黑龙江省伊春市丰城田家炳高级中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析

黑龙江省伊春市丰城田家炳高级中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为

（

）

A．1

B．5

C．

D．参考答案：D略2.如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A．1 B． C． D．2参考答案：D【考点】球内接多面体．【分析】设AB=a，BB1=h，求出a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论．【解答】解：设AB=a，BB1=h，则OB=a，连接OB1，OB，则OB2+BB12=OB12=3，∴=3，∴a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，∴V′=6﹣6h2，当0＜h＜1时，V′＞0，1＜h＜时，V′＜0，∴h=1时，该四棱柱的体积最大，此时AB=2．故选：D．3.如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB∥CD，∠DCB=90°，AB=AD=AA1=2DC，Q为棱CC1上一动点，过直线AQ的平面分别与棱BB1，DD1交于点P，R，则下列结论错误的是（）A．对于任意的点Q，都有AP∥QRB．对于任意的点Q，四边形APQR不可能为平行四边形C．存在点Q，使得△ARP为等腰直角三角形D．存在点Q，使得直线BC∥平面APQR参考答案：C【考点】直线与平面垂直的性质．【专题】数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】根据面面平行的性质判断A，B，使用假设法判断C，D．【解答】解：（1）∵AB∥CD，AA1∥DD1，∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1，∵平面APQR∩平面ABB1A1=AP，平面APQR∩平面CDD1C1=RQ，∴AP∥QR，故A正确．（2）∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∴平面BCC1B1与平面ADD1A1不平行，∵平面APQR∩平面BCC1B1=PQ，平面APQR∩平面ADD1A1=AR，∴PQ与AR不平行，故四边形APQR不可能为平行四边形，故B正确．（3）延长CD至M，使得DM=CM，则四边形ABCM是矩形，∴BC∥AM．当R，Q，M三点共线时，AM?平面APQR，∴BC∥平面APQR，故D正确．故选C．【点评】本题考查了直棱柱的结构特征，面面平行的性质，线面平行的判定，属于中档题．4.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},B={1,3,5},则（

）A.{1} B.{3,5} C.{1,6} D.{1,3,5,6}参考答案：B5.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，3] C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A、B，求出A∩B即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]，B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}=（﹣∞，2）；∴A∩B=[﹣1，2）．故选：C．6.设则“”是“复数为纯虚数”的（）A．充分必要条件

B．必要不充分条件C.充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A7.为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：①估计样本的中位数为4800元；②如果个税起征点调整至5000元，估计有50%的当地职工会被征税；③根据此次调查，为使60%以上的职工不用缴纳个人所得税，起征点应调整至5200元．其中正确结论的个数有（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据已知中频率分布直方图，逐一分析给定三个结论的真假，可得答案．【解答】解：由已知中的频率分布直方图可得：前两组的累积频率为（0.0001+0.0002）×1000=0.3＜0.5，前三组的累积频率为（0.0001+0.0002+0.00025）×1000=0.55＞0.5，故估计样本的中位数为4000+1000×=4800元；故①正确；由①得：如果个税起征点调整至5000元，估计有45%的当地职工会被征税；故②错误，根据此次调查，为使60%以上的职工不用缴纳个人所得税，起征点应调整至4000+1000×=5200元．故③正确；故选：C【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了频率分布直方图的应用，难度不大，属于基础题．8.若,则圆锥曲线的离心率的取值范围是(

) A.

B.

C.

D.参考答案：C9.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m?α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m?α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m参考答案：B考点：直线与平面平行的判定．分析：根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．解答：解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l∥α，m?α，则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选B点评：本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题10.若的展开式中的系数是80，则实数的值

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是

（写出所有正确命题的编号）．①若ab＞c2，则C＜②若a+b＞2c，则C＜③若a3+b3=c3，则C＜④若（a+b）c＜2ab，则C＞⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则C＞．参考答案：①②③考点：命题的真假判断与应用；余弦定理的应用．专题：证明题；压轴题．分析：①利用余弦定理，将c2放大为ab，再结合均值定理即可证明cosC＞，从而证明C＜；②利用余弦定理，将c2放大为（）2，再结合均值定理即可证明cosC＞，从而证明C＜；③利用反证法，假设C≥时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确；④⑤只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形解答： 解：①ab＞c2?cosC=＞=?C＜，故①正确；②a+b＞2c?cosC=＞=≥=?C＜，故②正确；③当C≥时，c2≥a2+b2?c3≥ca2+cb2＞a3+b3与a3+b3=c3矛盾，故③正确；④举出反例：取a=b=c=2，满足（a+b）c≤2ab得：C=＜，故④错误；⑤举出反例：取a=b=c=，满足（a2+b2）c2≤2a2b2，此时有C=，故⑤错误故答案为①②③点评：本题主要考查了解三角形的知识，放缩法证明不等式的技巧，反证法和举反例法证明不等式，有一定的难度，属中档题12.已知复数是纯虚数，则实数的值是_________.参考答案：13.若二项式的展开式中含的项是第三项，则n的值是_____.参考答案：4略14.已知菱形ABCD的边长为2，A=60°，将△ABD沿对角线BD折起，使得AC=3，则四面体ABCD的外接球的表面积为__________．参考答案：15.已知函数f（x）=x+（a＞0），若对任意的m、n、，长为f（m）、f（n）、f（p）的三条线段均可以构成三角形，则正实数a的取值范围是．参考答案：（，）∪[1，）【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】求出f（x）的导数，讨论当≥1即a≥1时；当≤＜1且f（）≤f（1）即≤a≤时；当≤＜1且f（）＞f（1）即＜a＜1时；当＜，即0＜a＜时．由单调性可得最小值和最大值，由题意可得最小值的2倍大于最大值，解不等式即可得到所求a的范围．【解答】解：函数f（x）=x+（a＞0）的导数为f′（x）=1﹣，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．当≥1即a≥1时，[，1]为减区间，即有f（x）的最大值为+3a；最小值为1+a．由题意可得只要满足2（1+a）＞+3a，解得1≤a＜；当≤＜1且f（）≤f（1）即≤a≤时，[，]为减区间，（，1）为增区间，即有f（x）的最大值为1+a；最小值为2．由题意可得只要满足1+a＞4，解得0＜a＜7﹣4，不成立；当≤＜1且f（）＞f（1）即＜a＜1时，[，]为减区间，（，1）为增区间，即有f（x）的最大值为+3a；最小值为2．由题意可得只要满足+3a＞4，解得0＜a＜，不成立；当＜，即0＜a＜时，[，1]为增区间，即有f（x）的最小值为+3a；最大值为1+a．由题意可得只要满足2（+3a）＞1+a，解得＜a＜．综上可得，a的取值范围是（，）∪[1，）．故答案为：（，）∪[1，）．16.已知，且x，y满足，则的最大值为_______.参考答案：917.设x、、、y成等差数列，x、、、y成等比数列，则的取值范围是____________．参考答案：[4，+∞）或（-∞，0]略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（文科）一中食堂有一个面食窗口,假设学生买饭所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往学生买饭所需的时间统计结果如下:买饭时间（分）12345频率0.10.40.30.10.1从第一个学生开始买饭时计时.(1)求第2分钟末没有人买晚饭的概率；（2）估计第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率.参考答案：19.在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个复数，（），当且仅当“”或“且”．按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：①若，则；②若，，则；③若，则，对于任意，；④对于复数，若，则.其中所有真命题的个数为

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B20.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=4，E为AA1的中点，F为BC的中点（1）求证：直线AF∥平面BEC1（2）求A到平面BEC1的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离．【分析】（1）取BC1的中点H，连接HE、HF，利用三角形中位线定理和棱柱的性质证出四边形AFHE为平行四边形，从而得到AF∥HE，结合线面平行判定定理即可证出直线AF∥平面BEC1；（2）由VA﹣BEC1=VC1﹣BEC利用等体积法建立关系式，根据正三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质，结合题中数据算出△BEC1和△ABE的面积，以及C1到平面AA1B1B的距离，代入前面的等式即可解出A到平面BEC1的距离．【解答】解：（1）取BC1的中点H，连接HE、HF，则△BCC1中，HF∥CC1且HF=CC1又∵平行四边形AA1C1C中，AE∥CC1且AE=CC1∴AE∥HF且AE=HF，可得四边形AFHE为平行四边形，∴AF∥HE，∵AF?平面REC1，HE?平面REC1∴AF∥平面REC1．…（2）等边△ABC中，高AF==，所以EH=AF=由三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，得C1到平面AA1B1B的距离等于∵Rt△A1C1E≌Rt△ABE，∴EC1=EB，得EH⊥BC1可得S△=BC1?EH=××=，而S△ABE=AB×BE=2由等体积法得VA﹣BEC1=VC1﹣BEC，∴S△×d=S△ABE×，（d为点A到平面BEC1的距离）即××d=×2×，解之得d=∴点A到平面BEC1的距离等于．…【点评】本题在正三棱柱中求证线面平行，并求点到平面的距离．着重考查了正三棱柱的性质、线面平行判定定理和等体积法求点到平面的距离等知识，属于中档题．21.设是公比为正数的等比数列，，。

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和。参考答案：解：（I）设q为等比数列的公比，则由，即，解得（舍去），因此所以的通项为（II）

22.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米/小时)是车流密度（单位:辆/千米）的函数，当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时