新高考2021年5月高三数学高考终极猜题卷3份附答案详析

新高考2021年5月高三数学高考终极猜题卷一

2021.5

【满分：150分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

Cl—\

』而为纯虚数（i是虚数单位），则⑶为（）

A.3B.2C.lD.V2

2.已知集合4=卜［3<工<3},3={1|1083%<0},则AcB=()

A.{x［；<x<2}B.ljC.{xll<x<3}D.U<X<4

I23j

兀

3.已知。力均为单位向量，若a,b夹角2为寸，则|4-"=()

A."B.RC.y/5D.后

4.已知a,beR,则“IaI,,1"是“Ia-。I+闻,，1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2”.sin(m+6x

5.已知函数，,、,则/（x）的图象大致是（）

/5）=

4X-1

6.现将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得三本的概率是（）

12

A.-B.—c.—D.-

63129

7.已知抛物线尸=21的焦点为R准线为/,P是/上一点，直线PF与抛物线交于N两点，若尸尸=3M£

贝|J|MN|=()

168D,^l

A.—B.-C.2

333

1

8.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，。是Ag与AB的交点，。是AC的中点，AA,=AB=2AC=4,ABYAC,

给出下列结论.

①A8与81G是相交直线；②。Z)〃平面AEG；③平面AOD〃平面BMGC；④AOJ■平面ABG，

其中正确的结论是()

A.①@B.③④C.②③D.②©

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

11

9.若函数/(x)=Y,设。=log；4,b=log।彳,c=2$,则/(a),/(Z?),/(c)的大小关系不正确的是()

53

AJ(a)>f(b)>/(c)BJS)>/(c)>f(a)

C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(a)>f(b)

10.已知是空间中两条不同的直线，口,夕为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是()

A.若帆ua,则相_1"4B.若加ua,〃u尸，则机_1.”

C.若加仁名机，力，则”?〃aD.若&c/?=见〃_L相，则〃_La

11.已知函数f(x)=2sin(<yx+<p)(a>>0,0<<p<n),0,且/(x)在(0,兀)上单调.

下列说法不正确的是()

1

A.CO=—

2

V6-V2

BUI2

兀

C函数/(x)在一兀,一万上单调递增

2

D.函数y=/(x)的图象关于点[1,OJ对称

12.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，〃x)=eT(x-l).下列命题正确的是()

A.当x<0时，/(x)=ev(x+l)

B.函数/(x)有5个零点

C.若关于x的方程f[x｝=加有解，则实数机的范围是[/(-2),/(2)1

D.对\/看,当eR,|/(X2)-〃xJ|<2恒成立

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若无穷数列｛COS(由2)｝(6>£1<〃£>)")是等差数列，则其前10项的和为.

14.在(l+*)(l+x)6的展开式中含/项的系数为.(用数字作答).

21

15.已知圆(x-2『+(y-1)2=2关于直线or+力=1(。>0力>0)对称，则一+一的最小值为_____.

ab

16.巳知球。为正四面体ABCD的内切球，E为棱比>的中点，他=2,则平面ACE截球。所得截面圆的面积

为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)己知LWC满足sin(B+聿)=2cosB.

(I)若cosC=^,AC=3,求AB；

3

(II)若且cos(8—A)=[,求sinA.

18.(12分)已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且2,4,S“成等差数列，令2=log2q,,〃eN”.

(I)求数列｛q｝，｛2｝的通项公式；

(II)令%=4♦b„,求数列｛%｝的前〃项和T„.

3

19.（12分）2020年春节期间爆发的新型冠状病毒（2019—nCoV）,是一种可以借助飞沫和接触传播的变异

病毒.某定点医院为筛查某些人是否感染该病毒，需要检验血液是否为阳性，现有"份血液样本，有以下两种检

验方式：（a）逐份检验，则需要检验〃次；（b）混合检验，将其中%（%€田且々22）份血液样本分别取样

混合在一起检验.若检验结果为阴性，这A份的血液全为阴性，因而这4份血液样本只要检验一次就够了；如果

检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验

次数总共为k+1次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样

本是阳性结果的概率为。（0<p<1）.

（I）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性

样本全部检验出来的概率；

（II）现取其中％•且上N2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为《，采用混

合检验方式，样本需要检验的总次数为与.

（i）运用概率统计的知识，若E（0）=E©）,试求夕关于k的函数关系式2=/（»；

（“）若p=l_e：，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值

更小，求A的最大值.

参考数据：In2，0.6931,In3它1.0986,In5x1.6094,In6=1.7918,In7yL9459,In8b2.0794,In9«2.1972.

20.（12分）如图，在三棱柱ABC-ABC中，AC，BC,AC=CG=4,BC=2,。为棱AG上的动点.

BiB

（I）若。为4G的中点，求证：BC"平面AOg；

（II）若平面AACG平面ABC，且RC=60。，是否存在点O,使二面角筋-AO-G的平面角的余弦

值为且？若存在，求出笑的值；若不存在，说明理由.

4

4

21.(12分)已知函数=

(I)讨论函数/(x)的单调性；

(II)若函数了⑴曰门-49)有三个零点，求实数a的取值范围.

22.(12分)如图，已知抛物线y?=4x的焦点为F,准线为/,过点F的直线交抛物线于A,B两点，点8在

准线/上的投影为E,若C是抛物线上一点，且AC_LEF.

(I)证明：直线BE经过4c的中点M；(II)求口钻(2面积的最小值及此时直线4c的方程.

一、单项选择题

1.C2.B3.D4.B5.C6.A7.B8.D

二、多项选择题

9.ABC

10.：ABD11.ABD12AD

三、填空题

TT

13.1014.3015.9为9。6.一

四、解答题

17.答案：（I）由sin（3+t）=2cos3可知等sin8+；cos8=2cos8,解得tan3=坦.

又8£（0,兀），则3=]........................................................................................................2分

又由COSC=^^,CW（0,TT）可知sinC=Jl-cos?C=^~............................................................3分

33

5

,ACAB

hc--------=---------

在口ABC中，由正弦定理二丁=丁)可得.JisinC，.\AB=2...................................4分

sinBsinCsin-

(II)由(I)知5=方，又-A£(0,g).....................................................6分

又cos(8一A)二1即cos(g_A)=g,可得sin(g-A)=J1-COS2(]-4)=[,....................8分

71

/.sinA=sm—

3

18.答案：(I)由题知24=S.+2,当几.2时,2%=S.T+2,...................................2分

两式相减得2(%-41T)=S"—S,-=%,即«„=2a,I,

当九=1时，2〃]=S]+2=4+2,解得4=2,......................................................................4分

数列｛对｝是以2为首项，2为公比的等比数列，.•.凡=2",

b„=log2a„=n.................................................................................................................5分

(H)由1知，c„=n-T,.'.7；=1x2'+2x22+3x23+.•,+«•2",...................................7分

27；=1x2?+2x23+3x2"+…+(〃-1>2"+〃・2田，...........................................................9分

1+,

两式相减得-7；=2,+2?+2,+…+T-n-2田=乂二J.2",

1-2

整理得看=（"-1）・2"”+2....................................................................................................12分

19.答案：解（I）由题意得所求概率P=+等一等拌=白，

，U1D

4

.•.恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为百......................5分

（II）（i）由已知得£（《）=%&的所有可能取值分别为1，无+1，

P©=1）=（1-。）*，尸©=4+1）=1-（1-P）*，...................................................................6分

6

££k

"(^)=(^2)>.-.k=k+\-k(\-p),即l=%(l-p)”,.-.(i-p/=l,p=i-^iy,

•••P关于上的函数关系式p==(AeN,且上.2)............................................8分

(ii)由题意可知E仁)<E«),J»+l-无(1-P)"<A，即L<(l-P)t

k

两边取对数得In左>1%.

4

设g(x)=lnx-!x(x..2).........................................................................................................9分

4

4—x

v/(x)=—当x>4时，g'WvO,即函数ga)在(4,+力)上单调递减............10分

4%

又・・・In5"6094,-=1.25,/.In5>-.

vln6«1.7918,-=1.5,/.ln6>-.

44

77

•・・In7=1.9459,—=1.75,..In7>—.

44

QQ

vln8«2.0794,-=2,/.ln8>-.

44

99

vln9«2.1972,—=2.25,/.In9<-,

44

.•・%的最大值为8............................................................................................................12分

20.答案：解：(I)证明：连接48交Ag于点O,连接OO.

・・•四边形想用8是平行四边形，「.O为4出的中点............................2分

在口A8G中，3,0分别为AG，A8的中点，「.OO为口43。1的中位线，即。。〃3G.……4分

又BC\(X平面AE>4,£>Ou平面A£>4,BC1〃平面ADB1.............................5分

7

(JI)存在.理由如下：连接AC1,4c.•••AC=CG,

.PAACG为菱形，即ACLAG.又平面AACG，平面A8C,平面AACGn平面A8C=AC，

BC1AC,：.BCJ•平面AACG.

过点C作的平行线CP,即CA，CRCB两两垂直..........................6分

如图，以C为坐标原点，以工,而，丽的方向为x轴、)，轴、Z轴正方向建立空间直角坐标系.

•.•/A4,G=6(r,，AG=4,AC=4百,故C(0,0,0),4(2若,2,0),G(2班,-2,0),4(2百,-2,2),

搞=AC=(-273,-2,0),=(0,-4,2).

假设存在点。，使二面角4-AO-C］的平面角的余弦值为,设A1O=%AG=(-2百人-24,0),

.•.而=丽+丽=忑+丽=(273(1-Z),-2(l+2),0)

易得平面AL>G的一个法向量为”=(°，°，1)..........................................................................8分

而“2=0,[273(1-2)%-2(1+2)y=0

设平面B]A£)的法向量为m=(x,y,z),___=><

A/m=0；-4y+2z=0

可取nz=(1+473(1-A),2由(1-㈤).................................................................10分

由卜5〈/«,”)|=||=解得0

{(1+2)~+15(1—4厂44

•.•点。在棱AG上，，丽=1隔，即笑=3............

...............................................12分

4C[D

8

21.答案：(I)，(力定义域为x£(0,小),

2

r,.、12ax+(2-2a)x+1

/(外=1一许=X(X+1)2，…1分

令g(x)=—+(2-2a)x+1，

当4,1时，•.,xe(0,+oo),g(0)=l>0,对称轴与="-L,o,.・.g(x)>0,

即f'(x)>0,.'./(x)在(0,-w))上单调递增；...................................2分

当1<W,2时，•.,对称轴与=a-l>0,A=4/_8%0,g(x)..O,

即/'*)..0,.1/*)在(0,+oo)上单调递增；...................................3分

当a>2时，A=4a2-8a>0,g(x)=0在(0,+<，。)内有两个不等实根，

222

x=巨^~4"-=a-1±y/a—2a，设玉=a-I—Va-2a,x2=a-1+y/a-2a-

当xe(O,xJ时，g(x)>0,即/'。)>0,，/。)在(0,用)上单调递增，

当》€(内,々)时，g(x)<0,即/'(幻<0,；./3在(百,%)上单调递减，

当XW(X2，+00)时，g(x)>0,即/(x)>0,在(0+8)上单调递增.

综上，当4,2时，/(处在(0,+功上单调递增；

当a>2时，f(x)在(0,a-1-Ja、-2a)和(a—1+>Ja2—2a,+ooj上单调递增，

f(x)在(a-17a。-2a,a-l+4/-2a)上单调递减............................5分

(II)由(I)得,当以2时,f(x)在(0,3)上单调递增，.・・/(X)至多有一个零点；

当a>2时，，VX,<X2，x,x2=1,.-.0<^<1<A^,容易得出x=l是f(x)的一个零点，.......6分

由/(x)的单调性知，(占)>0,/(々)<0，令％=e-"e(0,l),则/(%)=lne-"-/j一■J-|

3+Ue-a+l

.•.当xe(0,l)时，存在/使得/(与)<0,又/(百)>0且在(0/J上单调递增，

•••/(X)在(％,%)内必有一个零点，.........................................8分

令x0'=e〃w(l,+oo),则==总>0,

\CillCI1

9

.•.当X€（l,+8）时，存在X。'使得>0,10分

又/优）<0且/（X）在（々，+°°）上单调递增，在12，/'）内必有一个零点,

所求实数a的取值范围是（2,”）.......................................12分

22.答案：（I）证明：由题可知抛物线V=4x的焦点F（1,0）,准线方程为x=—L

4

=4r，%yc=-8-产，的中点M的纵坐标％=2/,即yM=yB,

..直线BE经过AC的中点M..............................................5分

（II）由（I）可知14cl=11+可

=4+广丫3+先『-4%先

,_-r_j.............................................7分

=4,1+/.产+产+2.

2

r-2r-4--2r+1+2

设点8到直线AC的距离为“，则，t2t2>

仁向二^T

2

SVABC=^\AC\-d=2^r+^+2^]..27（2+2/=16,...........9分

当且仅当『==，即『=土1时取等号，

当f=l时，直线AC的方程为x-y-3=0；当"-1时，直线AC的方程为x+y-3=0............12分

10

新高考2021年5月高三数学高考终极猜题卷二

2021.5

【满分：150分】

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.若集合A,B,U满足4门«8=0,则下面选项中一定成立的是（）

A.B^AB.AVJB^UC.Ary^B^UD.率A=U

/、|x3-1,x<0,、/、

2.已知奇函数，则/(—l)+g(2)=()

g(尤｝x>0

A.—11B.—7C.7D.11

2

3.“x>l”是“2*+—〉3”的()

2X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.某校积极落实立德树人，坚持五育并举，计划在新学期开展球类、书法、健美操、棋类等四项社团活动，学

校要求每位学生选择其中的两项，学生甲、乙、丙三人都已决定选择球类，三人再从其它三项中各选择一项，

恰好三人的选择互不相同，乙比选棋类的人个头高，丙和选书法的人身高不同，选书法的人比甲个头小，则甲、

乙、丙所选的第二项社团活动分别为（）

A.书法、健美操、棋类B.健美操、书法、棋类

C.棋类、书法、健美操D.棋类、健美操、书法

5.如图为一个圆锥形的金属配件，重75.06克，其正视图是一个等边三角形，现将其打磨成一个体积最大的球

形配件，则该球形配件的重量约为（）

A.32.69克B.33.36克C.34.03克D.34.37克

6.在天文学上恒星的亮度一般用星等来表示，直接测量到的天体亮度被称为视星等，"，而把天体置于10秒差

距的距离处所得到的视星等称为绝对星等M,它能反映天体的发光本领.如果我们观测到了恒星的光谱，可以

知道一些类型恒星的绝对星等，就可以利用光谱视差法来获得这些恒星的距离.下表是某校天文爱好者社团在

网上收集到一些恒星的相关数据，那么最适合作为星等差y关于距离x（光年）的回归方程类型的是（）

星名天狼星南河三织女星大角星五车二水委一老人星参宿四

距离X8.611.462536.7142.8139.44309.15497.95

y=m-M-2.89-2.27-0.570.260.593.154.885.92

A.y=a+bx2B.y-a+b\gxC.y=a+b4xD.y=a+bx

7.点A,B,C在圆。上，若|AB|=2,NACB=30°,则反•丽的最大值为（)

11

A.3B.2百C.4D.6

r2v2

8.点K，&是双曲线C:%—会=l（a>0,/?>0）的左、右焦点，过点工作直线ABJ.£鸟交双曲线C于

A,B两点，现将双曲线所在平面沿直线耳工折成平面角为锐角a的二面角，如图，翻折后A,B两点的对

应点分别为A',B',NA!F\B'=/3,若=空’则双曲线。的离心率为（）

1-COS尸16

后伍

A.---B.V3C.2D.3

3

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.设函数/（X）=cos12x+巴的图象为曲线E,则

A.将曲线丁=©052*向右平移g个单位长度后与曲线E重合

B.将曲线y=cos[x+']上各点的横坐标缩短到原来的1,纵坐标不变，则与曲线E重合

I3J2

c.将曲线/（X）向左平移一后所得图象对应的函数为奇函数

D.若工尸工2，且=/）=0，则1%的最小值为5

10.1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式ew=cose+isin。，这个公

式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（）

7[i

71e4+e

A.e2=iB.cos—=

42

11.若。=log52,/?=；ln2,c=（ln5,则（）

A.a>bB.h>cC.c>aD.a>2h

12.已知抛物线％2=2刀（〃>0）的焦点为尸，且4（2,1）,3（%,y）,C（w，%）在抛物线上，。为坐标原

点.下列说法正确的是（）

A.点尸的坐标为（0,2）

12

B.若丽+%=〃，则|而|+|定|=2〔而|

C.若同=6,则BC的中点到x轴距离最小值为2

D.若直线BC过点尸，则直线0B与0C的斜率之积为一，

4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

（1丫

13.x--=的展开式中常数项为______.（用数字表示）

\3vx）

14.现有标号为①，②，③，④，⑤的5件不同新产品，要放到三个不同的机构进行测试，，每件产品只能放

到一个机构里，机构A,B各负责一个产品，机构C负责余下的三个产品，若产品①不放在机构A,测试情况

共有种（结果用具体数字表示）.

15.随机变量X的分布列如下表：

X123

Pabc

其中a,b,c成等差数列，若E（X）=|,则O（X）=

16.如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦

称“阿基米德体”.点A,B,"是该多面体的三个顶点，点N是该多面体表面上的动点，且总满足

MN上AB,若43=4,则该多面体的表面积为，点N轨迹的长度为.（本题第一空2分，第

二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

rrrr

在①尤=一是函数图象的一条对称轴，②一是函数/（x）的一个零点，③函数/（x）在上单调递

612

7T

增，且b—a的最大值为一，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

2

/兀117171

已知函数/(x)=2sinscos|cox————(0<ty<2),_____,求/(x)在一一，一上的单调递减区间.

I222

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

13

18.（12分）

2021年是“十四五”规划开局之年，也是建党100周年.为了传承红色基因，某学校开展了“学党史，担使命”

的知识竞赛.现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图.

（1）求频率分布直方图中。的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分1（同一组中的数据用该组区间中点值代

表）；

（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩高于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再

从这7人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人成绩在［85,95］内的概率；

（3）假设竞赛成绩服从正态分布已知样本数据的方差为121,用平均分窑作为〃的近似值，用样

本标准差s作为。的估计值，求该校本次竞赛的及格率（60分及以上为及格）.

参考数据：-a<（^<//+er）«0.6827,尸（从一2b<』W〃+2b）a0.9545,

P（〃—3cr<JW〃+3cr）«0.9973.

19.（12分）

已知正项数列｛凡｝的前〃项和为S“，数列也｝为等比数列，满足45“=”3-4〃-4,且%=4+1=2,

%=2.

（1）求证：数列｛%｝为等差数列；

（2）若从数列｛&“｝中去掉数列｛2｝的项后余下的项按原来的顺序组成数列｛&｝,求G+Q+J+―,+Goo.

20.（12分）

如图，四边形CDE尸为正方形，AB//CD,AB=23C=2CD,点。为5尸的中点.

B

14

(1)求证：80〃平面CEQ；

(2)若NB4C=30°,ACLBF,求平面CEQ与平面ABC。所成锐二面角的余弦值.

21.(12分)

尤2V2

已知椭圆。：靛+%=1(。＞人＞0)的左、右焦点分别为耳，巴，点尸在椭圆。上，以尸耳为直径的圆

E.X1^过焦点弱.

(1)求椭圆。的方程；

(2)若椭圆C的右顶点为A,与x轴不垂直的直线/交椭圆C于M,N两点、(M,N与4点不重合)，

且满足AM_LAN,点。为MN中点，求直线MN与AQ的斜率之积的取值范围.

22.(12分)

已知函数/(x)=xe*—alnx,aeR.

(1)若/(x)在点处的切线过原点，求a的值；

(2)在(1)条件下，若/(x)2b(x—l『+a(lnx+l)恒成立，求Z?的取值范围.

数学试题参考答案及评分标准

2021.5

说明：

一、本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准

酌情赋分.

二、当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继

15

部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，

就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40升.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.D2.C3.A4.B5.B6.B7.C8.D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.BD10.ABD11.AB12.BCD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.—14.1615.—16.112\/38+8^3

2712

四、解答题：

17.解：=2sinwxcoscox--\——=2s\x\cox\cos6yxcos—+sin(yxsin—|——

')\6)2I66)2

=V3COS69xsincox+sin2cox——

2

V3..1o

=—sin2cox—cos2cox

22

=sinI2cox—6；.

①若无=一己是函数f(x)图象的一条对称轴，

TICD71兀，〜兀0,2兀，一

则---------=kitH—，左£Z,即-----=kuH----，%£Z,

36233

得@=—3k—2,keZ,

又0<cy<2,当人=一1时;co-\,/(x)-sin(2x\)

②若展是函数“X)的一个零点，

7L7L717r

则一x2co——=kit，即一切=E+—,kwZ,

12666

得=6k+1,%£Z

16

又0<。<2,，当火=0时，co=\y所以/（x）=sinf2戈一.

③若“X）在［以,可上单调递增，且匕一。的最大值为:，

2兀（兀、

则丁=兀=一,故口=1,所以〃x）=sin2%一一.

2GI6J

TTTT371

由一+2kji<2x—<—+2E，keZ,

262

F兀r5711r

得一■\-kn<x<----Fkn,keZ,

36

TTSjT2冗TT

令4=0,得乙WxW己士.令k=—T,</：<--.

3636

兀兀

又一一<%<-,

22

兀兀71兀

所以/（X）在上单调递减区间为—

26352.,

18.解：由频率分布直方图可得，（0.005+0.25x2+0.01+a）xl0=l,

解得。=0.035.

这组样本数据的平均数为

50x0.05+60x0.25+70x0.35+80x0.25+90x0.1=71.

所以估计该校此次竞赛成绩的平均分为71分.

（2）自频率分布直方图可知，成绩在［75,85）,［85,95］内的频率分别为0.25,0.1.

所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的7人，成绩在［75,85）内的有5人，成绩在［85,95］内的有2人.

记事件A这3人至少有1人成绩在［85,95］内

则P（4）=生¥4=*.

G7

（3）由题意知，样本方差$2=121,故b=G=ll.

所以竞赛成绩y~N（71,l『）.

该校竞赛的及格率P=P（r>60）=l-1（l-P（60<Y<82））=0.84135.

19.(1)证明：45“=a3-4〃-4,

17

当〃22时,4s“_]=a：—4n,

4a〃=d+i--4,

,,d+i=(4+2)

又4>0,二。〃+]=%+2.

当〃=1时，4S]=a；—8,即4q=a；—8,

又q=2,，%=4,—a]=2适合上式，

所以数列｛%｝是首项为2,公差为2的等差数列.

(2)由(1)可知4=2n,

设｛0｝的公比为q,

又%=%=8，4=q-1=1,/.7=8,q=2,

.•心=2-'.

/./?!=1,b>=2=Cl],4=4=氏，"=8=〃4，々=16=〃8，

%=32=《6，伪=64=。32，々=128=。64，4=256=。[28・

，C]+。2+C3H-------1-C|00=(^+«2+a,H----------F/07)—(82+、3+…+4)

21-27

_107(2+214)()_11302

1-2

20.证明：(1)连接。尸，交CE于点。，连接Q。，

•.•四边形8所为正方形，

二。为。口中点，

•:Q为BF中技.：.OQHBD,

•••。。<=平面。£。，%>2平面CE。，

8□平面CEQ.

(2)•：AB^2BC,ABAC=30°,

18

AD

在△A5C中，由---------=-------,得sin/ACB=l,则NAC8=90。,

sinZ.ACBsin30°

二AC1BC.

又BFcBC=B,

AC,平面BCE.AC_LCT.

-CD±CF,ACcCD=C,

.♦.CFJ.平面ABC。，

：.CF±BC,

以C为原点，以C4,CB,C尸所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

设AB=2,则BC=CZ）=1,AC=-s/3）

则A（30,0）,8（0,1,0）,尸（0,0,1）

从而，丽=（百,-1,0）,而=（0,1,0）,CF=（0,0,1）,

：.CE^CD+C