机械可靠性设计分析方法

机械可靠性设计分析方法第1页，课件共51页，创作于2023年2月§4.3一次二阶矩方法求可靠度_工程方法第四章机械可靠性设计分析方法§4.1干涉面积法§4.2分布代数§4.4蒙特卡洛模拟方法§4.5变异系数传递规律第2页，课件共51页，创作于2023年2月从可靠度计算的普遍方程可以看出，对于应力和强度比较复杂的分布，由于积分困难，往往难以得出问题的解析解。因此如何采用一些较好的近似方法，能比较方便地求得满足工程精度要求的零件可靠度的近似解，一直是人们探讨的一个问题。3-1应力和强度概率密度曲线的干涉面积Or,sf(s)g(r)s0=r0f(s)g(r)a1a2应力和强度两个概率密度函数的交叉区，即干涉区阴影面积的大小，反映了零件或结构可靠度的高低。该面积越小，可靠度越高，反之，可靠度越低。干涉面积的大小是由两个概率密度函数平均值的相对位置及方差决定的。可靠度可否通过计算该面积的大小给出？第3页，课件共51页，创作于2023年2月3-1应力和强度概率密度曲线的干涉面积Or,sf(s)g(r)s0=r0f(s)g(r)a1a2§4.1干涉面积法设应力、强度两概率密度函数曲线的交点横坐标为s0=r0，并令在应力s、强度r相互独立的情况下，零件的失效概率(不可靠度)可表示为第4页，课件共51页，创作于2023年2月第5页，课件共51页，创作于2023年2月另一方面，零件的可靠度可表示为第6页，课件共51页，创作于2023年2月即有可见，失效概率数值上不等于干涉区的阴影面积。由于可靠度R(t)总是小于(1-a1a2)，所以(1-a1a2)可作为零件可靠度的上限，成为衡量可靠性的一种指标，称为零件的非失效保证度。若已知应力和强度的概率密度函数f(s)、g(r)，便可求出干涉面积a1和a2，由此便可估计出零件的可靠度。第7页，课件共51页，创作于2023年2月例4-1设某一零件的强度r和作用在该零件上的应力s均为正态分布。强度的均值和标准差分别为μr=180Mpa，σr＝8Mpa，应力的均值和标准差分别为μs＝150Mpa，σs＝6Mpa，试计算该零件的可靠度和非失效保证度。解：由于应力和强度均服从正态分布，所以有则可靠度为现用干涉面积法估算零件的可靠度，因s0=r0处有f(s0)=g(r0)所以有第8页，课件共51页，创作于2023年2月解得s0=r0=163.5MPa，因此求得a1和a2分别为第9页，课件共51页，创作于2023年2月可靠度的上限RU=0.9976比理论值高万分之十一，同样，可靠度下限所以有经验公式该式结果与理论值相比误差约为0.14%，可见，干涉面积法得出的零件可靠度近似值，精度还是比较高的。该例应力与强度均为正态分布，是为了将近似值与理论值比较，该法对其他任何形式的应力和强度的分布均适用第10页，课件共51页，创作于2023年2月强度、应力和它们的干涉变量及其他许多随机事件往往需要用两个、三个或更多随机变量的函数Z=f(x1,x2,…,xn)来描述。与实数代数一样，随机变量也可以通过一系列公式进行代数运算。§4.2分布代数当已知其中每一个随机变量xi(i＝l，2，…n)的均值μi和标准差σi时，可以通过随机变量的代数运算来确定函数Z=f(xi)的均值μz和标准差σz，从而运用联结方程求得零件的可靠性系数和可靠度。第11页，课件共51页，创作于2023年2月一、独立随机变量的加法若已知随机变量X的均值μX和标准差σX，随机变量Y的均值μY和标准差σY，可以推导出随机变量Z=X+Y的均值μZ和标准差σZ二、独立随机变量的减法同样可以推导出随机变量Z=X-Y的均值μZ和标准差σZ第12页，课件共51页，创作于2023年2月三、独立随机变量的乘法积数（Z=X·Y)的均值μZ和标准差σZ四、独立随机变量的除法第13页，课件共51页，创作于2023年2月有一含有n个随机变量的函数Z=f(x1,x2,…,xn)，如果每一个随机变量的变异系数Cx=σx/μx<0.1，以及这些随机变量相互独立，且都不起主要控制作用，则有概率论的中心极限定理可知，这个多维函数Z=f(x1,x2,…,xn)能够满意地服从正态分布。当已知其中每一个随机变量的均值μi及标准差σi，则可以运用以上随机变量的代数运算公式，综合成为一个含单一随机变量的函数，即确定这个单一函数的均值μz和标准差σz。综合方法：先综合函数中两个变量x1和x2，确定已合成的变量的均值和标准差，接着把上面已得到的合成变量与下一个变量x3综合起来，求出合成的均值和标准差。依此类推，直到所有的变量都被综合到单一的变量中去，即求出函数的均值和标准差。第14页，课件共51页，创作于2023年2月例4-2今有一受拉伸载荷的杆件，已知载荷F(μF,σF)=F(80000,1200)N，拉杆直径d(μd,σd)=d(40,0.8)mm，拉杆长l(μl,σl)=l(6000,60)mm，材料的弹性模量E(μE,σE)=E(21×104,3150)Mpa，求在弹性变形范围内拉杆的伸长δ。解：由胡克定理知，的伸长为其中设以上各参数均为相互独立、服从正态分布的随机变量，因此可根据正态随机变量代数运算公式，对已知参数逐一合成。第15页，课件共51页，创作于2023年2月1）求拉杆的截面面积A(μA,σA)因此A(μA,σA)=A(1256,50.24)mm22）令G=Fl求变量G的均值μG和标准差σG第16页，课件共51页，创作于2023年2月3）令H=AE,求变量H的均值μH和标准差σH4）计算拉杆伸长δ的均值μδ和标准差σδ第17页，课件共51页，创作于2023年2月即拉杆伸长δ(μδ,σδ)=δ(1.83,0.084)mm因为正态分布有一重要特性，即数据偏离三倍标准差的可能性很小(概率为0.27%)，几乎可以忽略，所以在可靠性设计中一般可假设公差Δ=3σ(σ为标准差)，即故拉杆伸长为第18页，课件共51页，创作于2023年2月若随机变量Y的函数比较复杂，计算Y的数学期望E(Y)和方差D(Y)可能很困难，往往不能简单地运用它们的定义，把函数代入积分公式而得出结果。对于一个多维随机变量Y=f(x1,x2,…,xn)，用分布代数的方法，经多次综合求解函数的均值和方差，计算量很大，比较麻烦，这时可将函数展开成泰勒级数，求得近似解。§4.3一次二阶矩法—泰勒级数近似求解法第19页，课件共51页，创作于2023年2月当应力s和强度r均服从正态分布且相互独立时，根据联结方程可方便地求得可靠度系数β，进而求得可靠度R(t)；但当应力s和强度r服从其它分布时，需要知道应力s和强度r或干涉变量Y进行积分。目前许多工程实际中尚缺乏足够的资料来确定应力和强度的分布，且积分的计算也十分繁杂，当应力和强度的分布未知，仅有足够的资料来确定它们的一阶矩和二阶矩（均值和方差）时，可以采用一次二阶矩法来求可靠性指标β§4.3一次二阶矩法—泰勒级数近似求解法第20页，课件共51页，创作于2023年2月一维随机变量函数的近似求解设y=f(x)在x=μ

（均值）处展开成一泰勒级数若D(x)很小第21页，课件共51页，创作于2023年2月例4-3已知一杆件r的均值μr=30mm，标准差σr=1.5mm，求断面面积A的均值μA及标准差σA。解：面积A=πr2，则f’(r)=2πr，f”(r)=2π，可得第22页，课件共51页，创作于2023年2月对于一个多维随机变量y=f(x1,x2,…,xn)，独立随机变量xi(i＝l，2，…n)均值和标准差为μi和σi。多维随机变量函数的近似求解若D(xi)很小y的数学期望y的方差因此可靠度系数：第23页，课件共51页，创作于2023年2月例4-4一次二阶矩方法求可靠度：有一根A3钢的圆形杆件，圆杆直径d的均值为μd=30mm，标准差为σd=3mm，圆杆的屈服极限r的均值μr=290N/mm2，标准差σr=25N/mm2。当杆件承受轴向拉力P=105N（考虑为常量），试求杆件的可靠性指数和可靠度。解：以极限载荷表示的极限方程为函数Y的均值和标准差分别为第24页，课件共51页，创作于2023年2月例4-4解：若假设为正态分布可靠度查表为：R=0.9906可靠性指数为：第25页，课件共51页，创作于2023年2月习题：一杆受拉力作用，若外力的均值μF=2×104N，标准差为σF=2000N，断面面积均值μA=1000mm2，标准差σA=80mm2。求应力s的均值μs和标准差σs。（用矩法）第26页，课件共51页，创作于2023年2月蒙待卡洛模拟法是通过随机变量的统计试验或随机模拟，求解数学、物理和工程技术问题近似解的数值方法，因此也称为统计试验法或随机模拟法。蒙特卡洛模拟法是用法国和意大利接境的一个著名赌城蒙特卡洛(MonteCarlo)命名的。该方法开始应用于40年代，集中研究是在50年代。由于科学技术的发展，出现了许多复杂的问题，用传统的数学方法或物理试验进行处理有时难以解决，用蒙特卡洛方法则可有效地解决问题。§4.4蒙特卡洛模拟方法一、基本原理第27页，课件共51页，创作于2023年2月蒙特卡洛模拟的理论基础来自概率论中的两个基本定理。大数定理：设x1，x2，…，xn，是n个独立的随机变量，若它们来自同一母体，有相同的分布，且具有相同的有限的均值和方差，分别用μ和σ2

表示，则对于任意ε＞0有:第28页，课件共51页，创作于2023年2月伯努利定理：若随机事件A发生的概率为P(A)，在n次独立试验中，事件A发生的频数为m，频率为W(A)＝m／n，则对于任意ε＞0有:蒙特卡洛法从同一母体中抽出简单子样来做抽样试验，由上两式知，当n足够大时，频率m／n以概率1收敛于P(A)。因此从理论上讲，这种方法的应用范围几乎没有什么限制。第29页，课件共51页，创作于2023年2月当用蒙特卡洛法求解某一事件发生的概率时，可以通过抽样试验的办法得到该事件出现的频率，作为问题的解。在应用蒙特卡洛方法时，需要进行大量的统计试验，譬如说1000次，由人工进行如此之多的试验会有很多困难，但高速电子计算机的发展，为蒙持卡洛模拟提供了强大的工具，使该方法得以用于工程实践。即便是应用计算机，如何在不影响结果精度的前提下，减少计算时间，仍是应用蒙特卡洛法中的重要研究课题。第30页，课件共51页，创作于2023年2月(a)根据提出的问题确定各变量之间的确定性函数关系。(b)根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征(例如概率、均值和方差等)。(c)根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数。二、蒙特卡洛模拟求解步骤:第31页，课件共51页，创作于2023年2月(d)根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行随机抽样。这里的抽样方法有直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等。(e)按所建立的模型进行仿真计算，求出问题的一个随机解。(f)统计分折模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。在可靠性分析和设计中，用蒙特卡洛方法可以确定复杂随机变量的概率分布和数字特征；可以通过随机模拟估计系统和零件的可靠度；也可以模拟随机过程、寻求系统最优参数等。二、蒙特卡洛模拟求解步骤:第32页，课件共51页，创作于2023年2月分布名称密度函数f(x)或f(t)

或[0，1]均匀分布

1

均匀分布指数分布标准正态分布正态分布是标准正态分布抽样对数正态分布

常见分布函数随机变量的随机抽样公式第33页，课件共51页，创作于2023年2月例4-5某铝合金板的形状如图所示。受弯矩作用，其尺寸H、h、ρ均服从正态分布，分布参数为：试确定理论应力集中系数ασ的分布类型及分布参数。MM受弯矩作用的铝合金板三、蒙特卡洛模拟算例第34页，课件共51页，创作于2023年2月蒙特卡洛模拟算例的程序框图开始输入H、h、ρ分布的类型及参数;Nj=1分别从H、h和ρ的分布中产生随机数Hf

,hf,ρf

计算ασ

的随机数ασj

j=N进行分布类型判断、估计分布参数输出ασ的分布类型和分布参数结束j=j+1第35页，课件共51页，创作于2023年2月解：理论应立集中系数ασ的计算公式为蒙特卡洛模拟算例第36页，课件共51页，创作于2023年2月由于H、h、ρ均服从正态分布，所以根据正态分布的抽样公式以及ασ的计算公式编制计算机程序，上机运行。输入参数为：模拟次数N=1000。输出结果为：ασ服从正态分布，均值为：标准差：即：蒙特卡洛模拟算例第37页，课件共51页，创作于2023年2月用蒙特卡洛仿真计算应力和强度为任意分布时的可靠度任意分布的应力—强度模型都可以用蒙特卡洛模拟法求可靠度的近似值，结果的精度随模拟的次数的增多而增高。模拟程序的流程图如右图所示。开始输入应力和强度分布类型和参数，模拟次数N,置j=1对应力和强度各产生一个随机数xsj和xSj比较xsj和xSj并记下xsj<xSj的次数N1j=N?输出R=N1/N结束j=j+1第38页，课件共51页，创作于2023年2月closeall;clearall;clc;nsample=10000;mu_YL=400;sig_YL=25;y_YL=normrnd(mu_YL,sig_YL,[nsample1]);mu_QD=500;sig_QD=50;y_QD=normrnd(mu_QD,sig_QD,[nsample1]);n_OK=0;forj=1:nsamplex_YL=y_YL(j);ify_YL(j)<y_QD(j);n_OK=n_OK+1;endend[y_YLmuhat,y_YLsigmahat,muci,sigmaci]=normfit(y_YL);[y_QDmuhat,y_QDsigmahat,muci2,sigmaci2]=normfit(y_QD);R1=n_OK/nsample第39页，课件共51页，创作于2023年2月例3—1已知某机器零件的应力s和强度S均为正态分布。其分布参数分别为μs＝362Mpa，σs＝39Mpa，μr=500Mpa，σr＝25Mpa。试计算零件的可靠度。解：例4-6用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：零件的可靠度：解析解R＝0.9984蒙特卡洛方法:N=10000时，R＝0.9986NormalVsNormal第40页，课件共51页，创作于2023年2月已知应力为对数正态分布，应力s~1n(6.205，0.0998)Mpa，强度为正态分布，r~N(600，60)Mpa。按图18-10编制计算机程序，模拟次数10000。上机计算运行结果为及0.894。解：例4-7用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：LogNormalVs.Normal第41页，课件共51页，创作于2023年2月已知应力为指数分布，应力μs＝151.0Mpa，强度为正态分布，r～N(600，60)Mpa。用蒙特卡洛法求可靠度。模拟次数10000。上机计算结果为0.9399解：例4-8用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：ExpVsNormal第42页，课件共51页，创作于2023年2月已知应力为对数正态分布，应力s～ln(6.2046，0.2699)，强度为对数正态分布，r～ln(6.2046，0.2299)。用蒙特卡洛法求可靠度。模拟次数10000。上机计算结果为0.9225解：例4-9用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：LogNormalVs.LogNormal第43页，课件共51页，创作于2023年2月已知应力为Weibull分布，应力s～w(0.001，1.25)，强度为正态分布，r～N(500，150)。用蒙特卡洛法求可靠度。模拟次数10000。上机计算结果为0.8718。解：例4-10用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：WeibullVsNormal第44页，课件共51页，创作于2023年2月对于这样一些复杂的多元函数的统计特征，