2019年高考全国1卷理科数学试题

2019年高考全国1卷理科数学试题2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）第I卷（选择题）一、单选题1.已知集合$M=\{x|-4<x<2\}$，$N=\{x|x-\frac{x}{x-6}<0\}$，则$M\capN=\{x|-4<x<3\}$。2.设复数$z$满足$z-i=1$，$z$在复平面内对应的点为$(x,y)$，则$(x+1)+y=1$。3.已知$a=\log_20.2$，$b=2$，$c=0.2$，则$c<a<b$。4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是$\frac{5-\sqrt{5}}{2}\approx0.618$，称为黄金分割比例。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，且头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是175cm。5.函数$f(x)=\frac{\sinx+x}{2\cosx+x}$在$[-\pi,\pi]$的图像大致为：（图略）6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是$\frac{11}{32}$。（图略）7.已知非零向量$\vec{a}$，$\vec{b}$满足$\vec{a}=2\vec{b}$，且$(\vec{a}-\vec{b})\perp\vec{b}$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为$\frac{\pi}{6}$。8.如图是求$2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{A}}}$的程序框图，图中空白框中应填入$A=1+\frac{1}{2A}$。（图略）9.记$S_n$为等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和。已知$S_4=10$，$a_5=5$，则$a_n=2n-5$。10.已知椭圆$C$的焦点为$F_1(-1,0)$，$F_2(1,0)$，过$F_2$的直线与$C$交于$A$，$B$两点。若$|AF_1|\cdot|F_2B|=|AB|\cdot|BF_1|=2$，则$C$的方程为$x^2+4y^2=4$。本题主要考查利用排列组合计算古典概型问题和向量计算，需要注意一些细节问题。1.由题可知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有2^6种情况，其中6爻中恰有3个阳爻的情况有C(3,6)种，即从6个爻中选择3个阳爻的组合数。因此，该重卦恰有3个阳爻的概率为C(3,6)/2^6=27/64。因此，答案为A。2.对于向量计算问题，首先需要根据向量的性质得出向量的数量积与其模的关系，然后再利用向量夹角公式计算出向量夹角。因为(a-b)与b垂直，所以它们的数量积为0，即(a-b)·b=0。移项可得a·b=b^2。因此，|a|·|b|·cosθ=a·b/|b|^2=2/3，所以cosθ=2/3，θ=arccos(2/3)。因此，答案为B。3.对于程序框图问题，需要认真分析程序的结构特征和框图的结构，然后根据题目要求进行计算。根据程序框图可知，当k≤2时，执行循环体，即A=1/(2+A)，然后k=k+1。当k>2时，输出A的值。因此，程序的输出结果为A=1/(2+1/(2+1/2))=5/7。因此，答案为A。4.对于等差数列问题，需要掌握等差数列通项公式和前n项和公式。根据等差数列的通项公式可知，a5=a1+4d，其中d为公差。因此，a5=-7+4×(-2)=-15。根据等差数列的前n项和公式可知，Sn=n(a1+an)/2。因此，S5=5(-7+(-15))/2=-55。因此，答案为A。本题考查等差数列的性质，需要运用等差数列通项公式和前n项和公式。首先根据题意列出方程：$a_n=a_1+(n-1)d$，$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$。将题目中给出的$a_4=1$和$S_4=12$代入方程中，得到：$$\begin{cases}a_1+3d=1\\2a_1+3d=6\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases}a_1=5\\d=-2\end{cases}$$因此，该等差数列的通项公式为$a_n=2n-5$。根据通项公式，$a_{20}=35$，所以选项C正确。【点睛】本题考查的是等差数列的基本概念和公式，需要熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，能够灵活运用求解各种问题。同时，解题过程中需要注意列方程、解方程的能力。化简函数$f(x)=2\sinx$，研究它的性质从而得出正确答案。【详解】$f(-x)=2\sin(-x)=-2\sinx=-f(x)$，因此$f(x)$为奇函数，故①错误。当$-\pi<x<0$时，$f(x)=-2\sinx$，它在区间$[-\pi,0]$单调递减，故②正确。当$0\leqx\leq\pi$时，$f(x)=2\sinx$，它有一个零点：$0$，故$f(x)$在$[0,\pi]$有一个零点：$0$，故③正确。当$x\in[2k\pi,2k\pi+\pi]$，$k\in\mathbb{N}^*$时，$f(x)=2\sinx$；当$x\in[2k\pi+\pi,2k\pi+2\pi]$，$k\in\mathbb{N}^*$时，$f(x)=0$。又$f(x)$为偶函数，因此$f(x)$的最大值为$2$，故④正确。综上所述，②③④正确，故选$\textbf{B}$。【点睛】画出函数$f(x)=2\sinx$的图象，由图象可得②③④正确，故选$\textbf{B}$。12．D【解析】【分析】先证得$PB\perp$平面$PAC$，再求得$PA=PB=PC=\sqrt{3}$，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解。【详解】解法一：由于$PA=PB=PC=\sqrt{3}$，$\triangleABC$为边长为$2$的等边三角形，$P-ABC$为正三棱锥，因此$PB\perpAC$。又$E$、$F$分别为$PA$、$AB$的中点，$EF\parallelPB$，$EF\perpAC$，$EF\perpCE$，因此$\anglePAB=90^\circ$，$\trianglePAB$为直角三角形，$\thereforePA=PB=PC=\sqrt{3}$，$AC=C$，$EF\perp$平面$PAC$，$PB\perp$平面$PAC$，$\thereforeP-ABC$为正方体的一部分，$2R=2\sqrt{3}$，即$R=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\thereforeV=\dfrac{4}{3}\piR^3=6\pi$，故选$\textbf{D}$。解法二：设$PA=PB=PC=2x$，$E$、$F$分别为$PA$、$AB$的中点，$EF\parallelPB$，且$EF=\dfrac{1}{2}PB=x$，$\triangleABC$为边长为$2$的等边三角形，$CF=3$，$\angleCEF=90^\circ$，$\thereforeCE=3-x$，$AE=PA=x$，$\triangleAEC$中余弦定理$\cos\angleEAC=\dfrac{x^2+4-(3-x)^2}{2\times2\timesx}=\dfrac{2x^2-5}{4x}$，作$PD\perpAC$于$D$，$PA=PC$，$AD=\dfrac{1}{2}AC=\sqrt{3}$，$\therefore\cos\angleEAC=\dfrac{AD}{PA}=\dfrac{\sqrt{3}}{2x}$，$\therefore2x^2-5=2\sqrt{3}x$，$\thereforex^2=\dfrac{3}{4}$，$\thereforex=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\thereforePA=PB=PC=\sqrt{3}$，$AB=BC=AC=2$，$\thereforePA,PB,PC$两两垂直，$\therefore2R=2\sqrt{3}$，$\thereforeR=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\thereforeV=\dfrac{4}{3}\piR^3=6\pi$，故选$\textbf{D}$。2.改写每段话，修正格式错误。如图，由F得F1A=AB。又OF1=OF2，得OA是三角形F1F2B的中位线，即1A=AB，BF2//OA，BF2=2OA。由F1BF2B=，得F1B⊥F2B，OA⊥FA，则OB=OF1，有∠AOB=∠AOF1。又OA与OB都是渐近线，得∠BOF2=∠AOF1=∠BOA=60。又渐近线OB的斜率为b/a=tan60=√3，所以该双曲线的离心率为e=√(1+(b/a)^2)=√2。解析：本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养。采取几何法，利用数形结合思想解题。(1)利用正弦定理化简已知边角关系式可得：b^2+c^2-a^2=bc，从而可整理出cosA，根据A∈(0,π)可求得结果；(2)利用正弦定理可得2sinA+sinB=2sinC，利用2a+b=2c，由正弦定理得：2sinA+sinB=2sinC。又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，A=π/3。结合同角三角函数关系解方程可求得结果。(1)式化简为sin^2B+sin^2C-sin^2A=sinBsinC。由正弦定理可得：b^2+c^2-a^2=bc。整理可得cosA=b^2+c^2-a^2/2bc，因为A∈(0,π)，可求得结果。(2)由正弦定理可得sinA/a=sinB/b=sinC/c=k，则2ak=k(b+c)，即2a=b+c。代入2sinA+sinB=2sinC中，得2k√(1-k^2)+k=2√(1-k^2)，解得k=√3/2。代回原式，可求得sinC=2√3/3，cosC=1/3。本题考查利用三角形中位线、向量法解几何问题，涉及到平行四边形、线面平行判定定理、空间直角坐标系的应用，解题关键是能够灵活运用这些几何概念和方法，理清思路，得到正确的结论。18．（1）如图，连接ME，B1C，由三角形中位线性质可知ME//B1C且ME=1/2B1C，又N为A1D中点，且A1D//B1C，故ND//B1C且ND=1/2B1C，因此ME//ND，即四边形MNDE为平行四边形，进而证得MN//DE。又MN∥平面C1DE，DE∥平面C1DE，故MN∥平面C1DE，根据线面平行判定定理可证得结论。（2）如图，以菱形ABCD对角线交点O为原点可建立空间直角坐标系，由于ABCD为菱形，故AC⊥BD，由直四棱柱性质可知OO1⊥平面ABCD。设A(3,0,0)，A1(3,0,4)，D(0,-1,0)，N(3/2,-1/2,2)，取AB中点F，则F(3/2,0,2)，连接DF，由于DF⊥平面AMA1，故DF垂直于平面AMA1的法向量为(3,-2,0)。再通过向量法求得平面MA1N的法向量n=(3,-2,-2)，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值为1/3，进而可求得所求二面角的正弦值为√2/3。（1）根据题意，X的取值为-1，0，1，因此列出X的分布列：XP(X)-1(1-α)β0αβ+(1-α)(1-β)1α(1-β)（2）代入α=0.5，β=0.8，计算得到a=0.4，b=0.5，c=0.1。然后利用累加法整理出符合等比数列定义的形式，得到：pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1(i=1,2,...,7)进一步整理得到：5pi=pi-1+4pi+1(i=1,2,...,7)可以发现，{pi+1-pi}(i=0,1,2,...,7)是以p1-p为首项，4为公比的等比数列。因此，列出通项公式得到pi+1-pi=p1×4i，再利用累加法求解得到p8-p7=p1×47，p7-p6=p1×46，以此类推，最终得到p1=3/47，p4=p1×4+4+4+4=123/257。根据计算结果，当甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4=123/257，因此可以认为这种实验方案是合理的。2a^2+b^2+c^2≥2ab+2bc+2ac，当且仅当a=b=c时取等号。可以将2ab+2bc+2ac拆开，得到a^2+b^2+b^2+c^2+c^2