河北省保定市永宁中学高三数学文下学期期末试卷含解析

河北省保定市永宁中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.圆心为（0，1）且与直线y=2相切的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x+1）2+y2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．x2+（y+1）2=1参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意设圆方程为x2+（y﹣1）2=r2，由圆心到直线的距离得到半径r，代入即可得到所求圆的方程【解答】解：设圆方程为x2+（y﹣1）2=r2，∵直线y=2与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径r，∴r=1故圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1，故选：C3.已知集合，则集合A．

B．C．

D．参考答案：答案：

C4.已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调增区间为(

)A. B. C. D.参考答案：A由已知函数，则，解得，所以，令（），解得，当时，有.故选A.

5.函数的图象大致为参考答案：D6.在中，已知，，边上的中线，则

(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A7.若复数满足(其中为虚数单位)，则复数为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D8.设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则

（

）

A．1033

B．1034

C．2057

D．2058参考答案：A略9.若p是真命题，q是假命题，则A．p∧q是真命题

B．p∨q是假命题

C．﹁p是真命题

D．﹁q是真命题参考答案：D本题考查判断命题的真假，容易题。是真命题，则是假命题；是假命题，则是真命题，故应选D。10.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．参考答案：D根据几何体的三视图知,该几何体是底面为等腰直角三角形,高为的直三棱锥;

且该几何体的外接球球心在侧视图高上,如图所示;

设球心为,半径为,

则,

计算得出,

所以,几何体的外接球的体积为.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.体积为的正四棱锥S-ABCD的底面中心为O，SO与侧面所成角的正切值为，那么过S-ABCD的各顶点的球的表面积为 .参考答案：16π

；如图，取的中点为，连接，则为与侧面所成的角，由.可设，则，故，得，，，设球半径为，则，即，解得，.12.已知函数将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________．参考答案：13.当函数取得最大值时，

.参考答案：14.数列的前n项和，则

▲

.参考答案：-1略15.已知集合，集合，则

．参考答案：

16.函数（）的反函数是

.参考答案：

17.在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则

．参考答案：,由题意知三角形为等腰直角三角形。因为是斜边上的一个三等分点，所以，所以，所以，，所以。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若对任意a、b、c∈R（a≠c），都有f（x）≤恒成立，求x的取值范围；（2）解不等式f（x）≤3x．参考答案：【考点】：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：（1）根据|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣c|，可得≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，由此求得x的范围．（2）不等式即|2x﹣1|≤3x，可得，由此求得不等式的解集．解：（1）∵|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣b+（b﹣c）|=|a﹣c|，故有≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，∴﹣1≤2x﹣1≤1，求得0≤x≤1．（2）不等式f（x）≤3x，即|2x﹣1|≤3x，∴，求得x≥，即不等式的解集为{x|x≥}．【点评】：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．19.（本小题满分12分）

设等比数列{}的前n项和为，已知

(I)求数列{}的通项公式；(Ⅱ)在与之间插人n个数，使这n+2个数组成公差为的等差数列，求数列{}的前n项和．参考答案：略20.已知数列满足：数列满足。(1)若是等差数列，且求的值及的通项公式；(2)当是公比为的等比数列时，能否为等比数列？若能，求出的值；若不能，请说明理由.参考答案：（2）数列不能为等比数列.

…8分，

………10分假设数列能为等比数列，由，

………………12分，此方程无解，数列一定不能为等比数列.………14分21.已知函数.（其中e为自然对数的底数）（1）若恒成立，求ab的最大值；（2）设，若存在唯一的零点，且对满足条件的a，b不等式恒成立，求实数m的取值集合.参考答案：（1）；（2）．【分析】（1）就三种情况利用导数讨论的单调性及其相应的最小值后可得：时，成立，时，成立，对后一种情况构建新函数，利用导数可求的最大值即可.（2）求出，它是一个减函数且值域，故存在唯一的零点，再由题设条件可以得到，，用表示后可把不等式化为，构建新函数，就两类情况利用导数讨论函数的单调性后可得实数的取值，注意后者的进一步讨论以与的大小为分类标准.【详解】（1），当时，，在上单调递增，取，当时，矛盾；当时，，只要，即，此时；

当时，令，，所以在单调递增，在单调递减，，所以，即，此时，令，，令，，当，，在上为增函数；当，，在上为减函数．所以，所以，故的最大值为．

（2）在单调递减且在的值域为，设的唯一的零点为，则，，即所以，，由恒成立，则，得在上恒成立．

令，，．

若，，在上为增函数，注意到，知当时，，矛盾；当时，，为增函数，若，则当时，，，为减函数，所以时，总有，矛盾；若，则当时，，，为增函数，所以时，总有，矛盾；所以即，此时当时，，为增函数，，当时，，为减函数，而，所以有唯一的零点.综上，的取值集合为．【点睛】含参数的函数不等式的恒成立问题，可以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到新函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.也可以考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的值域问题.函数的零点问题，可利用导数讨论函数的单调性，再结合函数已有的零点来讨论参数的取值.22.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=8，BC=5，AA1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH，且A1E=D1F=2，AH=DG=5．（1）求截面EFGH把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．参考答案：【考点】MI：直线与平面所成的角；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，转化求解体积推出结果即可．（2）解法一：作AM⊥EH，垂足为M，证明HG⊥AM，推出AM⊥平面EFGH．通过计算求出AM=4．AF，设直线AF与平面α所成角为θ，求解即可．解法二：以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面α一个法向量，利用直线AF与平面α所成角为θ，通过空间向量的数量积求解即可．【解答】（本题满分，第1小题满分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，，…，…所以，．…（2）解法一：作AM⊥EH，垂足为M，由题意，HG⊥平面ABB1A1，故HG⊥AM，所以AM⊥平面EFGH．

…因为，，所以S△AEH=10，）因为EH=5，所以AM=4．

…又，…