第02讲 三角恒等变换（解析版）

第02讲三角恒等变换高考预测一：三角恒等变换之拆凑角问题1．已知，，且，．求的值（Ⅱ）求的值．【解答】解：（1），（2），，，，，，．2．已知函数，为偶函数，周期为．（1）求的解析式；（2）若，求的值．【解答】解：（1）由题意可得，解得，故函数．再由此函数为偶函数，可得，，结合可得，故．（2），．根据，．．3．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合终边过点．（1）求的值；（2）已知为锐角，，当求的值．【解答】解：（1）由三角函数的定义知，，，所以；（2）由（1）知，，所以；因为，；又因为，所以，；所以，所以；所以．4．已知函数．（1）若，为锐角，，，求及的值；（2）函数，若对任意都有恒成立，求实数的最大值；（3）已知，，，求及的值．【解答】解：（1），，，为锐角，即，，．，，，，，，．综上，，．（2），对任意都有恒成立，恒成立，即恒成立，设，则，，，则．设，由对勾函数的性质可知，函数在区间，上为增函数，，，故的最大值为．（3），，，即，且，当时，，，，；当时，与相矛盾，不符合题意．综上所述，．5．已知函数，，满足，且函数图象上相邻两个对称中心间的距离为．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若，且，求的值．【解答】解：（Ⅰ），，且，，即，又，．函数图象上相邻两个对称中心间的距离为．，得，则；（Ⅱ），，，即，，．．则．6．（1）已知为第一象限角，且为方程的根，求的值．（2）已知，，求的值．（3）若．求的值．（4）若锐角满足，则的值是．【解答】解：（1）为第一象限角，且为方程的根，，；（2），．；（3），；（4）由，化简得，即．由且是锐角，得，，从而，由二倍角公式得．7．已知向量，，，函数，的图象关于直线对称，且经过点，其中，为实数，．（1）求的解析式；（2）若锐角，满足，，求的值．【解答】解：（1）由题意可得，，即．由于函数的图象关于直线对称，，．解得：，．，，．又因为经过点，可得：，，．（2）由，，，．为锐角，．又，，，，．8．已知向量，，，，且函数满足．（1）求函数的解析式；（2）求的值；（3）设，，，，，求的值．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得；（2）由（1）可得；（3），，，，，．9．已知函数，，的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）若，且，，求的值．（参考公式：【解答】解：（1）由函数，，的部分图象，得：，，，，把代入，得：，由，结合图象解得，．．（2），且，，，，，，整理，得，解得或，或．10．已知函数．（1）求函数最小值和最小正周期；（2）若为锐角，且向量与向量，垂直，求．【解答】解：（1）由题意得，，函数最小值是，最小正周期；（2）向量与向量，垂直，，则，，为锐角，，则，，则．11．已知函数，，．（1）求的解析式；（2）若，，，求的值．【解答】解：（1）．．．，，．的表达式；（2），，即，即有，，，．12．已知函数，（1）求函数图象的对称中心（2）已知，，求证：．（3）求的值．【解答】解析：（1），，即，，为对称中心；（2），，，，．，．，，所以，结论成立．（3），，原式．13．已知函数，．（1）求的最小正