二次函数的实际应用(面积最值问题含答案)

二次函数的实际应用(面积最值问题含答案)二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等。解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1.运用配方法求最值；2.构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3.建立函数模型求最值；4.利用基本不等式或不等分析法求最值。例1：在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动。(1)运动第t秒时，△PBQ的面积y(cm²)是多少？(2)此时五边形APQCD的面积是S(cm²)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围。(3)t为何值时S最小，最小值时多少？解答：(1)y=(6-t)*2t=-t^2+6t(2)S=6*12-(-t^2+6t)=t^2-6t+72(其中t<6)(3)S=(t-3)^2+63因此，当t=3时，S有最小值等于63。例2：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）。花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解答：设花圃的宽为x米，面积为S平方米，则长为：32-4x+2=34-4x(米)。因此，S=x(34-4x)=-4x^2+34x。由于0<x<=8.5，因此S的定义域为[0,8.5]。S的顶点不在自变量x的范围内，而当6<=x<8.5时，S随x的增大而减小。因此，当x=6时，S最大，为60平方米。因此，可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大。已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1。要求在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积。解：设矩形PNDM的边DN为x，NP为y，则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4）。易知CN=4-x，EM=4-y。过点B作BH垂直于PN于点H，则有△AFB∽△BHP，因此24-xAF/BH=1y-3BF/PH，即y=-(1/(x+5))+2。代入S=xy，得到S=-x^2+5x/2（2≤x≤4）。此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，因此当x≤5时，函数值y随x的增大而增大。对于2≤x≤4来说，当x=4时，S最大，即S=12。评析：本题考查了学生的代数和几何知识，同时要求学生进行综合分析和推理，是一道综合性较强的题目。某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH。(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1)四边形EFGH是正方形。图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE=CF=CG。因此△CEF是等腰直角三角形，因此四边形EFGH是正方形。(2)设CE=x，则BE=0.4-x。每块地砖的费用为y元，则y=x×30+0.4×(0.4-x)×20+[0.16-x-0.4×(0.4-x)×10]/2=10(x-0.1)+2.3（0.1<x<0.4）。当x=0.1时，y有最小值，即费用最省，此时CE=CF=0.1米。答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省。评析：本题考查了学生的几何和代数知识，同时要求学生进行综合分析和推理，是一道较难的题目。修改错误的格式和删除问题段落后，需要对原文进行细微的改写，使得表述更加清晰明了。4.9米．2．(2008庆阳市)兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y(元/平方米)随楼层数x(楼)的变化而变化(x=1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x，y)都在一个二次函数的图像上。求6楼房子的价格为多少元/平方米。根据对称性，易知1楼和8楼的价格相同，2楼和7楼的价格相同，3楼和6楼的价格相同，4楼和5楼的价格相同。因此，我们只需要求出任意两层楼的价格，就可以得到6楼的价格。设1楼和8楼的价格为a，2楼和7楼的价格为b，3楼和6楼的价格为c，4楼和5楼的价格为d。由已知条件可列出以下方程组：a+d=5000b+c=5000a+2b+3c+4d+4c+3b+2a=8c化简得：5a+10b+15c+8d=20c化简得：5a+10b+5c+8d=0化简得：a+2b+c+1.6d=0将a和d用b和c表示，得到：a=5000-d=5000-(5000-a)=ad=5000-a代入上式，得到：a+2b+c+1.6(5000-a)=0化简得：b+0.8c=1250-0.5a由于3楼和6楼的价格相同，因此有：c=(a+2b+4c+d)/4代入上式，得到：3c=(a+2b+5000-a)/2化简得：c=(2500-b)/3将c代入b+0.8c=1250-0.5a，得到：b+0.8(2500-b)/3=1250-0.5a化简得：b=2000-0.375a将b和c代入a+d=5000，得到：a+5000-a=2000-0.375a+(2500-b)/3+5000-a化简得：a=2080因此，6楼的价格为2080元/平方米。33．如图所示，在一个直角△MBN的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=xm，长方形的面积为ym²，要使长方形的面积最大，其边长x应为(D)（图略）解：由题意可知，长方形的面积为xy，其中x和y分别是长方形的两条边长。由△MBN的相似关系可得：y/x=BN/MB又因为MB+BN=BC=1，所以BN=1-MB。代入上式得：y/x=(1-MB)/MB化简得：y=(1-MB)*x/MB长方形的面积为：S=xy=x*(1-MB)*x/MB=x²*(1-MB)/MB对S求导数，得：dS/dx=2x*(1-MB)/MB-x²/MB*dMB/dx令dS/dx=0，得：2x*(1-MB)/MB=x²/MB*dMB/dx化简得：dMB/dx=2-2MB/x当dMB/dx=0时，MB取最大值。因此，令2-2MB/x=0，得：MB=x/2代入y=(1-MB)*x/MB，得：y=x/2因此，长方形的边长应为x/2，即x=2y。由AB=x，得：AB=2y因此，当长方形的边长为y时，面积最大。答案：y=12m。4．(2008湖北恩施)将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为x㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体。当x取下面哪个数值时，长方体的体积最大（C）（图略）解：如图所示，剪去四个小正方形后，剩余的部分可以折叠成一个长方体，其长、宽、高分别为30-2x、x和h。由题意可知，长方体的体积为V=(30-2x)*x*h。由图可知，h=30-2x。代入上式，得：V=x*(30-2x)²对V求导数，得：dV/dx=30x-12x²令dV/dx=0，得：30x-12x²=0化简得：x=2.5因此，当x=2.5时，长方体的体积最大。答案：C。5．如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是：y=-(1/25)x²+x+2。则该运动员此次掷铅球的成绩是(D)（图略）解：当铅球掷出的高度为0时，其水平距离为最远。令y=0，得：-(1/25)x²+x+2=0化简得：x²-25x-50=0解得：x=10或x=15因为铅球运动员是往前掷的，所以其成绩应该是离起点更远的15m。答案：D。27．(2007乌兰察布)小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=-x²+3.5x的一部分，如图所示。若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是（B）（图略）解：将抛物线y=-x²+3.5x表示为顶点式，得：y=-(x-1.75)²+3.0625由于抛物线的对称轴为x=1.75，因此小明离篮圈中心的距离应为：L=1.75-2.5=-0.75由于题目要求距离为正数，因此取绝对值，得：L=0.75答案：B。．∵BP=xcm，∴AP=6-xcm；∵CQ=ycm，∴PQ=8-ycm.∴在△APQ中，根据勾股定理可得：(AP)²+(PQ)²=(AQ)²(6-x)²+(8-y)²=x²+y²∴y²-16y+x²-12x+100=0∴y=x-2±√(5-x)²∴y=x-2+√(5-x)²，因为y>0∴y=x-2+5-x=3-x∴y=3-x所以，y与x的函数关系式为y=3-x，其中x的取值范围为0≤x≤5cm。与投资量x的函数关系式分别为：树木利润：y1=k1x花卉利润：y2=a2x^2+b2x其中k1和a2,b2为常数，根据题目可知利润与投资量成正比例或二次函数关系。（2）根据题目可得：8=x1+x2（投资总额为8万元）利润最少：y=k1x1+a2x2^2+b2x2（利润最小值为最少获得利润）利润最大：y=k1x1+a2x2^2+b2x2（利润最大值为最多获得利润）其中x1为树木的投资量，x2为花卉的投资量。将投资总额的等式代入上述两个式子中，得到：利润最少：y=k1(8-x2)+a2x2^2+b2x2利润最大：y=k1x1+a2(8-x1)^2+b2(8-x1)利润最少时，对y求导得到：y'=-2a2x2+b2+k1=0解得x2=(b2-k1)/2a2代入利润最少的函数式中，得到最少利润为：ymin=k1(8-(b2-k1)/2a2)+a2(b2-k1)^2/4a2+b2(b2-k1)/2利润最大时，对y求导得到：y'=2a2(8-2x1)+b2-k1=0解得x1=(8b2-4k1-b2^2)/8a2代入利润最大的函数式中，得到最大利润为：ymax=k1(8b2-4k1-b2^2)/8a2+a2(8-(8b2-4k1-b2^2)/8a2)^2+b2(8-(8b2-4k1-b2^2)/8a2)最终答案：至少获得的利润为ymin，最大获得的利润为ymax。其中，k1、a2、b2为题目中给出的常数。由图12-①可知，函数$y=\frac{1}{2}x^2-x+2$的图像过点$(1,2)$，因此$2=\frac{1}{2}(1)^2-1+2$；由图12-②可知，函数$y=2-x^2$的图像过点$(2,2)$；关于投资量的函数关系式是$y_2=\frac{1}{2}x$，因为该抛物线的顶点是原点，所以设$y_2=ax^2$，则$a=\frac{1}{2}$；设这位专业户投入种植花卉万元（投入种植树木$8-x$万元），则利润$y_1+y_2=8x-x^2$，根据题意得$y_1+y_2=14$，因此$8x-x^2=14$，解得$x=2$，所以他至少获得14万元的利润；因为$y=2-x^2$的对称轴是$x=0$，所以在对称轴$x=2$的右侧，$z$随$x$的增大而增大，所以当$x=8$时，$z$的最大值为32。解：（1）设正方形的边长为$x$，则$(10-2x)(8-2x)=48$，解得$x=1$。因此剪去的正方形的边长为1cm。（2）有侧面积最大的情况。设正方形的边长为$x$，盒子的侧面积为$2(10-2x)x$，则与$x$的函数关系式为：$y=20x-2x^2$。求导得$y'=20-4x$，令$y'=0$，则$x=5$，此时为极小值。因此剪去的正方形的边长为2.5cm时，长方体盒子的侧面积最大为37.5cm²。（3）有侧面积最大的情况。设正方形的边长为$x$，盒子的侧面积为$2(8-2x)x+2(10-2x)x$。按图1所示的方法剪折，则与$x$的函数关系式为：$y=4x^2-36x+80$。求导得$y'=8x-36$，令$y'=0$，则$x=\frac{9}{2}$，此时为极小值。按图2所示的方法剪折，则与$x$的函数关系式为：$y=4x^2-32x+60$。求导得$y'=8x-32$，令$y'=0$，则$x=4$，此时为极小值。因此剪去的正方形的边长为4cm时，长方体盒子的侧面积最大为48cm²。比较以上两种剪折方法可以看出，按照图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大。当剪去的正方形的边长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm²。一座拱桥的轮廓是