材料力学教学课件幻灯片一四

返回总目录第11章

变型能法提要：本章主要讨论利用变形能原理解决变形固体在外因作用下的位移计算，其中主要介绍卡氏定理的有关原理和方法，并利用该法计算杆或杆系的位移问题。11.1基本概念任何弹性体在外力作用下都要发生变形，同时外力作用点要产生位移。因此，在弹性体变形过程中外力将沿其作用线方向做功，我们将此功称为外力功。用W表示。当弹性体的变形在弹性范围内时，外力由零缓慢增加，外力功将以能量的形式储存在弹性体内部，通常称为变形能，用U表示。在卸载过程中弹性体有恢复其原状的能力。根据能量守恒定律可知，若不计其他能量损失，弹性体内的变形能在数值上应等于荷载所做的功，即：根据这一原理求解可变形固体的位移和内力的方法称为能量法。

(11.1)

一.轴向拉伸(压缩)杆弹性变形能图11.1(a)所示的受拉直杆，在线弹性范围内，当拉力从零开始增加到最终值时，杆件伸长，与拉力之间的关系为一斜直线(图11.1(b))，外力所做的功的大小可用三角形的面积来表示：(a)(b)图11.1轴向受拉杆外力的功(a)受拉直杆；(b)与关系11.2变形能的计算根据式(11.1)可知，受拉杆的弹性变形能为11.2变形能的计算

(11.2)因，上式可写成

(11.3)二.受扭圆轴的弹性变形能圆轴受扭时(图11.2(a))，在弹性范围内，外力偶矩从0增加到最终值M，则扭转角与M的关系也是一斜直线(图11.2(b))，与拉伸时一样，外力偶矩M所做的功可用图11.2(b)的三角形面积来表示：图11.2(a)所示圆轴任意横截面扭矩为常量11.2变形能的计算

(11.4)相距的两横截面相对转角所以圆轴内储存的变形能：

(11.5)若沿圆轴的扭矩为变量时，圆轴的变形能为

(11.6)11.2变形能的计算杆在渠弯曲略情况武下的帽变形公能纯弯捉曲情鞠况图11请.3所示劝等直元杆，御在两好端受摘到纵对健称平题面内第的集还中力薪偶作纺用而发生救纯弯傲曲，四当外胀力偶黑由零侍逐渐增加涨到最终终值恭时，绞梁的逆两截餐面均产生继转角祖，外叮力偶猪所做烈的功卫为图11对.3梁纯宾弯情膨况下签的变侮形11尤.2变形拥能的乡丰计算其中(1哥1.谨8)(1瓜1.泄7)从而隆杆的般弹性谈变形今能为11浴.2变形枣能的眨计算2.横力怜弯曲颤下杆在础横力副弯曲作下(图11密.4裹(a任))，梁乞的横础截面砌上既浩有弯朴矩又膜有剪祸力，拒一般姥情况穿下，帜弯矩超和剪泼力都僻是随唇截面痒位置舟的不鸽同而挺变化混，都尺是的逢函数挨，弯渡矩和款剪力饥产生馋的位销移分蒸别是填独立放的。因此帽，分摆别计矮算弯虑矩和相剪力浇相对回应的挣变形哨能。在细灿长梁受情况禾下，拣剪切挠产生司的变纪形很犯小，嚷通常使忽略讽不计到，只裤要计榆算弯问曲产汽生的难变形字能即盖可。11报.2变形浴能的掏计算(a铜)蠢(b吉)图11袋.4横力兔弯曲走情况们下的统变形椅图(a航)横力首弯曲创；(b祖)受弯租时的扣微段11上.2变形鼓能的严计算从梁稀内取会出长鹿为锋的微送段(图11液.4券(b线))，其拌左右巷两截遇面上存的弯糟曲分芳别是和关。耳省略葛弯矩睛增量厨后，欺把微摊段看乞作纯托弯曲旷情况握，应巷用公结式(1死1.免9)。全梁想的弯舰曲变气形能亦为(1朋1.先9)如在雁梁各积段内秆，弯墨曲楼由不帜同的或函数触表示咐，上野列积岩分应修分段愈进行竭，然企后再缠求其赤总和药。11改.2变形啊能的坦计算四.弹性税变形带能的厅一般词公式式中包，烈为通广义策力，定在拉巧伸时铅表示虫拉力收，扭突转或矩弯曲近时表顿示为蚀力偶仔矩；抵为广谋义位冻移，楚与广对义力叨相对追应的蕉位移姐。与集听中力伴对应树的是革线位泳移，剩与集兆中力掀偶对使应的保是角吴位移帅。在冠线弹笼性体口的情遣况下蚁，广副义力敲和广俯义位偏移是蜂线性盾关系闪，运植用胡酒克定拴理，蛇上式仰还可猜以写惧成：(1刘1.常10横)(1醒1.秃11无)式中淋，C是杆佩的刚浪度，佳从上辉式可咏以看犹出，政弹性倾变形酒能是传广义伞力或因广义维位移胜的二灶次函故数。11幕.2变形猾能的粉计算(a捡)乞(b晓)撤(c虎)图11碑.5例题11槐.1图悬臂陶梁受苗集中遗力偶间；(b帐)悬臂驴梁受甩集中柱力；(c有)悬臂乓梁受匹集中裂力和周集中经力偶【例11册.1结】试分清别计劣算图11惯.5所示怠各梁招的变遗形能监。分析透：图11慌.5口(a揭)是梁积处在脆纯弯毅状态冈，图11辽.5筒(b畜)、图11察.5法(c软)是梁奇处在泻横力菌弯曲吼状态置，在墓不计灵剪力尺影响遮的情逐况下判，都心可以挥应用羽公式(1哑1.偏10响)进行悔计算到。11贵.2变形蒙能的返计算解：犬各梁侄的变怀形能骑分别辰为11突.2变形恼能的酿计算由上茅面计仅算可液以看您出，,因为叮变形邮能是备力的径二次昏函数裙，求氏弯矩时钥可以哄运用敢叠加漏原理葛，首。骂求弹邪性变湾形能并时，竖则不没能应用叠绢加原慎理，辟这是狼因为粱，肠其中名中测的为泊和崭共同贝作用千时在糠相互哨影响污下所黎做的创功。11子.2变形贷能的垒计算11嘉.3卡止氏棒定菠理应用搞上节住导出从的弹界性变荐形能型公式狮，可固以计陶算杆份件或缓结构右的位桃移，向但只胜限于我单一瓶荷载售作用根，而长且是四荷载越作用丹点上元沿荷事载作愈用方痒向并底与之塌对应甩的位御移。闲如图11邪.5犬(a贯)中，薄若杆火长罪，敲杆的摧刚度冤已知射时，胀可以淋计算挥截面伍的转角，印因为堡，坛而外根力递偶求所做盐的功被为剥，撕由董可架得其结它果与示梁的肥变形概一章会中计径算结冰果一肯致。搁从上需面的附计算览可以未看出鄙，由废于变平形能昏为力叹的函糕数，塑若将划变形见能对捕力求想偏导洪数，求则这表拼明，傲变形狂能对刘力的壮偏导右数等侄于力遇作用虽点在疼力作廉用方较向的洋位移颜。这淡不是俊偶然躺的巧走合，者而是嫩一个送普遍舰规律——卡氏红定理(A.牛Ca集st哈ig负li旱an津ola政w)。卡氏团定理技为：哈若有内个外锁力(广义机力)作用姑于同瓶一弹辅性体挖上，狡则该罗弹性齐体的发变形漠能对尤于任青一外圆力的勉偏导割数，拍等于无该力派的作常用点坟沿该失力作池用方注向的省位移贺。11团.3卡晃氏堆定延理表达嗓式为证明污如下编：设匪作用映于弹拜性体刑上(图11触.6况)，这寇些力眼产生感的相焰应位肚移为碌，在骨变形线过程奔中，胆外力舍所做霜的功畜等于处弹性肯体的围变形僚能，城于是稠变形怠能U为白的函痒数。11滑.3卡择氏婶定庄理(a敬)图11苹.6弹性陶体受n个外江力作炭用11押.3卡液氏竞定朵理给以块上任菠一外丽力霜一江个增牲量英，毒则变店形能裕的相控应增侨量为客，于武是弹慕性体拦的变右形能忙为因为棵变形枪能与拼外力怀的加益载次旺序无原关，落若将孙外力煤的加却载次耻序改封为先绳用，沿轿方向确的位幸移为费，弹阀性体棚的变根形能盘为漂。配后作蚊用芬，鲁这些遭力所临做的雨功为U，则咸弹性蛇体的讨变形螺能仍吹与式(b球)相同矿。但库是在桐作用证时，巧又估做了鞋功(掉)，其揪总的崇变形衡能为11尚.3卡迈氏棋定鸣理(c陷)(b捐)式(c宏)应等鹊于式(b颜)(1遵1.筹12斩)11您.3卡巧氏婆定案理忽略腐二阶巾微量低，得货证：应用灶卡氏裳定理申时，睛是洋广义斜力，难是广韵义位郊移。析在导签出卡铁氏定鞋理时增，变盒形能狱与外笋力作骡用的缝次序晋无关词。当看材料保服从爆胡克杜定理规时，鼓各外漫力引音起的因位移伐很小叙，可便忽略搁其相殊互的钢影响添，变极形能育对力闲的偏桃导数品都是稀以内细力分并量对缠外力盲的偏鼓导数肤形式诸出现荣的。分述摆如下夫。轴向筐拉(压)：11担.3卡和氏裁定绒理扭转芒：(1宣1.听13懒)弯曲惨：当欲纵计算顾没有乌外力扭作用保截面夏处的冬位移屯时，愉可先胸设想唉在该款点沿看欲求腐位移它的方紧向作预用一缝假设学的力(广义间力)，写内出所柳有力(包括)作用惩下的辰变形另能，筑并对残求誓偏导雕数，夺然后塞令蠢＝0，即乎为所锡求。主若计习算结件果为驾正，档表示艰位移岂，与痛方向海相反绪；否骆则相联反。【例11冰.2袋】图11衣.7所示输外伸席梁，店已知况抗弯应刚度家为常旷数，且试求敬跨中家截面唱的竖讨向位坚移。分析只：梁坟上作倍用有羡两种杀荷载屡和，粱先分邀段算猜出梁掉在该炭荷载谊作用牛下的重弯矩捞方程用，再军根据辽卡氏施定理能将弯售矩方爽程对做求偏娃导数气，代俗入式(1世1.紫13祥)。在腥积分宰之前高，可谜将代酿入计辉算，爹其结退果即秒为所盒求。11绪.3卡浮氏驶定侮理(1望1.帮14害)图11矛.7例题11故.2图11逢.3卡抽氏咽定虽理解：元先计饺算支凶座反除力11岂.3卡产氏屋定忆理分段园计算道弯矩花方程榆及其高相应雷导数拉：在AC段：在CB段：在BD段：11魂.3卡斯氏模定筒理负号验表示在位移蜓与作装用方永向相炭反。【例11络.3剪】试求泳图11淋.8伯(a她)所示辨简支矩梁支根座的摩转角装和严跨中C截面中的竖饺向位痕移,已知EI=常数站。11撒.3卡脂氏咬定个理图11劣.8例题11港..屈3图分析且：由当于在斤所求略截面义没有诞相应惹的荷储载，臣为了苦应用蹦卡氏间定理队求该怨截面瞒的位迈移，贸可在秩所求暂截面何处加狠上一货个相代应的爹外力(求转瞎角，裂可在而截面寇加一怠个力忆偶(=瓦0)，图10钩.8救(b尸)所示菌；求磁截面岛竖向拴位移倚，在凉截面刊加一固个集围中力(=芦0)，(图10棕.8恋(c抓)所示)。在喝计算户出相慨应的丙和后雀，代胖入式(1呆1.饲14槽)，再灶令，旦然后焰积分互，结影果即骄为所擦求。解：(1与)求夏，如酷图11额.8略(b绝)所示蝴。11侦.3卡板氏愉定扣理11搬.3卡顺氏攀定队理计算鸡结果喉为负夕，表纪示截壶面位净移与刃假设包方向赶相反眼，即究顺时尝针转趟向。(2鉴)求叹，如涂图11始.8臣(c主)所示烧。支座管反力兼：AC段：11岭.3卡羽氏荡定劲理BC段：计算爷结果枪为正挣，表滴示C截面泳位移隙与假汪设力玻方向筝一致艰，即度位移妄向下吉。11跟.3卡参氏微定怪理【例11闭.4酱】轴线巩为四陶分之扁一圆缺周的费平面思曲杆(图11碎.9祝(a界))，A端固狼定，帝自由解端B作用抵一竖喜直向郊下的毕集中范力叨，EI=常数家。求B点的诱垂直郑和水竹平位破移。(a爪)歪(b浪)图11盗.9例题11或.4图11厚.3卡川氏奥定柿理分析网：因为俩梁上吉作用什的荷娃载以从及跨虎度均献为具伤体数抚值，酸在计闪算出锅弯矩秒方程吧后，散不能赚对具套体的骂荷载订求偏懂导数即。因迎此，侦应将驱荷载局及梁其长的福数值叫用代商数表光示，芳在求爽出各恋段弯辛矩方著程和素相应腹的偏疯导数激后，里利用湖公式(1膜1.纠14背)计算渣出最烘后结芒果，买再将继荷载则和跨浸度的灿数值去代入所，即栽为所膊求。解：究设么，缺如图11帖.1池0(攀b)所示喘。(1卧)支座炭反力懒：11电.3卡炒氏等定缺理(2顾)分段堵写出么，并肤对贱求兔偏导谊数。AC阶段（0<帐x<傻1/滋2）:CB阶段（1/乓2<错x<寸1）:11润.3卡摆氏体定堵理11故.3卡阴氏蓝定巩理CD阶段（1<经x<黄3/饺2）:(3徒)求位唐移疼。图2.幻玉12例2.互4图11丘.3卡持氏僚定米理(2帽)计算B点的句位移够，由院公式(2死.7案)可求畜出BC杆的格伸长败量为BD杆的抹变形类量为计算枣出的局结果棚为负孩值，尾说明卖杆件柜是缩能短的谊。11裙.3卡占氏借定视理假想拍把托南架从仍结点B拆开雅，那临么BC杆伸已长变衬形后停成为啊，BD杆压甜缩变梨形后堡成，倍分别齐以C点和D点为受圆心磁，以CB和DB为半拘径作起弧相沾交于B处，阶该点雪即为西托架雹变形歉后B点的榆位置添。由窗于是涌小变骡形，多和搭是两胀段极掉短的印弧，非因而活可分刃别用BC和BD的垂倾线来洗代替赤，两茧垂线芦的交堪点为另，怖即菊为B点的椅位移还。这效种作深图法把称为炼“切恰线代揭圆弧肯”法刷。现用门解析脆法计柄算位呆移。黑为了帽清楚假起见吼，可市将多缘瑞边形仔放大数，如鼠图2.廊12疫(c巧)所示紫。由雷图可帅知：B点的释水平眼位移血和垂仇直位纯移分鬼别为11捕.3卡停氏备定徐理B点的景总位驳移为与结解构原压尺寸盖相比快很小杆的变脂形称门为小变牙形。在就小变老形的串条件丘下，矮一般很按结林构的遥原有筐几何吨形状脑与尺网寸计景算支活座反躬力和杨内力养，并泪可以或采用应上述泽用切晃线代锻替圆晴弧的伍方法障确定店位移毙，从茂而大龙大简夏化计和算。岁在以门后的蛙学习腥中也但有很忙多地叉方利方用它卖来简僚化计西算。11啊.3卡狸氏能定嫁理11圣.4小内结(1筹)物体忆受到针荷载妹作用员时会欢发生表变形着，在眨荷载资作用旋点即蛾产生放与荷炊载相础应的麦位移桑。由糟于荷超载是崖由零掀逐渐描增加手到最挽终值(静荷难载)，于驴是荷码载便专要做塘功，萄其值鲜等于端荷载密的最行终值期与其坛相应旨位移吊乘积荷的一广半，形即式中始，肆为广滤义力节，唇为广停义位受移。若不际计加姿载过葱程中蜂的能扣量损陪失，仔根据腹能量朽守恒叨原理仅，外输力功泥全部泛转变驱为变敬形能卸而储春存于诸弹性跟体内爬，即这便球建立捏了荷帅载与疏位移猛之间江的关叉系，辰据此蛇可以香研究健物体源的变玩形和饰位移车，即放能量森法。(2雷)应用摇能量闭法计晋算杆族件变到形的胆前提邻是杆车件处邪于线竭弹性执范围谢内。(3洲)变形多能是垂广义资力或疑广义助位移趣的二伶次函透数，黄因此笛变形丢能恒懂为正泉，且薪变形肾能不缘瑞能应岩用叠江加原绕理。(4旅)变形倘能只事与外庆力或挑位移抬的最忍终值符有关茧，而础与加部载的裁程序央无关撒。(5灭)卡氏怕定理立是计肯算位睁移的宜一个计重要叹方法览，表逝达式即为。即变捞形能撇对任汗一外税力阴的偏盼导数糟，等符于力眯沿