北师大高中数学选择性必修第一册第二章课时作业18抛物线及其标准方程（含解析）

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第二章课时作业18抛物线及其标准方程(原卷版)

角

一、选择题

1.与y轴相切并和圆x2＋y2－10x＝0外切的动圆圆心的轨迹为(B)

A.圆

B.抛物线(除去顶点)和一条射线

C.椭圆

D.抛物线

2.已知点P(－2，4)在抛物线y2＝2px(p＞0)的准线上，则该抛物线的焦点坐标是(C)

A.(0，2)B.(0，4)

C.(2，0)D.(4，0)

3.抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(B)

A.B.－

C.4D.－4

4.已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，|FA|为半径的圆交C的准线于M，N两点，且A，F，M三点共线，则|AF|＝(C)

A.12B.9

C.6D.3

5.设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||的值为(C)

A.1B.2

C.3D.4

6.已知点P是抛物线x＝y2上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为(C)

A.2B.

C.－1D.＋1＝－1.故选C.

7.抛物线y＝x2上一点到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是(B)

A.B.(1，1)

C.D.(2，4)

8.(多选题)点M(1，1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，则a的值可以为(AB)

A.B.－

C.D.－

二、填空题

9.已知点M(1，2)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，则p＝2；点M到抛物线C的焦点的距离是2.

10.已知抛物线Γ：y2＝4x焦点为F，抛物线Γ上的点P满足|PF|＝5，点P的坐标为(4，4)或(4，－4).

11.在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2，1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则该抛物线的方程是y2＝5x.

三、解答题

12.已知平面上动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P满足的方程.

所求动点P满足的方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0).

已知曲线G：y＝及点A，若曲线G上存在相异两点B，C，其到直线l：2x＋1＝0的距离分别为|AB|和|AC|，求|AB|＋|AC|的值.

14.(多选题)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则抛物线C的方程可能为(AC)

A.y2＝4xB.y2＝8x

C.y2＝16xD.y2＝32x16x.故选AC.

15.若抛物线x2＝16y上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则y0＝2.

16.动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程.

北师大高中数学选择性必修第一册

第二章课时作业18抛物线及其标准方程(解析版)

一、选择题

1.与y轴相切并和圆x2＋y2－10x＝0外切的动圆圆心的轨迹为(B)

A.圆

B.抛物线(除去顶点)和一条射线

C.椭圆

D.抛物线

解析：若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点(5，0)与到定直线x＝5的距离相等，其轨迹是抛物线(除去顶点)，方程为y2＝20x(x≠0)；若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x负半轴，是射线，方程为y＝0，x＜0.故选B.

2.已知点P(－2，4)在抛物线y2＝2px(p＞0)的准线上，则该抛物线的焦点坐标是(C)

A.(0，2)B.(0，4)

C.(2，0)D.(4，0)

解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，∵P(－2，4)在抛物线的准线上，∴－＝－2，∴p＝4，∴该抛物线的焦点坐标为(2，0).故选C.

3.抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(B)

A.B.－

C.4D.－4

解析：由y＝ax2，变形得x2＝y＝2×y，∴p＝.又抛物线的准线方程是y＝1，∴－＝1，解得a＝－.故选B.

4.已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，|FA|为半径的圆交C的准线于M，N两点，且A，F，M三点共线，则|AF|＝(C)

A.12B.9

C.6D.3

解析：如图所示，连接AN.因为A，F，M三点共线，所以|AM|为圆F的直径，所以AN⊥MN，点F到抛物线C的准线的距离为3，则易知|AN|＝6，由抛物线定义知|AF|＝|AN|＝6.故选C.

5.设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||的值为(C)

A.1B.2

C.3D.4

解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，所以x1＋x2＋x3＝3×，则|＝(x1＋x2＋x3)＋＝3.故选C.

6.已知点P是抛物线x＝y2上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为(C)

A.2B.

C.－1D.＋1

解析：由抛物线x＝y2可得y2＝4x，所以抛物线的焦点坐标为(1，0).依题意可知点P到点A(0，2)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到(0，2)与P到该抛物线准线的距离的和的最小值减去1，也就是点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线焦点的距离之和的最小值减1，可得－1＝－1.故选C.

7.抛物线y＝x2上一点到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是(B)

A.B.(1，1)

C.D.(2，4)

解析：设抛物线上任一点为(x，y)，则由点到直线的距离公式得d＝，当x＝1时，取得最小值，此时点的坐标为(1，1).故选B.

8.(多选题)点M(1，1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，则a的值可以为(AB)

A.B.－

C.D.－

解析：抛物线y＝ax2的准线方程为y＝－，因为点M(1，1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，所以＝2，解得a＝或a＝－，故选AB.

二、填空题

9.已知点M(1，2)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，则p＝2；点M到抛物线C的焦点的距离是2.

解析：点M(1，2)代入抛物线方程得22＝2p×1，解得p＝2；抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离1－(－1)＝2.

10.已知抛物线Γ：y2＝4x焦点为F，抛物线Γ上的点P满足|PF|＝5，点P的坐标为(4，4)或(4，－4).

解析：设点P的坐标为P(xP，yP)，由已知可得，F(1，0)，|PF|＝xP＋1＝5，xP＝4，代入抛物线方程y2＝4x得yP＝±4，所以点P的坐标为(4，4)或(4，－4).

11.在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2，1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则该抛物线的方程是y2＝5x.

解析：由题意，得线段OA的垂直平分线方程为2x＋y－＝0，则与x轴的交点为F.所以p＝，即抛物线方程为y2＝5x.

三、解答题

12.已知平面上动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P满足的方程.

解：解法一：设点P的坐标为(x，y)，则有＝|x|＋1.将两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|.∴y2＝

∴动点P满足的方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0).

解法二：由题意，动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，由于点F(1，0)到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点适合条件；当x≥0时，题中条件等价于点P到点F(1，0)与点P到直线x＝－1的距离相等，故点P的集合是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝4x.故所求动点P满足的方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0).

13.已知曲线G：y＝及点A，若曲线G上存在相异两点B，C，其到直线l：2x＋1＝0的距离分别为|AB|和|AC|，求|AB|＋|AC|的值.

解：曲线G：y＝，即为半圆M：(x－8)2＋y2＝49(y≥0)，由题意得B，C为半圆M与抛物线y2＝2x的两个交点，由y2＝2x与(x－8)2＋y2＝49(y≥0)联立方程组得x2－14x＋15＝0，方程必有两不等实根，设B(x1，y1)，C(x2，y2).所以|AB|＋|AC|＝x1＋＋x2＋＝14＋1＝15.

14.(多选题)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则抛物线C的方程可能为(AC)

A.y2＝4xB.y2＝8x

C.y2＝16xD.y2＝32x

解析：由题意可知，抛物线C的焦点F，设点A(0，2)，抛物线C上点M(x0，y0)，则，.

因为以MF为直径的圆过点(0，2)，所以＝0，即－8y0＋16＝0，

解得y0＝4，M.由|MF|＝5得＝5.

又p＞0，解得p＝2或p＝8，则抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选AC.

15.若抛物线x2＝16y上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则y0＝2.

解析：抛物线x2＝16y的准线方程为y＝－4，由抛物线的定义知，抛物线x2＝16y上一点(x0，y0)到焦点的距离为y0＋4，∴y0＋4＝3y0，解得y0＝2.

16.动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程.

解：如图，设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D，

作