人教B版数学测评第二章　习题课　均值不等式的应用

习题课均值不等式的应用课后篇巩固提升合格考达标练1.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则()A.x=a+b2 B.C.x>a+b2 D.答案B解析由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤(1+a)+(1+b)22,所以1+x≤1+2.已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为()A.8 B.4 C.2 D.0答案A解析由x+2y-xy=0,得2x+1y=1,且x>0,y>0.所以x+2y=(x+2y)×2x+1y=4yx+xy+4≥4+4=8,当且仅当3.若正实数a,b满足a+b=1,则()A.1a+1B.ab有最小值1C.a+b有最大值D.a2+b2有最小值2答案C解析因为正实数a,b满足a+b=1,所以1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+2=4,当且仅当a=b=12时,等号成立,故1a+1b有最小值4,故A不正确;由均值不等式可得a+b=1≥2ab,当且仅当a=b=12时,等号成立,∴ab≤14,故ab有最大值14,故B不正确;由于(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab≤2,∴a+b≤2,故a+b有最大值为2,故C正确;4.(多选题)(2020辽宁高一月考)已知正数a,b满足a+b=4,ab的最大值为t,不等式x2+3x-t<0的解集为M,则下列结论正确的是()A.t=2 B.t=4C.M={x|-4<x<1} D.M={x|-1<x<4}答案BC解析∵正数a,b满足a+b=4,∴ab≤a+b22=4,即ab的最大值为t=4,当且仅当a=b=2时,等号成立.∵x2+3x-4<0的解集为M,∴M={x|-5.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使ba+ab≥2A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析由均值不等式的前提需“一正、二定、三相等”,即当ba,ab均为正数时,可得ba+ab≥2,此时只需a,b同号即可6.已知一次函数y=-12x+1的图像分别与x轴、y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值是,取得最值时a的值为.答案12解析因为A(2,0),B(0,1),所以0≤b≤1,由题意得a=2-2b,ab=(2-2b)b=2(1-b)·b≤2·1-b+b22=12.当且仅当1-b=b,即b=12时等号成立,此时a=1,因此当b=12,a=17.某公司一年需购买某种货物200吨,平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为2万元,一年的总存储费用数值(单位:万元)恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次购买该种货物的吨数是.

答案20解析设每次购买该种货物x吨,则需要购买200x次,则一年的总运费为200x×2=400x,一年的总存储费用为x,所以一年的总运费与总存储费用为400x+x≥2400x·x=40,当且仅当400x=x,即x=208.如图某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室,温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道,沿前侧内墙保留3米宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?解设矩形的一边长为x米,则另一边长为800x米,因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)米,长为800x-2米.由x-4>0,所以其面积S=(x-4)·800x-2=808-2x+3200x≤808-22x·3200x=808-160=648(m2当且仅当2x=3200x,即x=40∈(4,400)时等号成立.因此当矩形温室的两边长分别为40米,20米时蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是648平方米9.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)1a+(2)1+1a1+1b≥9.证明(1)因为a+b=1,a>0,b>0,所以1a+1b+1所以1a+1b=a+ba+所以1a+1b+1ab≥8(2)(方法1)因为a>0,b>0,a+b=1,所以1+1a=1+a+ba=同理1+1b=2+a所以1+1a1+1b=2+ba2+ab=5+2ba+ab≥5+4=9.所以1+1a1+1b≥9当且仅当a=b=12时等号成立.(方法2)1+1a1+1b=1+1a+1由(1)知,1a+故1+1a1+1b=1+1a+1b+当且仅当a=b=12时取等号等级考提升练10.某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10g黄金,售货员先将5g的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客,然后又将5g的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金()A.大于10g B.小于10gC.大于等于10g D.小于等于10g答案A解析设两臂长分别为a,b,两次放入的黄金数是x,y,依题意有ax=5b,by=5a,所以xy=25.因为x+y2≥xy又a≠b,所以x≠y.所以x+y>10,即两次所得黄金数大于10g.11.若a,b为大于1的实数,且满足a+b=ab,则4a-1+A.2 B.4 C.6 D.8答案B解析因为a,b为大于1的实数,所以4a-1>0,1因为a+b=ab可知ab-(a+b)=0,所以4a-1+1b当且仅当a=3,b=32时等号成立12.已知正实数m,n满足m+n=1,且使1m+16n取得最小值.若y=5m,x=4n是方程y=xa的解,A.-1 B.12 C.2 D.答案C解析1m+16n=1m+16n(m+n)=1+16mn+nm+16=当且仅当16mn=nm,又m+n=1,即m=15,n=45时,上式取等号,即1m+16n取得最小值时,m=15,n=45,13.若a>0,b>0,且a+b=1,则1a2-1A.9 B.8 C.7 D.6答案A解析1a2=(a+b)2-a2-b2a2所以当a=b=12时,原式取最小值914.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式2a+1b≥m恒成立,则mA.10 B.9 C.8 D.7答案B解析2a+1b=2a+1b(2a+b)=5+2ba+2ab≥5+22ba·2ab=9,当且仅当2ba=2ab,15.设a+b=2,b>0,则12|a|+|答案-2解析因为a+b=2,所以12|a|+|a|b又a+b=2,b>0,所以当b=-2a,a=-2时,12|16.已知正数a,b,x,y满足a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值为18,求a解x+y=(x+y)ax+by=a+bxy因为x,y>0,a,b>0,所以x+y≥10+2ab=18,当且仅当bxy=ayx时,等号成立.即又a+b=10,所以a17.(2021山东日照高一期末)第一机床厂投资A生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元.该厂通过引进先进技术,在A生产线的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.005x)倍.现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线,且每万元创造的利润为1.5(a-0.013x)万元,其中a>0.(1)若技术改进后,A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求x的取值范围;(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润,求a的最大值.解(1)由题意,得1.5(1+0.005x)(500-x)≥1.5×500,整理得x2-300x≤0,解得0≤x≤300,又x>0,故0<x≤300,即x的取值范围为(0,300].(2)由题意知,B生产线的利润为1.5(a-0.013x)x万元,技术改进后,A生产线的利润为1.5(1+0.005x)(500-x)万元,则1.5(a-0.013x)x≤1.5(1+0.005x)(500-x)恒成立,又x>0,∴a≤x125+500x+1又x125+500x≥4,当且仅当x=250∴0<a≤5.5,即a的最大值为5.5.新情境创新练18.已知函数y=x+mx-1((1)若m=1,求当x>1时函数的最小值;(2)当x<1时,函数有最大值-3,求实数m的