线性二次型的最优控制课件

第5章线性二次型的最优控制本章主要内容：5.1线性二次型问题5.2状态调节器

5.3输出调节器5.4跟踪器线性二次型问题的特点（1）最优解可写成统一的解析表达式，实现求解过程规范化（2）可以兼顾系统的性能指标（快速性、准确性、稳定性、灵敏度）第5章线性二次型的最优控制本章主要内容：线性二次型问题的5.1线性二次型问题线性二次性问题的提法：设线性时变系统的状态方程为

假设控制向量不受约束，用表示期望输出，则误差向量为正定二次型半正定二次型实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值>0（>=0)。加权矩阵总可化为对称形式。求最优控制，使下列二次型性能指标最小。5.1线性二次型问题线性二次性问题的提法：假设控制向性能指标的物理含义：加权矩阵的意义：（1）F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可根据各分量的重要性灵活选取。（2）采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况。例如：

Q(t)可开始取值小，而后取值大性能指标的物理含义：加权矩阵的意义：线性二次型问题的本质：用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。

线性二次型问题的三种重要情形：

线性二次型问题的本质：线性二次型问题的三种重要情形：5.2状态调节器问题设线性时变系统的状态方程为

假设控制向量不受约束，求最优控制，使系统的二次型性能指标取极小值。5.2.1有限时间状态调节器问题物理意义：以较小的控制能量为代价，使状态保持在零值附近。

5.2状态调节器问题设线性时变系统的状态方程为解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式因控制不受约束，故沿最优轨线有：（R(t)正定，保证其逆阵的存在。）规范方程组：写成矩阵形式：其解为：下面思路：确定与的关系，带入（5-6）形成状态反馈解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式因控制不受约束，故沿横截条件给出了终端时刻二者的关系：即为了与（5-10）建立联系，将（5-9）写成向终端转移形式：（5-13）-（5-12）*F可得横截条件给出了终端时刻二者的关系：即为了与（5-10）建立联可实现最优

线性反馈控制下面思路：求解P(t),但直接利用（5-16）求解，涉及矩阵求逆，运算量大可实现最优

线性反馈控制下面思路：（5-17）对时间求导2.应用其性质求解p(t)（5-20）与（5-19）相等，可得黎卡提方程（Riccati)边界条件：

（5-17）对时间求导2.应用其性质求解p(t)（5-20）还可进一步证明，最优性能指标为：黎卡提方程求解问题：（1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分方程组。（2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值解。还可进一步证明，最优性能指标为：黎卡提方程求解问题：（1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F,Q,R3.状态调节器的设计步骤（2）求解黎卡提微分方程，求得矩阵P(t)（3）求反馈增益矩阵K(t)及最优控制u*(t)（4）求解最优轨线x*(t)（5）计算性能指标最优值（1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F,Q,R3.例[5-1]已知一阶系统的微分方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：二次型性能指标为：其中p(t)为黎卡提方程的解最优轨为如下时变一阶微分方程的解(可得出解析解）例[5-1]已知一阶系统的微分方程为求使性能指标为极小值时的利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解）文件名：dfun1.matfunctiondy=dfun1(t,y)dy=zeros(1,1);%acolumnvectora=-1;q=1;r=1;dy(1)=-2*a*y(1)+y(1)^2-q;利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解）文件名：dfun利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解）文件名：cal_p.mat(主程序）options=odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4);f=0;%initialvaluesol=ode45(@dfun1,[10],f,options);x=linspace(1,0,100);y=deval(sol,x);plot(x,y);disp(y(100));%p(t0)=y(100)利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解）文件名：cal_利用matlab进行最优控制系统仿真利用matlab进行线性二次型的最优控制ppt课件线性二次型的最优控制ppt课件线性二次型的最优控制ppt课件设线性定常系统的状态方程为

假设控制向量不受约束，求最优控制，使系统的二次型性能指标取极小值。5.2.1无限时间状态调节器问题说明：1）要求系统完全能控。2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应设线性定常系统的状态方程为假设控制最优轨线满足下列线性定常齐次方程：性能指标最优值可以证明：

P为正定常数矩阵，满足下列黎卡提矩阵代数方程。可以证明：线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统，是渐近稳定的。最优轨线满足下列线性定常齐次方程：性能指标最优值可以例[5-2]已知二阶系统的状态方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：化为标准矩阵形式二次型性能指标为：验证系统能控性例[5-2]已知二阶系统的状态方程为求使性能指标为极小值时的展开整理得到三个代数方程

P满足下列黎卡提矩阵代数方程：系统完全能控，且Q,R为正定对称矩阵，故最优控制存在且唯一解之利用矩阵P正定的性质展开整理得到三个代数方程P满足下列黎卡提矩阵代数方程：系与给定条件矛盾，故假设不成立下面用反证法证明不是所求的根最优控制为：利用矩阵P正定的性质与给定条件矛盾，故假设最优状态调节器闭环系统结构图闭环系统传递函数闭环极点为

a>2,实根，过阻尼a<2,复根，衰减震荡最优状态调节器闭环系统结构图闭环系统传递函数闭环利用matlab计算和仿真A=[01;00]B=[0;1]a=2b=1Q=[1b;ba]R=1K=lqr(A,B,Q,R,0)利用matlab计算和仿真A=[01;线性二次型的最优控制ppt课件5.3输出调节器5.2.1有限时间输出调节器问题设线性时变系统的状态方程为

假设控制向量不受约束，求最优控制，使下列二次型性能指标最小。

物理意义：以较小的控制能量为代价，使输出保持在零值附近。

根据系统能观条件，输出调节器问题可转化为状态调节器问题

5.3输出调节器5.2.1有限时间输出调节器问题设将（5-29）代入（5-30）

若是半正定的，则转化为状态调节器问题。最优控制为：可以证明，如果系统完全可观测，则是半正定的。将（5-29）代入（5-30）若

有限时间最优输出调节器系统结构图。说明：（1）仍然是状态反馈，而不是输出反馈，说明构成最优控制系统需要全部信息。（2）从工程上讲，x(t)是通过y(t)观测出来的，所以控制的先决条件是，受控系统应是可观测的。有限时间最优输出调节器系统结构图。说明：5.2.2无限时间输出调节器问题设线性定常系统的状态方程为

假设控制向量不受约束，求最优控制，使下列二次型性能指标最小。

与无限时间状态调节器问题类似，最优控制为：

5.2.2无限时间输出调节器问题设线性定常系统的状态例[5-3]已知二阶系统的状态方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：化为标准矩阵形式二次型性能指标为：验证系统能控性验证系统能观性例[5-3]已知二阶系统的状态方程为求使性能指标为极小值时的展开整理得到三个代数方程

P满足下列黎卡提矩阵代数方程：系统完全能控且完全能观，故最优控制为：解之利用矩阵P正定的性质展开整理得到三个代数方程P满足下列黎卡提矩阵代数方程：系闭环传递函数为：最优控制系统的结构图：说明：加权系数r的取值，只影响闭环系统的增益，阻尼系数不变闭环传递函数为：最优控制系统的结构图：说明：加权系数r的利用matlab计算和仿真A=[01;00]B=[0;1]C=[10]D=0sys=ss(A,B,C,D)Q=1R=1K=lqry(sys,Q,R,0)利用matlab计算和仿真A=[01;线性二次型的最优控制ppt课件5.4跟踪器设线性时变系统的状态方程为（系统完全可观测）

假设控制向量不受约束，用表示期望输出，则误差向量为求最优控制，使下列二次型性能指标最小。物理意义：以较小的控制能量为代价，使误差保持在零值附近。

5.4.1线性时变系统的跟踪问题5.4跟踪器设线性时变系统的状态方程为（系统完全可观测）解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式规范方程组：写成矩阵形式：因控制不受约束，故沿最优轨线有：为非齐次线性时变微分方程，其中右边第二项起着驱动函数的作用。解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式规范方程组：写成矩阵横截条件给出了终端时刻二者的关系：将（5-42）代入（5-41），并化简整理，可得：其解为：横截条件给出了终端时刻二者的关系：将（5-42）代入（5-4（5-43）对时间求导2.应用系统特性求解p(t)，g(t)（5-45）与（5-46）相等，可得（5-43）对时间求导2.应用系统特性求解p(t)，g(t)边界条件：对所有均成立，推出：边界条件：对所有均成立，推出：综上所述，跟踪问题的最优控制规律如下：

最优跟踪系统反馈结构与最优输出调节器反馈结构完全相同，与预期输出无关。

综上所述，跟踪问题的最优控制规律如下：最优跟踪系统反馈结构最优跟踪系统与最优输出调节器系统的本质差异，反映在上。互为负的转置关系（伴随矩阵）由（5-54）可知，为了求得，必须在控制过程开始之前知道全部的信息。与有关，则最优控制的现时值也要依赖于预期输出的全部未来值。关键在于掌握

变化规律的方法：预估，随机处理（平均最优）最优跟踪系统与最优输出调节器系统的本质差异，反映在最优跟踪系统结构图伴随矩阵最优跟踪系统结构图伴随矩阵设线性定常系统的状态方程为（系统完全可观、可控）

控制向量不受约束，用表示期望输出，则误差向量为求最优控制，使下列二次型性能指标最小。5.4.2线性定常系统的跟踪问题设线性定常系统的状态方程为（系统完全可观、可控）当足够大且为有限值时，可得出如下近似结果：线性定常最优跟踪系统结构图当足够大且为有限值时，可得出如下近似结果：线性定常例[5-4]已知一阶系统的状态方程：求使性能指标为极小值时的最优控制。解：二次型性能指标为：其中p(t)，g(t)为下列方程的解：例[5-4]已知一阶系统的状态方程：求使性能指标为极小值时的线性二次型的最优控制ppt课件线性二次型的最优控制ppt课件第5章结束语研究对象：线性系统在二次型性能