)点左边穿过，则称为“穿越”。(-1,j0)正穿越：自上而下，相位增加负穿越：自下而上，相位减小第57页，课件共86页，创作于2023年2月特殊的：当Nyquist曲线从负实轴出发时，沿ω增加的方向，开环Nyquist曲线自(-1,j0)点左边的负实轴向下为半次正穿越；自(-1,j0)点左边的负实轴向上为半次负穿越。总结：(-1,j0)正穿越半次正穿越半次负穿越负穿越第58页，课件共86页，创作于2023年2月例：a点、b点：正穿越；c点：负穿越；第59页，课件共86页，创作于2023年2月比较不同K值的三个系统K很小，负穿越一次顺时针包围2圈，N=-2不稳定K较大，负、正穿越各一次顺时针包围1圈、逆时针包围1圈，N=0稳定K更大,正穿越一次、负穿越二次顺时针包围2圈，N=-2不稳定

第60页，课件共86页，创作于2023年2月分析图可知：正穿越一次，Nyquist曲线就逆时针包围(-1,j0)点一圈；负穿越一次，Nyquist曲线就顺时针包围(-1,j0)点一圈；因此，开环Nyquist曲线逆时针包围(-1,j0)点的圈数等于正、负穿越次数之差。第61页，课件共86页，创作于2023年2月Nyquist稳定判据的推导利用穿越的概念对系统进行稳定性判断：Nyquist曲线逆时针包围(-1,j0)点的圈数N=N+-N-（N+正穿越次数，N-负穿越次数），如果Z=P/2-N=0，则系统闭环稳定。其中P为系统开环位于S右半平面的极点数，Z为系统闭环位于S右半平面的极点数。：0+第62页，课件共86页，创作于2023年2月举例系统开环频率特性分别为如图所示，试判断闭环系统的稳定性。第63页，课件共86页，创作于2023年2月用Nyquist稳定判据穿越次数来判稳：Nyquist图N+=1，N-=1，N=N+-N-=0若开环系统稳定即P=0，则系统闭环稳定；若系统开环不稳定即P≠0，则系统闭环不稳定。第64页，课件共86页，创作于2023年2月Nyquist图与Bode图的关系Nyquist图中的单位圆对应到Bode图中是对数幅频特性曲线中的0dB线即为横轴；Nyquist图中的负实轴对应到Bode图中是对数相频特性曲线中的-180⁰线；Nyquist曲线与单位圆的交点对应到Bode图中是对数幅频特性曲线与横轴的交点；(-1,j0)-180⁰第65页，课件共86页，创作于2023年2月ReImNyquist曲线与单位圆的交点处所对应的频率为

C，称为剪切频率或幅值穿越频率；Nyquist曲线与负实轴的交点处所对应的频率为

g，称为相位穿越频率；穿越频率(-1,j0)-180⁰20lgA(

)

(

)ωCωg

C

g第66页，课件共86页，创作于2023年2月Nyquist图中的正穿越在Bode图中为相频特性曲线沿ω增加的方向、自下而上的穿过-180⁰线；反之，相频特性曲线沿ω增加的方向、自上而下的穿过-180⁰线，称为负穿越；若对数相频特性曲线自-180⁰线开始向上，称为半次正穿越；自-180⁰线开始向下，称为半次负穿越。-180-90GH-270半次负穿越半次正穿越w正穿越负穿越第67页，课件共86页，创作于2023年2月Bode稳定判据判据内容：闭环系统稳定的充要条件是：在Bode图上，当ω由0变到+∞时，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，开环对数相频特性对-180⁰线正穿越与负穿越次数之差为P/2时，闭环稳定；否则不稳定。其中P为系统开环位于［S］右半平面的极点数。第68页，课件共86页，创作于2023年2月Bode稳定判据推论：对于最小相位系统，P=0，若ωC<ωg，即对数幅频特性曲线比对数相频特性曲线先交于横轴，则系统闭环稳定；若ωC>ωg，则系统闭环不稳定；若ωC=ωg，则系统闭环临界稳定。如果系统开环对数幅频特性曲线有多个幅值穿越频率ωC，则取最大的ωC进行判断。说明：当ωC<ωg

，Nyquist曲线与负实轴的交点在单位圆内，不可能围绕(－1，j0)点，所以系统稳定。第69页，课件共86页，创作于2023年2月半次穿越：第70页，课件共86页，创作于2023年2月举例已知系统开环传递函数为：试对系统进行稳定性判断。1.Nyquist稳定判据判稳：Nyquist曲线由图可知：N=-2，而P=0，所以Z=P-N=2，系统闭环不稳定，且有2个不稳定的闭环极点。100/6-10/6-1第71页，课件共86页，创作于2023年2月2.Bode稳定判据判稳：画Bode曲线比较ωC与ωg可知ωC>ωg根据Bode稳定判据，系统闭环不稳定。ω1248163102030104060ωC-180⁰-45⁰-90⁰-135⁰-270⁰ωgωL(ω)φ(ω)第72页，课件共86页，创作于2023年2月三种稳定判据的比较已知某单位负反馈系统开环传递函数为试分析K取不同值时系统的稳定性。1.应用Routh稳定判据求闭环传递函数：求特征方程：列Routh表：根据Routh判据，找不等式组，求参数取值范围欲使系统稳定，则有：S218-KSK-6s08-K第73页，课件共86页，创作于2023年2月2.Nyquist稳定判据：求开环频率特性：幅频、相频实频、虚频画Nyquist曲线：起始点：终止点：与轴的交点：第74页，课件共86页，创作于2023年2月比较实轴交点与(-1,j0)点的位置关系：(-1,j0)(-1,j0)(-1,j0)第75页，课件共86页，创作于2023年2月3.Bode稳定判据：开环传递函数化为标准形式：画Bode图：特别注意相频特性曲线！-180-90124第76页，课件共86页，创作于2023年2月K值变化时，幅频特性曲线则上下移动，但不影响相频特性曲线；有三种情况：①②之间：半次负穿越、一次正穿越；②③之间：一次正穿越；③④之间及④以下：没有穿越④①②③-180-90124第77页，课件共86页，创作于2023年2月①②之间：半次负穿越、一次正穿越-180-90124①②第78页，课件共86页，创作于2023年2月②③之间：一次正穿越

代入幅频特性可得:-180-90124②③第79页，课件共86页，创作于2023年2月③④之间及④以下