湖南省常德市太青中学2022年高一数学理下学期期末试题含解析

湖南省常德市太青中学2022年高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.且则cos2x的值是（）A、

B、

C、

D、参考答案：B2.已知，，，则的大小关系是（

）。A、

B、

C、

D、参考答案：D略3.在平行四边形ABCD中，BD为一条对角线，若，(－3,－5）则(

)A．（－2，－4）

B．(1,3)

C．（3，5）

D．（2，4）参考答案：B4.已知α，β是平面，m，n是直线．下列命题中不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β=n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，m?β，则α⊥β参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，根据两条平行线中一条垂直某平面，另一条也垂直这平面可判定；B，若m∥α，α∩β=n，则m∥n或异面，；C，根据线面垂直的性质、面面平行的判定判定；D，根据面面垂直的判定；【解答】解：对于A，根据两条平行线中一条垂直某平面，另一条也垂直这平面可判定A正确；对于B，若m∥α，α∩β=n，则m∥n或异面，故错；对于C，根据线面垂直的性质、面面平行的判定，可知C正确；对于D，根据面面垂直的判定，可D正确；故选：B5.在半径为的圆中，圆心角为的角所对的圆弧长为（

）

30参考答案：C6.一条直线经过点,被圆截得的弦长等于8,这条直线的方程为().

A．

B．

C．

D．参考答案：D7.对任意，函数的值恒大于0，则x的范围是（

）

A.或

B.

C.或

D.参考答案：C8.（5分）设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（） A． 0 B． 1 C． D． 5参考答案：C考点： 函数奇偶性的性质；函数的值．专题： 计算题；压轴题；转化思想．分析： 利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．解答： 由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．点评： 本题考查抽象函数求值的方法，考查函数性质在求函数值中的应用，考查了抽象函数求函数值的赋值法．灵活运用已知条件赋值是迅速解决本题的关键，考查学生的转化与化归思想．9.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（） A．8πcm2 B．12πcm2 C．16πcm2 D．20πcm2参考答案：B【考点】球内接多面体；球的体积和表面积． 【专题】计算题． 【分析】由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长，求出正方体的对角线长，即可求出球的表面积． 【解答】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R， R=，S=4πR2=12π 故选B 【点评】本题是基础题，考查正方体的外接球的不面积的求法，解题的根据是正方体的对角线就是外接球的直径，考查计算能力，空间想象能力． 10.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16。当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为

参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.高一（1）班共有50名学生，在数学课上全班学生一起做两道数学试题，其中一道是关于集合的试题，一道是关于函数的试题，已知关于集合的试题做正确的有40人，关于函数的试题做正确的有31人，两道题都做错的有4人，则这两道题都做对的有人．参考答案：25【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】设这两道题都做对的有x人，则40+31﹣x+4=50，由此可得这两道题都做对的人数．【解答】解：设这两道题都做对的有x人，则40+31﹣x+4=50，∴x=25．故答案为25．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查集合知识，比较基础．12.已知当时，函数取最大值，则函数图象的一条对称轴为

参考答案：解析：∵当时，函数取最大值，∴解得：，∴，∴是它的一条对称轴。13.数列中，若，，则该数列的通项公式

参考答案：

略14.设，，，，则按从大到小的顺序是

.（用“＞”号连接）参考答案：∵，∴；∵为锐角，故，又．∴．答案：

15.下列命题中：①若，则的最大值为2；②当时，；③的最小值为5；④当且仅当a，b均为正数时，恒成立.其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)参考答案：①②【分析】根据均值不等式依次判断每个选项的正误，得到答案.【详解】①若，则的最大值为，正确②当时，，时等号成立，正确③最小值为，取错误④当且仅当均为正数时，恒成立均为负数时也成立.故答案为①②【点睛】本题考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具体含义是解题的关键.16.已知集合，集合，则集合中元素的个数为

．参考答案：18

17.设f（x）=ax5+bx3+cx﹣5（a，b，c是常数）且f（﹣7）=7，则f（7）=

．参考答案：﹣17【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据已知可得f（x）+f（﹣x）=﹣10，结合f（﹣7）=7，可得答案．【解答】解：∵f（x）=ax5+bx3+cx﹣5，∴f（﹣x）=﹣ax5﹣bx3﹣cx﹣5，∴f（x）+f（﹣x）=﹣10，∵f（﹣7）=7，∴f（7）=﹣17，故答案为：﹣17．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（1）已知集合A={x|3＜x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求A∪B，A∩B，?RA（2）计算下列各式①②（2ab）（﹣6ab）÷（﹣3ab）参考答案：【考点】交、并、补集的混合运算；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】（1）根据集合的交并补的定义计算即可，（2）①根据对数的运算性质计算即可，②根据幂的运算性质计算即可．【解答】解（1）：∵A={x|3＜x＜7}，B={x|2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}，A∩B={x|3＜x＜7}，?RA={x|x≤3或x≥7}（2）①===6，②==4ab0=4a．19.(本小题满分10分)已知{an}为等差数列，前n项和为，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）记数列，求{cn}的前n项和Tn.参考答案：解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.由，可得①.由，可得②，联立①②，解得，，由此可得.所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.（2）分组求和：

20.某家用轿车的购车费9.5万元，保险费、保养费及换部分零件的费用合计每年平均4000元，每年行车里程按1万公里，前5年性能稳定，每年的油费5000元，由于磨损，从第6年开始，每年的油费以500元的速度增加，按这种标准，这种车开多少年报废比较合算？参考答案：20【分析】设这种车开年报废比较合算，当时，总费用为，平均费用：，当，即时，取最小值．当时，平均费用：，由此得到这种车开20年报废比较合算．【详解】设这种车开年报废比较合算，当时，总费用为：，平均费用：，当，即时，取最小值．当时，平均费用：．∴这种车开20年，平均使用费用最低，故这种车开20年报废比较合算．【点睛】本题考查函数在生产生活中的应用，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．21.（14分）sinα，cosα为方程4x2﹣4mx+2m﹣1=0的两个实根，，求m及α的值．参考答案：考点： 根与系数的关系；同角三角函数间的基本关系．专题： 计算题．分析： 通过根与系数的关系，得到正弦和余弦之间的关系，又由正弦和余弦本身有平方和为1的关系，代入求解，注意角是第四象限角，根据角的范围，得到结果．解答： sinα，cosα为方程4x2﹣4mx+2m﹣1=0的两个实根∴，且m2﹣2m+1≥0代入（sinα+cosα）2=1+2sinα?cosα，得，又，∴，，∴，又∵，∴．答：，点评： 本题考查根与系数的关系与同角的三角函数之间的关系，本题解题的关键是需要自己根据条件写出关于正弦和余弦的关系式，然后根据正弦和余弦本身具有的关系和角的位置求出结果，本题是一个中档题目．22.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、AD的中点．（1）求证：EF平行平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1（3）求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）推导出EF∥BD，BD∥B1D1，从而EF∥B1D1，由此能证明EF∥平面CB1D1．（2）推导出B1D1⊥A1C1，AA1⊥B1D1，由此能证明平面CAA1C1⊥平面CB1D1．（3）由AA1⊥底面ABCD，得∠A1CA是直线A1C与平面ABCD所成角，由此能求出直线A1C与平面ABCD所成角的正切值．【解答】证明：（1）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵E、F分别为棱AB、AD的中点，∴EF∥BD，∵BD∥B1D1，∴EF∥B1D1，∵EF?平面CB1D1，B1D1?平面CB1D1，∴EF∥平面CB1D1．（2）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形A1B1C1D1是正方形，∴B1D1⊥A1C1，AA1⊥B1D