材料测试技术第二章

材料测试技术第二章第1页，课件共73页，创作于2023年2月晶体结构例子g-Fea-Fe第2页，课件共73页，创作于2023年2月§2-1晶体几何学基础一、空间点阵、晶胞、晶系把a、b、c和α、β、γ叫做点阵参数或晶格常数图2-1单胞的表示方法1.晶胞第3页，课件共73页，创作于2023年2月结点（阵点）：等同环境的点第4页，课件共73页，创作于2023年2月面网密度与面网间距空间点阵第5页，课件共73页，创作于2023年2月1、对称轴若形体绕轴转过360°/n（n为整数）后即回复为自身，则该形体具有n次旋转对称，这个轴就称之为n次对称轴。n次旋转对称本身构成一个群。在晶体中，由于受平移对称的制约，只能存在1，2，3，4，6次旋转对称操作。2-2-1晶体中的对称元素第6页，课件共73页，创作于2023年2月第7页，课件共73页，创作于2023年2月另外：还存在镜面对称（m）和反演对称（i）。四次轴包含二次轴，六次轴包含三次轴。第8页，课件共73页，创作于2023年2月2、反映面若形体中的一个面将形体分成两部分，且两部分上的点相对于该平面成镜面对称，则该平面称为该形体的反映面，以符号m表示。反映也构成群。第9页，课件共73页，创作于2023年2月3、反演中心若形体中的所有点都相对于某一点中心对称，则该点就是反演中心，用符号-1表示。第10页，课件共73页，创作于2023年2月4、平移在晶体中，沿某个周期方向平移一个或多个周期后，我们认为晶体没有发生改变，称之为平移对称。5、旋转反演旋转和反演的复合操作构成一个不同于旋转和反演的对称群。6、螺旋旋转与平行平移的组合。7、滑移反映与平行平移的组合第11页，课件共73页，创作于2023年2月螺旋轴（screwaxis)即平移和旋转轴的偶合

晶体学中很常见的对称元素，记作nm，n表示螺旋轴的阶次，m表示沿轴平移的分量c21轴，180度，平移1/2c31轴，120度，平移1/3c第12页，课件共73页，创作于2023年2月2-1-2晶体的对称性及表达晶体的对称定律：在晶体中，只可以出现一次、二次、三次、四次、六次对称，而不可能出现五次和六次以上的对称。相反，准晶体是以五次对称为基础的。第13页，课件共73页，创作于2023年2月第14页，课件共73页，创作于2023年2月1．什么是空间点阵――从晶体中抽象出来的、描述结构基元空间分布周期性的几何点（即阵点），这些点的总称为空间点阵。

2．空间点阵与晶体结构的关系：空间点阵＋结构基元＝晶体结构第15页，课件共73页，创作于2023年2月阵胞的选取条件：单元应能充分表示出晶体的对称性且对称性尽量高；单元的三条相交棱边应尽量相等，或相等的数目尽可能地多；单元的三棱边的夹角要尽可能地构成直角；单元的体积应尽可能地小。阵胞的概念及阵胞的选取方法第16页，课件共73页，创作于2023年2月非初级格子：简单格子面心格子体心格子底心格子第17页，课件共73页，创作于2023年2月六方格子第18页，课件共73页，创作于2023年2月表2-1七个晶系及其布拉菲点阵（BravaisLattice)2.晶系第19页，课件共73页，创作于2023年2月简单格子：000体心格子：000，底心格子：000，面心格子：000，，，第20页，课件共73页，创作于2023年2月四方没有面心？按照对称性并照顾最小单胞分类。 四方P,IFIFI第21页，课件共73页，创作于2023年2月2-1-3晶面与晶向指数zxy第22页，课件共73页，创作于2023年2月晶面指数的确定方法:在一组互相平行的晶面中任选一个晶面，量出它在三个坐标轴上的截距并用点阵周期a、b、c为单位来度量；写出三个截距的倒数；将三个倒数分别乘以分母的最小公倍数，把它们化为三个简单整数，并用圆括号括起，即为该组平行晶面的晶面指数。第23页，课件共73页，创作于2023年2月晶面族的概念:

在同一晶体点阵中，有若干组晶面是可以通过一定的对称变换重复出现的等同晶面，它们的面间距和晶面上结点分布完全相同。这些空间位向性质完全相同的晶面属于同族等同晶面，用{hkl}来表示，即为一个晶面族。第24页，课件共73页，创作于2023年2月晶向指数的确定方法:在一族互相平行的阵点直线中引出过坐标原点的阵点直线；在该直线上任选一个阵点，量出它的坐标值并用点阵周期a、b、c度量；将三个坐标值用同一个数乘或除，把它们化为简单整数并用方括号括起，即为该族结点直线的晶向指数。表示为：[uvw]第25页，课件共73页，创作于2023年2月(hkl)——晶面；{hkl}——晶面簇；[uvw]——晶向；<uvw>——晶向簇。注意：六方晶系指数表示有三轴法和四轴法晶面：(hkl)→(hkil)，i=-(h+k)晶向：[UVW]→[uvtw]

U=u-tV=v-t

W=w

t=-(u+v)二、晶面与晶向或第26页，课件共73页，创作于2023年2月（一）、倒易点阵的定义2-1-4、倒易点阵概念我们规定倒易格子的每个一结点代表正空间的一组相互平行的等间距的面网，且使该倒易矢量（倒易空间的原点到结点的矢量）垂直于正空间的面网，矢量的膜为正空间面网的面间距第27页，课件共73页，创作于2023年2月倒易点阵参数：

a*、b*、c*；α*、β*、γ*其中：倒易基失与正空间基失之间的关系第28页，课件共73页，创作于2023年2月由倒易点阵基矢的定义，容易推出：a*•a=1a*•b=0a*•c=0b*•a=0b*•b=1b*•c=0c*•a=0c*•b=0c*•c=1V•V*=1第29页，课件共73页，创作于2023年2月研究倒易点阵的意义：利用倒易点阵可以比较方便地导出晶体几何学中的各种重要关系式；用倒易点阵可以方便而形象地表示晶体的衍射几何学；在物理学中可以用倒易点阵来表示波矢。第30页，课件共73页，创作于2023年2月倒易矢量的性质

a*·b

=a*·c

=b*·a

=b*·c

=c*·a

=c*·b

=0

a*·a

=b*·b

=c*·c

=1（1）从倒易点阵原点向任一倒易阵点所连接的矢量叫倒易矢量，表示为：

ghkl*=ha*+kb*+lc*（2）（3）倒易矢量ghkl*

垂直于正点阵中相应的（hkl）晶面，或平行于它的法向Nhkl。第31页，课件共73页，创作于2023年2月正点阵和倒易点阵的几何关系（5）倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即：（4）倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面。第32页，课件共73页，创作于2023年2月（6）只有在立方点阵中，晶面法向和同指数的晶向是重合（平行）的。这时倒易矢量ghkl*与相应指数的晶向[hkl]平行。（7）对斜方（正交）点阵，有a*//a

，b*//b

，c*//c

，a*=1/a

，b*=1/b

，c*=1/c

。第33页，课件共73页，创作于2023年2月倒易点阵参数根据倒易点阵定义，倒易点阵原胞参数与正点阵原胞参数之间关系如下：第34页，课件共73页，创作于2023年2月二、用倒易矢量推导晶面间距和晶面夹角的计算公式

晶面间距计算公式晶面夹角计算公式第35页，课件共73页，创作于2023年2月晶面间距计算公式

已知r*=Ha*+Kb*+Lc*，则：

第36页，课件共73页，创作于2023年2月对于立方晶系：第37页，课件共73页，创作于2023年2月晶面夹角计算公式

已知r1*=H1a*+K1b*+L1c*r2*=H2a*+K2b*+L2c*

则（H1K1L1）与（H2K2L2）之间的夹角Φ为：第38页，课件共73页，创作于2023年2月对于立方晶系：第39页，课件共73页，创作于2023年2月晶带的定义

在晶体结构或空间点阵中，与某一取向平行的所有晶面均属于同一个晶带。同一晶带中所有晶面的交线互相平行，其中通过坐标原点的那条直线称为晶带轴。晶带轴的晶向指数即为该晶带的指数。第40页，课件共73页，创作于2023年2月晶带定律

根据晶带的定义，同一晶带中所有晶面的法线都与晶带轴垂直。我们可以将晶带轴用正点阵矢量r=ua+vb+wc表达，晶面法向用倒易矢量g*=ha*+kb*+lc*表达。由于g*与r垂直，所以：

由此可得：hu+kv+lw=0

这也就是说，凡是属于[uvw]晶带的晶面，它们的晶面指数（hkl）都必须符合上式的条件。我们把这个关系式叫作晶带定律。第41页，课件共73页，创作于2023年2月应用例一已知两个晶面（h1k1l1)和(h2k2l2)属于一个晶带，求晶带轴指数。第42页，课件共73页，创作于2023年2月应用例二已知某晶面（hkl）同属于[u1v1w1]和[u2v2w2]两个晶带，其面指数（hkl）可按下式计算：第43页，课件共73页，创作于2023年2月晶带定律的应用

在实际晶体中，立方晶系最为普遍，因此晶带定理有非常广泛的应用。可以判断空间两个晶向或两个晶面是否相互垂直；可以判断某一晶向是否在某一晶面上（或平行于该晶面）；若已知晶带轴，可以判断哪些晶面属于该晶带；若已知两个晶面为（h1k1l1)和(h2k2l2)，则可用晶带定律求出晶带轴；第44页，课件共73页，创作于2023年2月已知两个不平行的晶向，可以求出过这两个晶向的晶面；已知一个晶面及其面上的任一晶向，可求出在该面上与该晶向垂直的另一晶向；已知一晶面及其在面上的任一晶向，可求出过该晶向且垂直于该晶面的另一晶面。第45页，课件共73页，创作于2023年2月当一束X射线照射到晶体上时，会被原子所散射，其中就包括相干散射，向空间辐射出与入射波同频率的电磁波，这些散射波会产生干涉现象，在某些方向会得到强度很高的散射波，把这种现象叫做X射线的衍射。X射线在晶体中的衍射现象实质上是大量的原子散射波互相干涉的结果，每种晶体所产生的衍射花样都反映出晶体内部的原子分布规律。§2-2X射线衍射与布拉格方程第46页，课件共73页，创作于2023年2月光的干涉条件：同一点光源，振动方向相同，频率相同，位相恒定。X射线在晶体中衍射时的假设：a)X射线是平行光，且只有单一波长（单色）；b)电子皆集中在原子中心（因为原子间距>>核外电子距离）c)原子不作热振动。

因此，X射线照到晶体上，晶体作为光栅产生衍射花样，从而反映晶体结构的特征。第47页，课件共73页，创作于2023年2月一、波的合成合成波（紫色）一般情况

若有两束波长相同，同一方向前进时，当位相差（或者光程差）为波长的整数倍时，其合成振幅增强且达最大值；当位相差（或者光程差）为半波长的奇数倍时，其合成振幅减弱且达最小值。强度相互加强的波之间的作用成为相长干涉，而强度相互减弱的波之间的作用成为相消干涉第48页，课件共73页，创作于2023年2月1劳厄（Laue）方程

首先考虑一行周期为a0的原子列对入射X射线的衍射。如图2.1所示(忽略原子的大小)，当入射角为α0时，在αh角处观测散射线的叠加强度。相距为a0的两个原子散射的X射线光程差为a0(cosαh

–

cosα0)，当光程差为零或等于波长的整数倍时，散射波的波峰和波谷分别互相叠加而强度达到极大值。光程差为零时，干涉最强，此时入射角α0等于出射角，衍射称为零级衍射。a0(cosαh

–

cosα0)=hλ.二、晶体衍射图2.1一行原子列对X射线的衍射第49页，课件共73页，创作于2023年2月h、k、l为衍射指数，非晶面指数晶体结构是一种三维的周期结构，设有三行不共面的原子列，其周期大小分别为a0、b0、c0，入射X射线同它们的交角分别为α0、β0、γ0，当衍射角分别为αh、βk、γl，则必定满足下列的条件:第50页，课件共73页，创作于2023年2月2.4布拉格方程

及讨论布拉格方程的导出布拉格方程的讨论CDBA单一原子面的反射AB

d反射面法线布拉格反射第51页，课件共73页，创作于2023年2月晶体的空间点阵可划分为一族平行且等间距的平面点阵（hkl），或者称晶面。同一晶体不同指标的晶面在空间的取向不同，晶面间距d(hkl)也不同。设有一组晶面，间距为d(hkl)，一束平行X射线射到该晶面族上，入射角为θ。对于每一个晶面散射波的最大干涉强度的条件应该是：入射角和散射角的大小相等，且入射线、散射线和平面法线三者在同一平面内（类似镜面对可见光的反射条件），这是产生衍射的必要条件。第52页，课件共73页，创作于2023年2月图2-11晶体对X射线的衍射QK-PR=Pkcosθ-Pkcosθ＝0，同层原子散射波干涉加强ML+NL=d’sinθ+d’sinθ=2d’sinθ第53页，课件共73页，创作于2023年2月布拉格定律2.2.1布拉格方程若（n=0,1,2,3,…)（2-14）则散射波位相完全相同，所以相互加强。式（2-14）被称为布拉格方程。

n－反射级数，n=1成为第一级反射。对一定的λ和d’，存在若干个θ1、θ2、θ3…分别对应于n=0,1,2,3,…。第54页，课件共73页，创作于2023年2月2.2.2X射线衍射（反射）与可见光反射的区别（1）X射线衍射是在晶体中所经路程上所有原子散射波干涉的结果；而可见光的反射是在极表面层上产生的，仅发生在两种介质的界面上。（2）单色X射线的衍射只有满足布拉格定律的若干个角度上产生衍射（选择衍射），而可见光的反射可以在任意角度产生。（3）可见光在良好的镜面上反射，效率可接近100％，而X射线衍射线的强度比起入射线强度却微乎其微。（4）本质上，X射线衍射是由大量原子参与的一种散射现象。第55页，课件共73页，创作于2023年2月§2-3布拉格方程的讨论一、产生衍射的条件因为所以但当λ太小时，θ太小不利分析。二、反射级数与干涉指数现只从一级反射来考虑，则布拉格方程可改写为：

将面间距为d’/n的假想晶面定义为干涉晶面，用不加圆括号的HKL表示，H=nh，K=nk，L=nl。第56页，课件共73页，创作于2023年2月下面重点讨论布拉格方程的意义。

①选择反射根据布拉格方程，我们把晶体对X射线的衍射看作为“反射”，并借用普通光学中“反射”这个术语。

X射线在晶体中的衍实质上是晶体中各原子散射波之间的干涉结果，只是由于衍射线的方向恰好等于原子面对射入射线的反射，所以才借用镜面反射规律来描述X射线的衍射几何。必须注意，X射线的原子面反射和可见光的镜面反射不同。一束可见光以任意角度透射到镜面上都可以产生反射，而原子面对X射线的反射并不是任意的，只有当λ、θ和d三者之间满足布拉格方程时才能发生反射，所以将X射线的这种反射称为选择反射。

②产生衍射的极限条件

从方程式中可以看出，由于sinθ不能大于1,因此nλ/(2d)=sinθ≤1,即nλ<2d。对衍射而言，n的最小值为1（n=0相当于透射方向上的衍射线束无法观测），所以在任何可观测的衍射角下，产生衍射的条件为λ<2d。这就是说，能够被晶体衍射的电磁波的波长必须小于参加反射的晶体中最大面间距的2倍，否则不会产生衍射。但是λ不能太小，否则衍射角也会很小，衍射线将集中在出射光路附近的很小的角度范围内，观测就无法进行。晶面间距一般在10埃以内，此外考虑到在空气中波长第57页，课件共73页，创作于2023年2月大于2埃的X射线衰减很严重，所以在晶体衍射工作中常用的X射线波长范围是0.5至2.5埃。当X射线的波长一定时，晶体中有可能参加反射的晶面族也是有限的，它们必须满足d>λ/2，即只有晶面间距大于入入X射线波长一半的晶面才能发生衍射。因此可以用这个关系来判断一定条件下所能出现的衍射数目的多少。

③反射级数

n为整数，称为反射级数。若n=1,晶体的衍射称为一级衍射，n=2则称为二级衍射，依此类推。如果我们把第n级衍射视为和晶面族hkl平行但间距为d／n的晶面的第一级衍射（依照晶面指数的定义，这些假想晶面的指数为nh，nk，nl，在n个这样的假想晶面中只有一个是实际晶体结构的一个点阵平面），于是布拉格方程可以简化表达为：和晶面族hkl平行但间距为d／n的晶面称为干涉面，干涉面的面指数HKL=nh，nk，nl称作干涉指数。

第58页，课件共73页，创作于2023年2月从图2-13可知，若AB+BC=2λ，则DE+EF=λ因此，2级（100）反射等同于1级200反射。例题1第59页，课件共73页，创作于2023年2月例题2实际操作中，通过改变θ角来测量多级反射。第60页，课件共73页，创作于2023年2月三、布拉格方程的应用结构分析：已知λ，测量θ，可求d，并通过一系列d值求得被测晶体的结构。X射线光谱学：已知d，测量θ，可求λ，从而确定被测试样的原子序数。第61页，课件共73页，创作于2023年2月四、衍射花样和晶体结构的关系

从布拉格方程可以看出，在波长一定的情况下，衍射线的方向是晶面间距d的函数。如果将各晶系的d值代入布拉格方程，可得：

由此可见，布拉格方程可以反映出晶体结构中晶胞大小及形状的变化，但是并未反映出晶胞中原子的品种和位置。立方晶系：正方晶系：斜方晶系：第62页，课件共73页，创作于2023年2月2.5衍射矢量方程和厄尔瓦德图解在描述X射线的衍射几何时，主要是解决两个问题：

1.产生衍射的条件，即满足布拉格方程；

2.衍射方向，即根据布拉格方程确定的衍射角2

。为了把这两个方面的条件用一个统一的矢量形式来表达，引入了衍射矢量的概念。倒易点阵中衍射矢量的图解法：厄尔瓦德图解.第63页，课件共73页，创作于2023年2月衍射矢量

如图所示，当束X射线被晶面P反射时，假定N为晶面P的法线方向，入射线方向用单位矢量S0表示，衍射线方向用单位矢量S表示，则S-S0为衍射矢量。

NS0SS-S0（衍射矢量图示）第64页，课件共73页，创作于2023年2月衍射