【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版） 分式方程增根和无解问题（解析版）

分式方程增根和无解问题1．关于未知数x的分式方程：无解，求a的值．【答案】【分析】首先解方程得，解得，令求解即可．【详解】解：去分母得整理得解．因为此分式方程无解，所以为此分式方程的增根，所以得．【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，理解增根概念是解题的关键．2．当k为何值时，方程+＝2有增根？【答案】【分析】将分式方程去分母为：x﹣2﹣k＝2（x﹣3），若分式方程有增根，则x﹣3＝0，即x＝3，将x＝3代入整式方程即可求出结果．【详解】解：分式方程变形得：﹣＝2，去分母得：x﹣2﹣k＝2（x﹣3），∵分式方程有增根，∴x﹣3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程得：k＝1．∴当k=1时，方程有增根．【点睛】本题主要考查的是分式方程中增根的运算，掌握其运算方法是解题的关键．3．当k为何值时，关于x的方程产生增根？【答案】k＝1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值．【详解】最简公分母x+1＝0，即x＝－1；将分式化为整式方程得：k+x+1=1，将x＝－1代入得k＝1．【点睛】解此类题目的步骤是：（1）判断增根的值；（2）将分式方程化为整式方程；（3）将增根代入整式方程求解．4．已知关于x的方程无解，求m的值．【答案】－3或1【分析】根据分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【详解】解：原方程可以化为,由于方程无解，故有两种情况;(1)若整式方程无实根,则且(2)若整式方程的根是原方程的增根,则,经检验,是方程的解.综上所述,或.【点睛】本题考查分式方程有意义的条件、整式方程的解法，其中涉及分类讨论的数学思想方法，解分式方程注意验根。5．解关于x的方程﹣＝时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值．【答案】﹣5或．【分析】先两边同乘以去分母，将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出x的值，然后代入整式方程求解即可得．【详解】两边同乘以去分母，得整理得由增根的定义得或当时，，解得当时，，解得综上，所有满足条件的k的值为或．【点睛】本题考查了解分式方程、增根的定义，掌握分式方程的解法和增根的定义是解题关键．6．当a为何值时，关于x的方程无解？【答案】或1．【分析】先把分式方程化成整式方程得出（a+2）x=3，根据等式得出a=-2，原方程无解，再根据当x=1或x=0时，分式方程的分母等于0，即整式方程的解释分式方程的增根，代入求出a即可．【详解】把分式方程化成整式方程得出，根据等式性质得出，原方程无解．再根据当或时，分式方程的分母等于0，即整式方程的解是分式方程的增根，代入求得．【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的求解方法.7．已知方程有增根x=1,求k的值.【答案】3【详解】试题分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+1）（x-1）=0，得到x=1或-1，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．试题解析：方程两边都乘（x+1）（x-1），得2（x-1）+k（x+1）=6∵原方程有增根x=1，∴当x=1时，k=3，故k的值是3．8．若关于x的分式方程无解，求k的值．【答案】或12【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到，求出，代入整式方程即可求出k的值．【详解】解：分式方程两边同乘，去分母得：，由分式方程无解得到，或，即或，代入整式方程得：或12．【点睛】此题考查了分式方程的无解问题，解决本题的关键是将分式方程去分母转化为整式方程．9．若关于x的分式方程无解，求m的值．【答案】m=-4或2或-1【分析】去分母，整理得（m+1）x=-6，根据分式方程无解可知增根分别为x=2或x=-2或m+1=0，分别求解即可．【详解】解：去分母，得2（x+2）+mx=x-2，整理，得（m+1）x=-6，∵关于x的分式方程无解，∴当x=2时，得2（m+1）=-6，解得m=-4，当x=-2时，得-2（m+1）=-6，解得m=2，当m+1=0时，m=-1，∴m=-4或2或-1．【点睛】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键．10．＝有增根，求所有可能的t之和．【答案】3【分析】根据根据有增根，说明0或﹣1可能是方程的增根，将分式方程化为整式方程可得（x+1）2+x2＝x+t，进一步求得t的所有可能值，相加即可求解．【详解】解：∵有增根，∴说明0或﹣1可能是方程的增根，去分母得：（x+1）2+x2＝x+t，代入x＝0，有t＝1；代入x＝﹣1，有t＝2．故所有可能的t之和为3．【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．11．若关于x的分式方程有增根，求a的值．【答案】1【分析】将分式方程化为整式方程，由方程有增根，可知，则有，求出即可．【详解】解：方程两边都乘，得即①，∵有增根，∴，即，把代入①，得．所以的值是．【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解方程增根的定义是解题的关键．12．若关于x的方程﹣＝无解，求实数m的值．【答案】或或【分析】方程去分母转化为整式方程，求出的表达式，根据分式方程无解可得或或的表达式中分母为0，再代入的表达式中即可求出的值．【详解】解：方程两边同时乘以，得：，解得：，方程无解，，或，当时，，解得：，当时，，解得：，当时，方程也无解，解得：，综上，的值为或或．【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的特点，并能分情况进行讨论是解题的关键．13．若关于的分式方程无解但有增根，求的值．【答案】的值为或．【分析】将分式方程变为整式方程，然后根据增根的定义将分式方程的增根代入求值即可．【详解】解：方程同乘以约去分母，得∵原分式方程无解但有增根．∴，即或．解得或．当时，；当时，．∴的值为或．【点睛】此题考查的是根据分式方程有增根，求参数的值，掌握增根的定义和分式方程的解法是解决此题的关键．14．如果解关于的方程会产生增根，求的值.【答案】k=2【分析】首先根据分式方程的解法求出方程的解，然后根据增根求出k的值．【详解】两边同时乘以(x－2)可得：x=2(x－2)+k，解得：x=4－k，∵方程有增根，

∴x=2，即4－k=2，解得：k=2．【点睛】本题主要考查的是分式方程有增根的情况，属于基础题型．解决这种问题时，首先我们将k看作已知数，求出方程的解，然后根据解为增根得出答案．15．若关于x的分式方程无解，求m的值．【答案】10【详解】试题分析：先把分式方程去分母得，再根据方程无解可得，最后把代入方程求解即可.方程去分母得由分式方程无解可得所以，解得．考点：分式方程的增根点评：解题的关键是熟练掌握使分式方程的最简公分母等于0的根就是分式方程的增根.16．若关于x的方程无解，求m的值．【答案】m的值或或【分析】将原分式方程去分母转换为整式方程，先令一元一次方程无解得出的值，然后表示出的值，根据原方程无解可得，分别代入计算即可得出结果．【详解】解：方程两边同时乘以，得：，整理得：，当时，一元一次方程无解，此时，当时，，∵关于x的方程无解，∴，当时，解得：；当时，解得：；综上：m的值或或．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，分式方程无解包括转换为整式方程时一元一次方程无解和原分式方程的分母为两种情况，注意分类讨论．17．方程会产生增根；求m的值．【答案】【分析】原分式方程化为整式方程，根据方程有增根，得到，将其代入整式方程即可求解．【详解】解：去分母，得：，去括号，得：，移项合并，得，∵原方程有增根，∴，即，把代入整式方程，解得，∴原方程有增根时，．【点睛】本题考查了分式方程的增根，步骤如下：①分式方程化为整式；②最简公分母为0确定增根；③将增根代入整式方程求解，熟练掌握步骤是解题关键．18．已知关于x的分式方程(1)若解得方程有增根，且增根为x=-2，求m的值(2)若方程无解，求m的值【答案】(1)(2)或或【分析】（1）将分式方程化为整式方程，将增根代入求解即可；（2）将分式方程化为整式方程，根据无解的两种情况，一是有增根，二是整式方程无解进行计算即可．（1）解：方程两边同乘得：移项合并同类项得：将代入得：解得：（2）解：由（1）可知：∵方程无解：①整式方程无解：，解得：②分式方程有增根：或x+2=0，解得：当时：当时：，解得：故当或或时，方程无解．【点睛】本题考查根据分式方程的解的情况判断参数的值，注意分式方程无解包括两种情况，一种是整式方程无解，一种是分式方程有增根．19．若分式方程有增根，求k的值．【答案】【分析】分式两边同乘以最简公分母可得：，再将增根代入式子即可求出k的值．【详解】解：∵分式方程的最简公分母为，分式两边同乘以最简公分母可得：∵分式方程有增根，将其代入上式可得：，解之得：．【点睛】本题考查分式方程根的情况，利用分式方程有增根求参数值，解题的关键是将增根代入去分母之后的式子进行求解．20．已知关于x的分式方程．(1)若分式方程的根是，求a的值；(2)若分式方程有增根，求a的值；(3)若分式方程无解；求a的值的．【答案】(1)1(2)-2(3)3或-2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，（1）把x=5代入整式方程求出a的值即可；（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出a的值即可；（3）分a-3=0与a-3≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．(1)去分母得，x（x+a）-5（x-2）=x（x-2），整理得：把x=5代入得，，∴a=1；(2)由分式方程有增根，得到x（x-2）=0，解得：x=2或x=0，把x=2代入整式方程得：a=-2；把x=0代入整式方程得：a的值不存在，∴分式方程有增根，a=-2(3)化简整式方程得：（a-3）x=-10，当a-3=0时，该方程无解，此时a=3；当a-3≠0时，要使原方程无解，必须为分式方程增根，由（2）得：a=-2，综上，a的值为3或-2．【点睛】此题考查了分式方程的解和增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．21．（1）若分式方程有增根，求值；（2）若分式方程有增根，求的值．【答案】（1）或；（2）【分析】（1）首先把它化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值，代入求解即可；（2）首先把它化成整式方程，然后代入求解即可；【详解】解：（1）方程两边同乘，得．∴

．∴

．由题意知增根为或，∴

或．∴

或．（2）方程两边同乘，得．∴

．∴

．∵

增根为，∴

．∴

．【点睛】本题主要考查了分式方程增根的有关计算，准确计算是解题的关键．22．已知关于x的分式方程无解，关于y的不等式组的整数解有且仅有3个，求n的取值范围．【答案】【分析】先由分式方程无解求出m的值，代入不等式组，求出不等式组的解集，根据整数解有且仅有3个，列出不等式，即可求解．【详解】解：分式方程转化为整式方程得：，∴x＝m+1，∵原方程无解，∴，∴，∴，∴m＝2，∴不等式组为，解得，∵不等式组的整数解有且仅有3个，∴，∴．【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式组的解，解题的关键是能够根据分式方程无解求出m的值，根据不等式组只有3个整数解列出不等式．23．已知关于的分式方程．（1）若方程的增根为，求的值；（2）若方程有增根，求的值；（3）若方程无解，求的值．【答案】（1）-4；（2）；（3）或．【分析】（1）先去分母，然后根据方程的增根进行求解即可；（2）若原分式方程有增根，则，然后代入求解即可；（3）由（2）及题意可直接进行求解．【详解】解：（1）去分母得：整理，得．若增根为，则．得；（2）若原分式方程有增根，则．所以或．当时，得．当时，得．所以若原分式方程有增根，则．（3）由（2）知，当时，原分式方程有增根，即无解；当时，方程无解．综上知，若原分式方程无解，则或．【点睛】本题主要考查分式方程的增根及无解，熟练掌握分式方程增根及无解的问题是解题的关键．24．关于x的方程有增根，求的值．【答案】【分析】根据题意关于x的方程有增根，得到x的值为2或-2，代入求出k的值即可．【详解】解：去分母，得，所以，因为原方程的增根可能是2或-2，当时，=2，此时无解，当时，，解得，所以当时，原方程有增根．【点睛】考查分式方程的增根的知识，学生必须熟练掌握方程的增根的定义，并利用增根定义进行解题求出参数的值是本题解题的关键．25．若关于x的方程无解，求a的值?【答案】或或．【分析】方程可化为方程，利用方程无解，求a的值．【详解】解：方程可化为方程，∴−1−2x=ax+2，把1代入可得a=−5,2代入可得a=，此时方程无解；又a=−2时方程无解，∴a=−5或，或−2，【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的化简.26．已知关于x的方程有增根，求m的值．【答案】m＝－3或5时．【分析】根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x（x－1）＝0，所以增根是x＝0或1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．【详解】解：方程两边都乘x(x－1)，得3(x－1)＋6x＝x＋m，∵原方程有增根，∴最简公分母x(x－1)＝0，解得x＝0或1，当x＝0时，m＝－3；当x＝1时，m＝5.故当m＝－3或5时，原方程有增根．【点睛】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.27．阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行．(1)请回答：的说法是正确的，正确的理由是．完成下列问题：(2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；(3)若关于的方程无解，求的值．【答案】(1)小聪，分式的分母不能为0；(2)且；(3)或．【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出的取值范围；（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围．（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0∴小聪说得对，分式的分母不能为0