高三总复习 数学 理科（人教版）第二章 第四节　指数函数（课件+学案+课时作业共打包5份）（解析版+原卷版）

第第页高三总复习数学理科（人教版）第二章第四节指数函数（课件+学案+课时作业，共打包5份）（解析版+原卷版）(共53张PPT)

第二章函数的概念与基本初等函数

第四节指数函数

栏目导引

知识分步落实

栏目一

考点分类突破

栏目二

微专题系列4

栏目三

知识分步落实

xn＝a

a

|a|

0

无意义

上方

(0,1)

R

(0,＋∞)

减

增

y＝1

y>1

01

考点分类突破

微专题系列4换元法求解与指数型函数有关的最值问题［思想方法］

微专题系列4

课时作业(九)

80第四节指数函数

课程标准考向预测

1.了解指数函数模型的实际背景．2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3.理解指数函数的概念及单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，，的指数函数的图象．4.体会指数函数是一类重要的函数模型．考情分析：指数函数中比较大小、与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用仍是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主．学科素养：通过指数幂的化简求值，考查数学运算的核心素养；通过指数函数图象及性质的应用考查直观想象、逻辑推理的核心素养．

1.根式

(1)根式的概念

①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

②a的n次方根的表示：

xn＝a

(2)根式的性质

①()n＝a(n∈N*).

②＝

2.有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.

(2)有理数指数幂的性质

①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).

3.指数函数的图象与性质

函数y＝ax(a>0，且a≠1)

图象01

图象特征在x轴上方，过定点(0，1)

当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升

性质定义域R

值域(0，＋∞)

单调性减增

函数值变化规律当x＝0时，y＝1

当x1；当x>0时，00时，y>1

eq\a\vs4\al()

(1)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．

(2)函数y＝ax与y＝(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．

(3)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0小题练1．(必修1P54练习T2改编)化简(x0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝.

解析：由题意知＝a2，所以a＝，

所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.

答案：

小题练4．(巧用结论)若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是.

解析：由题意知0＜a2－1＜1，即1＜a2＜2，

得－＜a＜－1或1＜a＜.

答案：(－，－1)∪(1，)

考点一指数幂的化简与求值自练型

1.计算：8－＋＋［(－2)6］＝.

解析：原式＝(23)－1＋|3－π|＋(26)

＝4－1＋π－3＋23＝π＋8.

答案：π＋8

2.计算：·＝(a>0，b>0).

解析：原式＝＝.

答案：

3.已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝.

解析：由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，

所以(2a＋2－a)2＝9，即22a＋2－2a＋2＝9.

所以22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝22a＋2－a＝7.

答案：7

eq\a\vs4\al()

考点二指数函数的图象及其应用讲练型

(1)定义运算ab＝则函数f(x)＝12x的大致图象是()

(2)若曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为.

(3)已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：①00时，2x>1.

所以f(x)＝12x＝故选A．

(2)函数y＝|2x－1|与y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0，1).

(3)在同一坐标系内，作出函数y＝和y＝的图象如图．

当a>b>0时，＝可能成立．

当ay1>y2B．y2>y1>y3

C．y1>y2>y3D．y1>y3>y2

(2)已知α＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是.

解析：(1)y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，

∵y＝2x在定义域内为增函数，∴y1>y3>y2.

(2)由指数函数y＝在R上单调递减可知，

1时，2a－(1－a)＝4a－1，无解．故a的值为.

答案：(1)B(2)

eq\a\vs4\al()

利用指数函数的单调性解指数不等式的方法

解指数不等式时，若01，则ax1>ax2x1>x2.如果不等号一端为常数，则利用指数运算性质将常数化成同底的指数值，再利用指数函数的单调性转化为一般不等式求解．

角度三探究指数型函数的性质

已知函数f(x)＝.

(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值；

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝，

令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2］上单调递增，在［－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2］上单调递减，在［－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是［－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2］.

(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝，

由于f(x)有最大值3，

所以g(x)应有最小值－1，

因此必有

解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.

(3)令g(x)＝ax2－4x＋3.

由指数函数的性质知，

要使f(x)＝的值域为(0，＋∞).

应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，

因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R).

故a的值为0.

eq\a\vs4\al()

求指数型复合函数的单调区间和值域的方法

(1)形如y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令ax＝t，将求原函数的值域转化为求f(t)的值域．但要注意“新元”t的范围．

(2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f(x)，先求出u＝f(x)的值域，再利用y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域．

(3)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：

①当a>1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同；

②当0即时练1.设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()

A．a0，且a≠1)，当x≥0时，求函数的值域．

解析：y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，

则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.

当a>1时，∵x≥0，∴t≥1，∴当a>1时，y≥2.

当0∵g(0)＝－1，g(1)＝2，

∴当0综上所述，当a>1时，函数的值域是［2，＋∞)；

当0eq\a\vs4\al()

对于同时含有ax与a2x(a>0且a≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t＝ax进行换元巧解，但一定要注意新元的范围；对数函数中的类似问题，也用这种方法．

即时练．已知函数y＝4x＋m·2x－2在区间［－2，2］上单调递增，则m的取值范围为.

解析：设t＝2x，

则y＝4x＋m·2x－2＝t2＋mt－2.

因为x∈［－2，2］，所以t∈.

又函数y＝4x＋m·2x－2在区间［－2，2］上单调递增，

即y＝t2＋mt－2在区间上单调递增，

故有－≤，解得m≥－.

所以m的取值范围为.

答案：第四节指数函数

课程标准考向预测

1.了解指数函数模型的实际背景．2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3.理解指数函数的概念及单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，，的指数函数的图象．4.体会指数函数是一类重要的函数模型．考情分析：指数函数中比较大小、与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用仍是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主．学科素养：通过指数幂的化简求值，考查数学运算的核心素养；通过指数函数图象及性质的应用考查直观想象、逻辑推理的核心素养．

1.根式

(1)根式的概念

①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

②a的n次方根的表示：

xn＝a

(2)根式的性质

①()n＝a(n∈N*).

②＝

2.有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.

(2)有理数指数幂的性质

①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).

3.指数函数的图象与性质

函数y＝ax(a>0，且a≠1)

图象01

图象特征在x轴上方，过定点(0，1)

当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升

性质定义域R

值域(0，＋∞)

单调性减增

函数值变化规律当x＝0时，y＝1

当x1；当x>0时，00时，y>1

eq\a\vs4\al()

(1)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．

(2)函数y＝ax与y＝(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．

(3)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0小题练1．(必修1P54练习T2改编)化简(x0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝.

小题练4．(巧用结论)若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是.

考点一指数幂的化简与求值自练型

1.计算：8－＋＋［(－2)6］＝.

2.计算：·＝(a>0，b>0).

3.已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝.

eq\a\vs4\al()

考点二指数函数的图象及其应用讲练型

(1)定义运算ab＝则函数f(x)＝12x的大致图象是()

(2)若曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为.

(3)已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：①0y1>y2B．y2>y1>y3

C．y1>y2>y3D．y1>y3>y2

(2)已知α＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是.

比较指数式大小的常用方法

(1)单调性法，不同底的指数式化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．

(2)取中间值法，不同底、不同指数的指数式比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系．

(3)图解法，根据指数式的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．eq\a\vs4\al()

角度二解简单的指数方程或不等式

(1)若2≤，则函数y＝2x的值域是()

A．B．

C．D．［2，＋∞)

(2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为.

eq\a\vs4\al()

利用指数函数的单调性解指数不等式的方法

解指数不等式时，若01，则ax1>ax2x1>x2.如果不等号一端为常数，则利用指数运算性质将常数化成同底的指数值，再利用指数函数的单调性转化为一般不等式求解．

角度三探究指数型函数的性质

已知函数f(x)＝.

(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值；

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

eq\a\vs4\al()

求指数型复合函数的单调区间和值域的方法

(1)形如y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令ax＝t，将求原函数的值域转化为求f(t)的值域．但要注意“新元”t的范围．

(2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f(x)，先求出u＝f(x)的值域，再利用y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域．

(3)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：

①当a>1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同；

②当0即时练1.设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()

A．a0，且a≠1)，当x≥0时，求函数的值域．

即时练．已知函数y＝4x＋m·2x－2在区间［－2，2］上单调递增，则m的取值范围为.课时作业(九)指数函数

［基础保分练］

1.设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是()

A．aB．a

C．aD．a

C［由题意＝a2－－＝a.故选C．］

2.已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()

A．(1，6)B．(1，5)

C．(0，5)D．(5，0)

A［由于函数y＝ax的图象过定点(0，1)，

当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，

故函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P(1，6).］

3.函数y＝e的图象大致是()

C［易知函数f(x)为偶函数，因此排除A，B；又因为f(x)＝e1－x2>0，故排除D，因此选C．］

4.已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是()

A．a>b>cB．a>c>b

C．c>a>bD．b>c>a

A［由0.20.40.6，

即b>c；

因为a＝20.2>1，b＝0.40.2b.综上，a>b>c.］

5.关于函数f(x)＝的性质，下列说法错误的是()

A．函数f(x)的定义域为R

B．函数f(x)的值域为(0，＋∞)

C．方程f(x)＝x有且只有一个实根

D．函数f(x)的图象是中心对称图形

B［函数f(x)＝的定义域为R，所以A正确；因为y＝4x在定义域内单调递增，所以函数f(x)＝在定义域内单调递减，所以函数的值域为，所以方程f(x)＝x只有一个实根，所以B错误，C正确；

因为f(x＋1)＋f(－x)＝＋

＝＋＝，

所以f(x)关于对称，所以D正确．］

6.化简eq\f(（a\s\up6(\f(2,3))·b－1）－·a－·b\s\up6(\f(1,3)),\r(6,a·b5))＝．

解析：原式＝eq\f(a－\f(1,3)b\s\up6(\f(1,2))·a－b\s\up6(\f(1,3)),a\s\up6(\f(1,6))b\s\up6(\f(5,6)))

＝a－－－·b＋－＝.

答案：

7.当x∈［－2，2］时，ax0，且a≠1)，则实数a的取值范围是．

解析：x∈［－2，2］时，ax0，且a≠1).

若a>1，y＝ax是增函数，

则有a2，故有综上所述，a∈(，1)∪(1，).

答案：(，1)∪(1，)

8.函数f(x)＝()的单调减区间为．

解析：设u＝－x2＋2x＋1，

∵y＝()u在R上为减函数，

∴函数f(x)＝()的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．

又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1］，

∴f(x)的减区间为(－∞，1］.

答案：(－∞，1］

9.已知函数f(x)＝，a为常数，且函数的图象过点(－1，2).

(1)求a的值；

(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．

解析：(1)由已知得f(－1)＝＝2，解得a＝1.

(2)由(1)知f(x)＝，

又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝，

∴－－2＝0，

令＝t，则t>0，t2－t－2＝0，

即(t－2)(t＋1)＝0，

又t>0，故t＝2，即＝2，解得x＝－1，

故满足条件的x的值为－1.

10.已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)，其中a，b均为实数．

(1)若函数f(x)的图象经过点A(0，2)，B(1，3)，求函数y＝的值域；

(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是［－1，0］，求a＋b的值．

解析：(1)∵函数f(x)的图象经过点A(0，2)，B(1，3)，

∴∴

∴函数f(x)＝2x＋1>1，

函数y＝＝0，

故函数y＝的值域为(0，1).

(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是［－1，0］，

若a>1，则函数f(x)＝ax＋b为增函数，

∴无解；

若0∴解得

∴a＋b＝－.

［能力提升练］

11.已知a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，当x>0时，10时，11.

∵当x>0时，bx∴当x>0时，()x>1.

∴>1，∴a>b，∴1f(c)对于a，b，c∈R都恒成立，

由于f(x)＝＝1＋，

①当t－1＝0，f(x)＝1，此时f(a)，f(b)，f(c)都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．

②当t－1>0，f(x)在R上是减函数，1f(c)，可得2≥t，解得1f(c)，可得2t≥1，解得1>t≥，

综上可得，≤t≤2，

故实数t的取值范围是.］

13.若函数f(x)＝2|x－2a|－4|x＋a|在区间(－2，＋∞)上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是．

解析：由题意，得方程2|x－2a|－4|x＋a|＝0，即方程2|x－2a|＝22|x＋a|，即方程|x－2a|＝2|x＋a|，即方程(x－2a)2＝4(x＋a)2，即方程x(x＋4a)＝0在区间(－2，＋∞)上有且仅有一个实根，当a＝0时，方程有唯一实数根x＝0，满足条件；当a≠0时，必有－4a≤－2，解得a≥.综上可知，实数a的取值范围是.

答案：

14.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.

(1)若f(x)＝，求x的值；

(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈［1，2］恒成立，求实数m的取值范围．

解析：(1)当x0，所以2x＝2，所以x＝1.

(2)当t∈［1，2］时，2t＋m≥0，

即m(22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1>0，

所以m≥－(22t＋1)，

又y＝－22t－1，t∈［1，2］为减函数，

所以ymax＝－22－1＝－5，故m≥－5.

［拓展创新练］

15.设y＝f(x)在(－∞，1］上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1］，恒有fK(x)＝f(x)，则()

A．K的最大值为0B．K的最小值为0

C．K的最大值为1D．K的最小值为1

D［根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1］，若恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．

令2x＝t，则t∈(0，2］，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，所以K≥1，故选D．］

16.若函数f(x)＝2|x＋a|(a∈R)满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x)在区间［m，n］上的最大值记为f(x)max，最小值记为f(x)min，若f(x)max－f(x)min＝3，则n－m的取值范围是．

解析：因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝－1，

所以f(x)＝2|x－1|.

作出函数y＝f(x)的图象如图所示．

当m0，将表示成分数指数幂，其结果是()

A．aB．a

C．aD．a

2.已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()

A．(1，6)B．(1，5)

C．(0，5)D．(5，0)

3.函数y＝e的图象大致是()

4.已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是()

A．a>b>cB．a>c>b

C．c>a>bD．b>c>a

5.关于函数f(x)＝的性质，下列说法错误的是()

A．函数f(x)的定义域为