【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版）半角模型证全等（解析版）

半角模型证全等1．【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF＝BE+DF．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．【解答】（1）解：如图1，在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG＝AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，∵，∴△AEB≌△CGB（SAS），∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG．∵∠EBF＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝45°，∴∠CBF+∠CBG＝45°．在△EBF与△GBF中，∵，∴△EBF≌△GBF（SAS），∴EF＝GF，∴△DEF的周长＝EF+ED+DF＝AE+CF+DE+DF＝AD+CD＝5+5＝10．2．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：AE+CF＝EF．（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2种情况下，求证：AE+CF＝EF．（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【解答】（1）证明：∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A＝∠C在△ABE与△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∴∠ABE＝∠CBF＝30°，∴AE＝，CF＝，∵∠MBN＝60°，BE＝BF，∴△BEF为等边三角形，∴BE＝BF＝EF，∴AE＝CF＝，∴AE+CF＝EF；（2）证明：如图，将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG，∴BE＝BG，AE＝CG，∠A＝∠BCG，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴点A与点C重合，∵∠A＝∠BCF＝90°，∴∠BCG+∠BCF＝180°，∴点G、C、F三点共线，∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠ABE＝∠CBG，∴∠GBF＝60°，在△GBF与△EBF中，，∴△GBF≌△EBF（SAS），∴FG＝EF，∴EF＝AE+CF；（3）解：不成立，EF＝AE﹣CF，理由如下：如图，将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG，∴AE＝CG，由（2）同理得，点C、F、G三点共线，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴点A与点C重合，∠ABE＝∠CBG，∴BG＝BE，∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝120°，∴∠CBG+∠CBE＝∠GBE＝120°，∵∠MBN＝60°，∴∠GBF＝60°，在△BFG与△BFE中，，∴△BFG≌△BFE（SAS），∴GF＝EF，∴EF＝AE﹣CF．3．（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是2＜AE＜8；则中线AD的取值范围是1＜AD＜4；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，此时：BE+CF＞EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作∠ECF＝70°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE+DF＝EF（填“＞”或“＝”或“＜“）；（4）若在图③的四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的结论仍然成立，则∠BCD＝2a（用含α的代数式表示）.【解答】解：（1）在△ADC与△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝3，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即2＜AE＜8，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4，故答案为：2＜AE＜8；1＜AD＜4；（2）如图，延长FD至点G，使DG＝DF，连接BG，EG，∵点D是BC的中点，∴DB＝DC，∵∠BDG＝∠CDF，DG＝DF，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF，∵ED⊥FD，FD＝GD，∴EF＝EG，在△BEG中，BE+BG＞EG，∴BE+CF＞EF，故答案为：＞；（3）BE+DF＝EF，如图，延长AB至点G，使BG＝DF，连接CG，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBG＝180°，∴∠CBG＝∠D，又∵CB＝CD，BG＝DF，∴△CBG≌△CDF（SAS），∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠DCF+∠BCE＝70°，∴∠BCE+∠BCG＝70°，∴∠ECG＝∠ECF＝70°，又∵CE＝CE，CG＝CF，∴△ECG≌△ECF（SAS），∴EG＝EF，∵BE+BG＝EG，∴BE+DF＝EF，故答案为：＝；（4）由（3）同理可得△CBG≌△CDF，∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，若BE+DF＝EF，则EG＝EF，∴△ECF≌△ECG（SSS），∴∠ECG＝∠ECF，∴∠BCD＝2∠ECF＝2α，故答案为：2α．4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE+FD．【解答】证明：延长CB至M，使BM＝FD，连接AM，如图所示：∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABM+∠ABC＝180°，∴∠ABM＝∠D，在△ABM与△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠BAM＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD＝∠FAE，∴∠BAM+∠BAE＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF，在△AME与△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS），∴EF＝ME，∵ME＝BE+BM，∴EF＝BE+FD．5．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得线段BE、EF、FD之间的数量关系为EF＝BE+DF．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段BE、EF、FD之间存在什么数量关系，为什么？（3）如图3，点A在点O的北偏西30°处，点B在点O的南偏东70°处，且AO＝BO，点A沿正东方向移动249米到达E处，点B沿北偏东50°方向移动334米到达点F处，从点O观测到E、F之间的夹角为70°，根据（2）的结论求E、F之间的距离．【解答】解：（1）EF＝BE+DF；证明：如图1，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF；（2）EF＝BE+DF仍然成立．证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝20°+90°+（90°﹣60°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣20°）+（60°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+BF成立，即EF＝583米．6．阅读下面材料：小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．小辉发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．请回答：在图2中，∠FCE的度数是90°，DE的长为．参考小辉思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．【解答】解：如图2，∵∠ACF＝∠B＝45°，∴∠FCE＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，在Rt△EFC中，∵CF＝BD＝3，CE＝1，∴EF＝＝＝，∴DE＝，故答案为90°；；如图3，猜想：EF＝BE+FD．理由如下：如图，将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG，∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADG+∠ADC＝180°，即点F，D，G在同一条直线上，∵∠DAG＝∠BAE，∴∠GAE＝∠BAD，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠EAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+FD＝BE+DF，∴EF＝BE+FD．7．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点且∠EAF＝45°．猜测线段EF、BE、FD三者存在哪种数量关系？直接写出结论．（不用证明）结论：EF＝BE+FD．（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半．（1）中猜测的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；【解答】解：（1）延长CB到G，使BG＝FD，∵∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF，∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAE，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF．故答案为：EF＝BE+FD；（2）结论成立，应为EF＝BE+DF，在CD的延长线上截取DG＝BE，（如图）∵BE＝DG，AB＝AD，∠B＝∠ADG＝90°，∴△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠FAG，AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AFG（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG＝EB+DF．8．“截长补短法”证明线段的和差问题：先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．背景材料：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是EF＝BE+FD．探索问题：（2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程．【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．9．（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．【解答】证明：（1）EF2＝BE2+CF2，理由如下：如图（1）延长ED到G，使DG＝ED，连接CG，FG，在△DCG与△DBE中，，∴△DCG≌△DBE（SAS），∴DG＝DE，CG＝BE，∠B＝∠DCG，又∵DE⊥DF，∴FD垂直平分线段EG，∴FG＝FE，∵∠A＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠FCG＝90°，在△CFG中，CG2+CF2＝FG2，∴EF2＝BE2+CF2；（2）如图（2），结论：EF＝EB+FC，理由如下：延长AB到M，使BM＝CF，∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°，∴∠MBD＝∠C，在△BDM和△CDF中，，∴△BDM≌△CDF（SAS），∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF，在△DEM和△DEF中，，∴△DEM≌△DEF（SAS），∴EF＝EM，∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF．10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE+FD，若∠EAF＝55°，求∠BAD的度数．【解答】解：延长FD到G使DG＝BE，连接AG，如图，∵∠B+∠D＝180°，∠ADG+∠D＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠GAD，∵EF＝BE+FD，∴EF＝DG+DF＝GF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠FAG＝55°，∵∠BAE＝∠GAD，∴∠BAD＝∠EAG＝2∠EAF＝110°．11．如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．【解答】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．在△AEG和△AEF中，，∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．12．在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，现将一个30°角的顶点落在点A处．（1）如图①，当该角的两边分别与BC、CD边相交于E、F时．求证：EF＝BE+DF；（2）现在将该角绕点A进行旋转，其两边分别与BC、CD边的延长线相交于点F，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，试探究线段BE与DF之间的等量关系，并加以证明．（利用图②进行探索）【解答】解：（1）如图①，延长CB到H点，使BH＝DF，连接AH，∵∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，∴∠D+∠B＝180°，∵∠ABE+∠ABH＝180°，∴∠ABH＝∠D，∵AD＝AB，BH＝DF，∴在△ABH和△ADF中，，∴△ABH≌△ADF（SAS），∴AH＝AF，∠HAB＝∠FAD，∵∠DAB＝60°，∠FAE＝30°，∴∠FAD+∠BAE＝30°，∴∠BAE+∠HAB＝30°，即∠HAE＝30°，在△HAE和△EAF中，，∴△HAE≌△FAE（SAS），∴HE＝EF，∵HE＝HB+BE＝DF+BE，∴EF＝BE+DF；（2）（1）中的结论不成立，如图②，在BC上截取BH＝DF，在△ABH与△ADF中，，∴△ABH≌△ADF，∴∠BAH＝∠DAF，AH＝AF，∴∠EAF＝30°，∴∠BAH+∠EAD＝30°，∵∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°，∴∠HAE＝30°，在△HAE与△FAE中，，∴△HAE≌△FAE，∴HE＝EF，∵BE＝BH+HE，∴BE＝DF+EF．13．【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学的