线性代数方程组的高斯消元法课件

其中未知量第i个方程第j个未知量xj的系数常数项全为0齐次线性方程组否则为非齐次线性方程组其中未知量第i个方程第j个常数项全为0齐次线性方程组否则为非1上述线性方程组表示成矩阵形式为系数矩阵未知量列向量常数项列向量问题：(1)方程组是否有解?(2)如果有解,它有多少解?如何求出它的所有解?为增广矩阵高斯消元法就是对方程组作初等变换,将其化成同解的阶梯形方程组.也就是对方程组的增广矩阵作初等行变换化成行阶梯形矩阵,再化为最简形,然后写出对应的解.上述线性方程组表示成矩阵形式为系数矩阵未知量列向量常数项列向2例1解线性方程组解初等行变换例1解线性方程组解初等行变换3原方程组与矩阵A对应的方程组同解,于是可得例2解线性方程组原方程组与矩阵A对应的方程组同解,于是可得例2解线性方程组4解初等行变换以A1的非零行为增广矩阵的线性方程组为可以看出,每给定x2一个值,唯一的求出x1,x3的一组值,而x2可取任意实数,所以方程组有无数解.自由未知量解初等行变换以A1的非零行为增广矩阵的线性方程组为可以看出,5方程组的所有解可表示为:自由未知量例3解线性方程组方程组的所有解可表示为:自由未知量例3解线性方程组6解初等行变换以为增广矩阵的线性方程组的最后一个方程为0=1这是一个矛盾方程,因此原方程组无解.综上所述,线性方程组的解有三种可能的情况:唯一解,无解,无穷多解.解初等行变换以为增广矩阵的线性方程组的最后一个方程为7一般地，给出线性方程组Ax=b，用初等行变换把其增广矩阵化为阶梯形矩阵.一般地，给出线性方程组Ax=b，用初等行8其中与之对应的阶梯形方程组为（3-21）其中与之对应的阶梯形方程组为（3-21）9方程组（3-21）和原方程组Ax=b

同解.对于方程组（3-21）的解分几种情况进行讨论.第一种：若dr+1=0且r=n时，去掉“0=0”形式的多余方程，方程组（3-21）具有形式（3-22）方程组（3-21）和原方程组Ax=b同解.对于方程组10由可莱姆法则，方程组（3-22）有唯一解.即原方程组Ax=b有唯一解.欲求此唯一解，可继续用初等行变换把阶梯形方程组（3-22）的增广矩阵化为行最简形矩阵.则Ax=b的唯一解为由可莱姆法则，方程组（3-22）有唯一解.11

在这种情况下，方程组的系数矩阵和增广矩阵都有n个非零行.矩阵A与矩阵A有相同的秩n.

总之，当R(A)=R(A)=n时，方程组Ax=b有唯一解，反之亦然.第二种情况:若dr+1=0,且r＜n时,由(3-20),对应的阶梯形方程组为(3-23)在这种情况下，方程组的系数矩阵和增广矩12把方程组(2-23)的增广矩阵进一步化为行最简形矩阵之后,可以得到(3-24)其中是自由未知量,共有(n-r)个,当这(n-r)个自由未知量取不同的值时,就得到方程组Ax=b

不同的解.若令把方程组(2-23)的增广矩阵进一步化为行最13其中为任意实数,则方程组Ax=b有无穷多解.并称(3-24)为原方程组的通解.此种情况,对于方程组(3-22)显然有＜n于是我们得出结论:＜n,若方程组Ax=b有无穷多解.第三种情况:若dr+1≠0,方程组(3-21)中出现矛盾方程0=dr+1,此时方程组(3-21)无解.对于方程组(3-21),这时有其中为任意实数,则方程组Ax=b有无穷多解.并称(314所以,有结论:若方程组Ax=b无解,反之亦然.总上,可得如下定理定理(线性方程组有解的判定定理)线性方程组Ax=b有解的充要条件是当＜n时,方程组有无穷多解;当＝n时,方程组有唯一解;当无解.所以,有结论:若方程组Ax=b无解,反之亦然.15推论1齐次线性方程组Ax=0一定有零解;如果R(A)=n,则只有零解;它有非零解的充分必要条件是R(A)＜n.

推论2若齐次线性方程组Ax=0中方程的个数小于未知量的个数,即m＜n

,则它必有非零解;若m=n,则它有非零解的充要条件是|A|=0.例4解齐次线性方程组推论1齐次线性方程组Ax=0一定有零解;如果R(A)16解对系数矩阵施行初等行变换化为最简形:r2-2r1r3-r1

r3-r2r2÷

(-3)

r1-2r2解对系数矩阵施行初等行变换化为最简形:r2-2r1r3-17由最简形矩阵得原方程组的同解方程组为由此可得x3,x4为自由未知量,可取任意实数.由最简形矩阵得原方程组的同解方程组为由此可得x3,x418令x3=c1,,x4=c2,写成向量形式为令x3=c1,,x4=c2,写成向量形式为19例5解齐次线性方程组解对增广矩阵A施行初等行变换r2-3r1r3-2r1例5解齐次线性方程组解对增广矩阵A施行初等行变换r2-3r120r3-r2R(A)=2,R(B)=3,故方程组无解.例6设有线性方程组问λ取何值时,此方程组(1)有唯一解;(2)无解;r3-r2R(A)=2,R(B)=3,故方程21(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.解(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.解22(1)当λ≠0且λ≠3时,R(A)=R(B)=3,有唯一解.(2)当λ=0时,R(A)=1,R(B)=2,方程组无解.(3)当λ=-3时,R(A)=R(B)=2＜3,有无穷多解.当λ=-3时(1)当λ≠0且λ≠3时,R(A)=R(B)=3,有唯一解.23由此可得通解(x3为自由未知量)由此可得通解(x3为自由未知量)24注本例中矩阵A是一个含参数的矩阵,由于λ+1,λ+3

等因子可以等于0,故不宜做诸如这样的变换.如果作了这种变换,则需对λ+1=0(或λ+3=0)的情形另作讨论.令x3=c(c为任意实数),得通解的向量形式为注本例中矩阵A是一个含参数的矩阵,由于λ+1,λ+325小结高斯消元法对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵，然后判断：（1）若方程组有唯一解，继续把阶梯形矩阵化为最简形求出其解；（2）若＜n方程组有无穷多解，把阶梯形化为最简形，(有n-r个自由未知量）求出其通解；1、非齐次线性方程组小结高斯消元法对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，化为阶梯26（3）若方程组无解.2、齐次线性方程组（1）一定有零解；若R(A)=n,只有零解;（2）有非零解的充要条件是R(A)＜n;（3）方程的个数小于未知量的个数，必