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文档简介

类型一、可分离变量微分方程第二节一阶微分方程

的常见类型及解法类型二、齐次方程类型三、一阶线性微分方程8/20/20231类型一、可分离变量微分方程第二节一阶微分方程

分离变量

类型一、可分离变量的微分方程两边同时积分8/20/20232分离变量类型一、可分离变量的微分方程两边同时积分8/5/2例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明：在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.8/20/20233例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为8/20/20234例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件例3.求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得（C为任意常数）所求通解:8/20/20235例3.求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得（C类型二、齐次方程令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:8/20/20236类型二、齐次方程令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替例4.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(C为任意常数)8/20/20237例4.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方例5.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即(C为任意常数)8/20/20238例5.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即类型三、一阶线性微分方程若Q(x)

0,若Q(x)

0,称为一阶线性非齐次微分方程.称为一阶线性齐次微分方程;8/20/20239类型三、一阶线性微分方程若Q(x)0,若Q(x)1.解齐次方程分离变量得两边积分得故通解为8/20/2023101.解齐次方程分离变量得两边积分得故通解为8/5/202对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程常数变易法:则故原方程的通解即即设通解两端积分得8/20/202311对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程例6.解方程

解:先解即积分得即（常数变易法）令代入非齐次方程解得故原方程通解为注:亦可直接带公式计算！8/20/202312例6.解方程解:先解即积分得即（常数变易法）令代入思考与练习求下列方程的通解：提示

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