材料力学能量法

材料力学能量法第1页，课件共69页，创作于2023年2月能量原理功能原理用途：计算结构的变形求解超静定结构数值计算——计算力学——固体力学中利用功与能之间的关系建立的一些定理第十章

能量法§10.1

概述能量法——利用能量原理求解可变形固体的位移、变形、内力或外力的计算方法。第2页，课件共69页，创作于2023年2月对变形固体：外力功即：弹性范围内应变能可逆§10.1

概述杆件应变能＝不计动能和其它能量静载：能量原理第3页，课件共69页，创作于2023年2月一、线弹性问题的应变能

即：

§10.2

弹性应变能的计算第十章

能量法变形能是外力或位移的二次函数

线弹性体的应变能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和第4页，课件共69页，创作于2023年2月（一）、轴向拉伸或压缩1、应变能（1）轴力沿轴线不变二、杆件应变能的计算

§10.2弹性应变能的计算第5页，课件共69页，创作于2023年2月（2）轴力沿轴线变化2、比能§10.2弹性应变能的计算第6页，课件共69页，创作于2023年2月（二）、扭转1、应变能（1）扭矩沿轴线不变（2）扭矩沿轴线变化§10.2弹性应变能的计算第7页，课件共69页，创作于2023年2月2、纯剪切应力状态下的比能§10.2弹性应变能的计算第8页，课件共69页，创作于2023年2月（三）、弯曲（1）纯弯曲§10.2弹性应变能的计算第9页，课件共69页，创作于2023年2月（2）横力弯曲微段dx整个梁§10.2弹性应变能的计算第10页，课件共69页，创作于2023年2月（四）、组合变形下的应变能

§10.2弹性应变能的计算第11页，课件共69页，创作于2023年2月因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即Ve=W

，但必须注意F-D以及s-e的非线性关系，不能再用线弹性体的公式计算外力功。(2)非线性弹性体(3-1)应变能为（F-D

曲线和D轴之间的面积）应变能密度为（s-e

曲线和e

轴之间的面积）(3-2)1.轴向拉伸与压缩第12页，课件共69页，创作于2023年2月应变能密度式中，Me为扭转力偶矩，j为扭转角，t为扭转切应力，g为切应变。2.扭转应变能第13页，课件共69页，创作于2023年2月式中，Me为外力偶矩，q为弯曲转角，s为正应力，e为线应变。应变能密度应变能和应变能密度之间的关系为式中，V为体积。3.梁应变能第14页，课件共69页，创作于2023年2月原为水平位置的杆系如图a所示，试计算在荷载F1作用下杆系的应变能。两杆的材料均线弹性弹性模量均为E,横截面面积均为A。例题3-1第15页，课件共69页，创作于2023年2月

(1)将(1)式代入上式得

(2)首先分析力F和位移D之间的关系，求出F=f(D)的表达式，然后利用求Ve。设两杆的轴力均为FN

，两杆的伸长量和A点的位移分别为例题3-1解:第16页，课件共69页，创作于2023年2月由结点A的平衡方程，得由于a为小角度，(3)(4)所以(5)将(4)式代入(3)式，得例题3-1第17页，课件共69页，创作于2023年2月或写成(7)F

和D的关系如图b所示。将(5)式代入(2)式，得(6)杆的应变能为例题3-1第18页，课件共69页，创作于2023年2月

(1)由于力F

引起的变形

l，对FN产生影响，形成F

和D的非线性关系，而应力和应变仍为线性关系——几何非线性。当材料为非线性弹性体时，即应力与应变为非线性时——物理非线性。例题3-1

(2)几何非线性时，不能用求应变能，而只能用求应变能。第19页，课件共69页，创作于2023年2月

Ⅱ.余能图a为非线性体弹性体的受拉杆，其F-D和s-e关系如图b、c所示。(1)余功的定义为(3-6)第20页，课件共69页，创作于2023年2月其大小为曲面OF1a的面积如图d所示。Wc

和外力功W具有相同的量纲，且Wc

为矩形OF1aD1

的面积与曲面OaD1

的面积（W）之差（图d）,故称Wc

为余功。Wc只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什么力作的功为Wc。FF1WcaWD1Do(d)第21页，课件共69页，创作于2023年2月余能密度为

(3-8)VcVeF1

FD

D1

a(e)o(3)线弹性体(图e)

Ve

和Vc

数值相等仿照Ve=W，余能为(3-7)(2)余能(3-9)余能为第22页，课件共69页，创作于2023年2月图a中两杆的长度均为l，横截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的

s~e关系如图b

所示。求结构的余能。例题3-2第23页，课件共69页，创作于2023年2月由结点C的平衡方程，得二杆的轴力为应力为解:该题为物理非线性问题，需用求Vc。其中。例题3-2第24页，课件共69页，创作于2023年2月余能密度为结构的余能为由b图所示的单轴拉伸时的s~e的关系可得例题3-2第25页，课件共69页，创作于2023年2月例1

求图示简支梁的变形能，并求yC

解：

1.求支反力

2.列弯矩方程

AC段：

CB段：

第26页，课件共69页，创作于2023年2月例1

求图示简支梁的变形能，并求fC

解：

1.求支反力

2.列弯矩方程

AC段：

CB段：

3.求梁的变形能

4.求fC第27页，课件共69页，创作于2023年2月一、功的互等定理

§10.3

互等定理以图示梁为例证明如下：第十章

能量法第28页，课件共69页，创作于2023年2月1.先在1点作用F1

再在2点作用F2

外力功：

外力功：

变形能：

§10.3互等定理第29页，课件共69页，创作于2023年2月1.先在1点作用F1

§10.3互等定理2.先在2点作用F2

再在1点作用F1

外力功：

外力功：

变形能：

第30页，课件共69页，创作于2023年2月1.先在1点作用F1

§10.3互等定理2.先在2点作用F2

变形能只决定于力与位移的最终值，

与加载次序无关

即：功的互等定理第31页，课件共69页，创作于2023年2月二、位移互等定理

由功的互等定理

位移互等定理注意：1.上述互等定理对于所有的线性结构都适用2.力和位移应理解为广义力和广义位移§10.3互等定理

当F1=F2=F时（力与位移成线性关系的结构）第32页，课件共69页，创作于2023年2月例3

试求图示梁的跨中挠度fC

解：

1.当Me作用时设想在C点作用F

2.

由功的互等定理3.查表

讨论：若应用位移互等定理任何求解？第33页，课件共69页，创作于2023年2月第十章

能量法§10.4

卡氏第二定理已知：弹性体受一组相互独立的广义力F1、F2、…、Fi、…作用

求：任一广义力Fi的作用点沿Fi方向的广义位移

i

，例如：第34页，课件共69页，创作于2023年2月一、推导

给：

总变形能：

§10.4卡氏第二定理有：

第35页，课件共69页，创作于2023年2月一、推导

§10.4卡氏第二定理改变加载次序

总变形能：先加dFi：再加F1,F2,…,Fi,…：第36页，课件共69页，创作于2023年2月一、推导

§10.4卡氏第二定理由卡氏定理：

说明：1.卡氏定理适用于线弹性结构；2.Fi为广义集中力，

I为广义位移。得到第37页，课件共69页，创作于2023年2月二、应用

1.梁的弯曲

§10.4卡氏第二定理第38页，课件共69页，创作于2023年2月

2.桁架

§10.4卡氏第二定理第39页，课件共69页，创作于2023年2月

3.求没有集中力作用的点的位移

在该点沿要求位移的方向，作用一个假想的力F0(附加力)，

计算出在载荷和附加力共同作用时的变形能，在求得U对F0的偏§10.4卡氏第二定理导数后，再令F0=0，即

0——广义位移

F0——广义力第40页，课件共69页，创作于2023年2月例4

图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，解：

1.求

B(1)列弯矩方程，并求导

DC段：

求

B、

D。CB段：BA段：(2)求

B第41页，课件共69页，创作于2023年2月例4

图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，解：

2.求

D

(1)加附加力

DC：

求

B、

D。CB：BA：(3)求

D(2)列弯矩方程第42页，课件共69页，创作于2023年2月第十章

能量法§10.6

单位载荷法已知：弹性体受一组相互独立的广义力F1、F2、…、Fi、…作用

求：任一点C的广义位移

，第43页，课件共69页，创作于2023年2月一、定理推导图(a)：

图(b)：

§10.6单位载荷法图(c)：

图(d)：

第44页，课件共69页，创作于2023年2月——广义位移——实际载荷引起的弯矩——单位广义力引起的弯矩莫尔定理：

这种计算位移的方法称为单位载荷法

§10.6单位载荷法式中

莫尔积分

第45页，课件共69页，创作于2023年2月1.扭转

2.桁架

§10.6单位载荷法二、莫尔定理的其它情形第46页，课件共69页，创作于2023年2月4.组合变形情况

§10.6单位载荷法3.求相对位移第47页，课件共69页，创作于2023年2月卡氏定理：

莫尔定理：

§10.6单位载荷法三、莫尔定理与卡氏第二定理的关系以弯曲为例说明两者之间的关系若

i=

，则有：

第48页，课件共69页，创作于2023年2月解：

1.

求yC

(1).列弯矩方程(2).求yC

由对称性例5

求图示梁的yC和

B。第49页，课件共69页，创作于2023年2月例5

求图示梁的yC和

B。解：

1.

求yC

(1).列弯矩方程(2).求

B

2.

求

B

第50页，课件共69页，创作于2023年2月上述积分可以简化第十章

能量法§10.7

图乘法（维利沙金法）必为直线或折线

对于等直杆在单位力或单位力偶的作用下，第51页，课件共69页，创作于2023年2月§10.7图乘法一、为直线情况

第52页，课件共69页，创作于2023年2月§10.7图乘法一、为直线情况

——M图的面积

——M图的形心坐标

——图中与M图形心所对应的值

式中

图乘法——上述计算莫尔积分的方法第53页，课件共69页，创作于2023年2月

1.以折线的转折点为界，将积分分成若干段

2.逐段使用图乘法

3.求和

§10.7图乘法二、为折线情况

第54页，课件共69页，创作于2023年2月§10.7图乘法三、积分值的符号

M图的形心C与在同侧，积分值为+

异侧，积分值为-

第55页，课件共69页，创作于2023年2月四、几种常用图形的面积及其形心位置

1.三角形

§10.7图乘法第56页，课件共69页，创作于2023年2月§10.7图乘法四、几种常用图形的面积及其形心位置

2.二次抛物线

第57页，课件共69页，创作于2023年2月§10.7图乘法3.n次抛物线四、几种常用图形的面积及其形心位置

第58页，课件共69页，创作于2023年2月五、M图由几种常用图形组合情况

1.将M图分解为几种常用图形的组合

2.分别应用图乘法

3.叠加§10.7图乘法第59页，课件共69页，创作于2023年2月六、一般情况

若一个为直线或折线，

可使用图乘法。

§10.7图乘法第60页，课件共69页，创作于2023年2月例6

用图乘法求图示梁的yC

分为AC和CB两段使用图乘法

解：1.作M图

2.作图3.求解第61页，课件共69页，创作于2023年2月例7

图乘法求图示外伸梁A端转角

A

解：1.叠加法作M图2.作图3.求解

A

第62页，课件共69页，创作于2023年2月1.确定超静定次数，选定静定基2.作出相当系统3.写出相当系统的应变能4.根据多余约束处的位移条件，5.联立求解补充方程，得到全部多余约束力6.按静定结构求其余约束