一元二次方程学习要点总结

一元二次方程学习重点总结“一元二次方程”学习重点一、本章知识结构、知识结构梳理一元二次方程的定义直接开方法二元二次方程配方法公式法因式分解法一元二次方程的实质问题一元二次方程解法根的鉴别式一元二次方程的应用根与系数的关系二次三项式的可化为一元二次方程的方程因式分解列方程解应用题可化为一元二次方程的分式方程及应用、定理公式总结一元二次方程的一般形式为一元二次方程≠≠的求根公式：一元二次方程的根的鉴别式：△。原载于《教材全程全解同步精讲精练》初三代数全一册，中国少年少儿第一版社年月。一元二次方程学习重点总结一元二次方程的根的鉴别式定理：△＞方程有两个不相等的实数根；△＝方程有两个相等的实数根；△＜方程没有实数根；△≥方程有两个实数根。一元二次方程根与系数的关系定理：假如一元二次方程≠的两个实数根是，，那么推论：假如方程，推论：以，为根的一元二次方程（二次项系数为的两个实数根是，，那么）是：二次三项式因式分解公式：，是一元二次方程。此中≠的两个根。求一元二次方程两根，的对称式的值，常用公式：①；②二、数学规律总结、我们已学过的方程和方程组有整式方程（一元一次方程，一元二次方程）、分式方程，二元一次方程组，二元二次方程组，它们都属于代数方程中的有理方程。在我们学过的方程中，一元一次方程和一元二次方程是解方程（组）的最基本的知识和技术。娴熟地解一元一次方程和一元二次方程是解代数方程（组）的重点和前提，所以，我们一定将这部分知识扎实地学好。、本章介绍了一元二次方程的四种解法——直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。此中公式法对于任何一个一元二一元二次方程学习重点总结次方程都合用，是解一元二次方程的通法，掌握用公式法求一元二次方程根的方法，重点是要正确理解公式的详细推导过程（即配方法），充足认识该知识的产生过程和前因后果，而后要坚固记着公式的形式、结构和内涵，用公式求方程的根时，就是运用二次根式的有关知识求两个二次根式的值。但是，在解一元二次方程时，应详细剖析方程的特色，选择适合的方法，以使解题过程简易。一般地，一元二次方程解法的选择次序是：先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法，配方法是推导求根公式的工具，掌握公式法以后，就能够直接用公式法解一元二次方程了。所以，解一元二次方程一般不用配方法（除题目中要求用配方法解方程外），但配方法除了用于推导一元二次方程的求根公式之外，在学习其余数学内容时，也有宽泛的应用，所以配方法是一种很重要的数学方法，我们必定要正确理解配方的企图，掌握配方的方法，把这部分知识学勤学活。、二次三项式在实数范围能够分解的条件≥、一元二次方程有实根的条件≥三、思想方法总结、转变思想在本章中，“转变”思想象一条红线贯串于一直。解一元二次方程需转变成一元一次方程；解分式方程需转变成整式方程；解二元二次方程组需转变成二元一次方程组或一元二次方程。在实数范围内二次三项式的因式分解，需将之转变成解对应的一元二次方程的问题来解决，其余方程中字母系数确实定也是经过转变为解方程问题而解决的。详细转变过程及转变方法以以下图所示：一元二次方程学习重点总结整式方程一元一次方程因式分解降次去分母整式化一元二次方程整式方程代入法消元“—”型因式分解降次二元二次方程组“—”型转变思想是初中数学中常有的一种数学思想，它的应用十分宽泛，我们在解数学题时，经常运用转变思想，将复杂问题转变成简单的问题，将生分的问题转变成熟习的问题。、方程思想在解数学计算时，常常经过已知和未知的联系，成立起方程或方程组，经过解方程或方程组，求出未知量的数值，进而使问题得以解决，这种经过列方程交流已知和未知联系的数学思想，往常称为方程思想。方程思想在本章主要表此刻列方程组解应用题、利用鉴别式和韦达定理确立一元二次方程中待定系数字母系数、二次三项式的因式分解、利用根与系数关系解形如的“Ⅱ—Ⅰ”型方程组等。、公式化与分类议论的思想在数学中，对那些有规律可循“成型的”数学识题，我们总一元二次方程学习重点总结希望找到一个公式，在解题时，只需把已知数代进去，就能够求出问题的结果结论，进而达到正确、高速解决该“模块”的目的。如圆面积公式，梯形面积公式，由时间和速度求距离的公式等等，在这个思想指导下，我们经过配方，求出了一。元二次方程的求根公式但是，在我们的公式中，有一个二次根式，它的被开方数为△，当△≥时，根式存心义，公式才能成立，才能应用；那么，当△＜时，公式就不可以用了。这时，说明什么问题？方程≠没有根吗？不可以这样说，因为公式的推导过．程已经表示，只有在△≥时，才能获得求根公式，也就是说，只有△≥时，才可用求根公式法解一元二次方程，求出实数根。若△＜时，不可以用公式务实数根，或许能够用其余方法求出来。．．．这就提出了一个问题：可否在不解方程的状况下，判断方程能否有实数根？经过认真剖析配方过程，终于弄清了“△”对鉴别一元二次方程实数根的作用：对于方程≠来说，记△，那么：；若△＞，则方程有不相等的实数根．．．若△，则方程有两个相等的实数根；．．．若△＜，则方程没有实数根。．．．反之亦然因为△＞，△，△＜，是对△值的完整的分类，它同方程有不等实根，有相等实根和没有实根也是对方程根的状况是完全分类三种状况一一对应，这就为分类议论打下了基础。其余，我们在遇有含有字母的方程时，我们要对字母系数分状况进行讨论，再依据各情况的知识进行研究探究、求解等等。前面已举例一元二次方程学习重点总结分类议论是数学中重要的思想方法，我们必定要注意领会该思想方法，累积自己的数学修养。⑷本章所应用的数学方法主要有：①代入消元法；②因式分解降次法；③换元法；④配方法。代入消元法和分解降次法主要表此刻解二元二次方程组；换元法主要表此刻解可化为一元二次方程的分式方程和二次三项式的因式分解；配方法主要表此刻利用配方法解一元二次方程、一元二次方程的求根公式的推导、一元二次方程根的鉴别式的应用、一元二次方程根与系数的关系的应用等。四、解题方法指导、察看与剖析的思想方法“察看”和“剖析”是解数学题中宽泛使用的基本思想方式，不论是解一元二次方程，分式方程及二元二次方程组，都离不开深入地察看和剖析。解一元二次方程的察看和剖析①解形如≥的方程，应采纳直接开平方法，先根据平方根意义得±，再移项，得方程的根为②解形如的方程，可依据“几个因式的积为零，那么这几个因式中起码有一个因式为零”的状况，则可能化为或获得方程的根为。③除了上述两种形式的非一般式的一元二次方程，一般应先化成一般形式≠后再解，对于简单分解的，用因式分解法解，对于不易因式分解的，再用公式法解。比如采纳适合的方法解以下方程一元二次方程学习重点总结⑴⑵⑶⑷剖析：经过对供给的方程进行察看和剖析易获得下述结论：⑴用直接开平方法较简单；⑵是两个因式的积为，可直接写出；⑶将之化为一般形式为，则可用因式分解法解较简单；⑷化为一般形式为，因不易分解、故可用公式法解较适合。解分式方程的察看与剖析“转变”是解分式方程以及高次方程等比较复杂的方程基本思想。那么，怎样实现转变呢？这就要求我们依据供给的分式方程的式结构进行察看和剖析，追求出比较适合的求解方法。将分式方程转变成整式方程的方法是“去分母法”，实行这一方法的操作流程是将原方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。但是，经过转变后的方程有时会是一个高次方程，到当前为止，我们还没有找到解高次方程的一般方法，所以，可依据分式方程的“式结构”特色，采纳特别的解法——换元法。在使用换元法解分式方程时，要注意有些方程换元的特色比较明显，有些却不明显，需要做适合的变形，方可显现出换元的特色，以以下方程：⑴⑶⑵⑷剖析：上述方程中，⑴和⑵具备直接换元的条件，此中⑴设可转变成；⑵设⑶要将方程中转变成，设，则原方，可转变成；一元二次方程学习重点总结程可变成，则与的关系，若设；⑷要注意掌握，∴，则原方程变成：解二元二次方程组的察看与剖析我们所学习的二元二次方程组可分为两种种类：第一种类即“Ⅱ—Ⅰ”型，指的是由一个二元一次方程和一个二元二次方程构成的方程组，这种方程组的一般解法是“代入消元法”，第二种类即“Ⅱ—Ⅱ”型，指的是由两个二元二次方程构成的方程组，这种方程组的一般解法是“分解降次法”，经过分解降次，可将第二种类转变成第一种类，再用代入消元法来解。所以，我们在解二元二次方程组时，必定要认真察看和剖析方程组中每个方程的种类和特色，采纳“因材施教”的解题策略，追求最适合的求解方法。比以以下方程组：⑵⑴⑷⑶剖析：⑴属“Ⅱ—Ⅰ”自然用代入消元法来解；⑵属“Ⅱ—Ⅰ”则可用代入消元法来解，但是⑵中的第个方程可进行因式分解，则又可用“分解降次”法来解要注意“Ⅱ—Ⅰ”型有时也可用“分解降次”法来求解；⑶属“Ⅱ—Ⅱ”型，则可用“分解降次”，自然也可用两边开平方法将之“裂变”为四个二元一次方程组来解；⑷属“Ⅱ—Ⅱ”型，但只有第一个方程能用因式分解，则只可用“分解降次”法，将之“裂变”为两个“Ⅱ—Ⅰ”来解。、剖析与结构的思想方法一元二次方程学习重点总结对于形如的方程组，可用“韦达定理法”来解，即把、看作一元二次方程的两个根，解这个一元二次方程便可求得方程组的解。其策略是依据“式结构”奇妙地构造出一个一元二次方程，而后经过解这个一元二次方程的方法达到解方程组的目的。利用韦达定理解某些拥有上述特别形式的二元二次方程组，能够使问题化难为易，化繁为简，察看以下方程组：⑴⑵⑶⑷这些方程组都能够用韦达定理法求解，有的可直接结构方程，有的需要做适合的变形后，再结构出一元二次方程。如，方程组⑴可直接结构以、为根的一元二次方程而后结构出以和；方程组⑵先变形为；方程组⑶，先变形为为根的一元二次方程再结构以、为根的方程；方程组⑷，、为根的方程先变形为再结构以或而后分别结构以、为根的方或者变形为程或一元二次方程学习重点总结、剖析与综合的思想方法“剖析”和“综合”是两种基本的思想方法，在数学中有着特别重要的作用。“剖析”就是把事物的整体分解成若干个构成部分，并对各个部分分别进行观察；“综合”就是把事物的各个部分联络成一个整体，并从整体上加以研究，“先剖析后综合”这是人们认识事物的一条基本门路，也是解数学题的一种常用的手段。数学综合题，能够当作是由几个互联有关的“小题目”构成的一个“大题目”。解数学综合题时，应该先对综合题进行“剖析”——把它分解成几个互有关系的“小题目”，并逐个解答这些“小题目”，再把“剖析”所得的结果“综合”起来，进而求得综合题的答案。例如：·济南中考已知方程组的两个解为且是两个不相等的正数。⑴求的取值范围若，求的值。剖析：这是一道既波及到方程组，又波及到一元二次方程根的鉴别式，根与系数关系的综合题，它能够分解成以下个“小题目”：⑴方程组可转变成一个什么样的一元二次方程？⑵若，为转变成的一元二次方程的两根，且≠，求待定参数的范围；⑶若，为转化为一元二次方程的两根，且，求待定参数的值。从上例能够看出，解数学综合题的过程，往常也是一个“先剖析后综合”的过程。一元二次方程学习重点总结五、综合题例剖析例·北京市中考题已知：对于的方程的两个实数根是且假如对于的另一个方程的两个实数根都在和之间，求的值。剖析：第一依据的两根，知足的条件，将参数的值求出而后依据的值，将双方程的根分别求出来，最后作出判断。解∵，是方程∴，·的两个实数根，∵∴∴解得⑴当时，方程为，则，，方程为，则∵，不在和之间∴不合题意，舍去。⑵当时，方程则，为方程则’’∵＜＜＜为即＜’＜’＜∴知足题意综合和，评注本题事实上就是依据题中给出的一个条件，运用根与系数的关系，求参数值的问题，可是本题已将该题型拓展延长为判断两个方程根的大小范围问题了。所以，我们在审题中，必定要有“慧眼识真金”的本事，擅长将供给的“新”问题，经过一元二次方程学习重点总结剖析、类比、综合等思想方式，转变到我们已经会解决的“老”问题上来。例已知对于的方程（）求证：不论取什么实数时，这个方程总有两个实数根；（）若等腰三角形的一边长，此外两边的长、恰巧是这个方程的两个根，求△的周长。剖析（）要证一个一元二次方程有两个实根，只需要证明鉴别式△≥即可；（）有关等腰三角形问题，若未指明腰和底边时，要进行议论，所以，本题对是等腰三角形的底边仍是等腰三角形的一腰要进行分类议论。×解（）△∵不论取何值时，≥，即△≥。∴不论取何值时，这个方程有两个实数根⑵①当是等腰三角形底边时，这时、即为等腰三角形两腰，则∴方程有两个相等的实数根。则△原方程即为当时，这与“三角形中两边之和大于第三边”相矛盾，故不行能是此等腰三角形的底边②当是等腰三角形的腰时，这时，、中起码有一个值为，把代入原方程中，，则原方程为两根为，，即、两边一边为，另一元二次方程学习重点总结一边为，切合三角形三边之周关系，这时△的周长为评注⑴要判断二次三项式的值的正负性，往常采纳配方法，利用完整平方式的非负性来确立。⑵因为本题中的、、的值是三角形三边的长，一定满面足“两边之和大于第三边”不然就不可以构成三角形的三边。⑶在遇有等腰三角形的问题时，若未指明谁是腰，谁是底边时，一般要用分类议论法解决问题。例已知对于的一元二次方程的两个实数根为，⑴若此方程的两根之和不大于两根之积，求的值。⑵若，求的值。剖析⑴利用根与系数关系成立对于的不等式，由完整平方式的非负性，求出的值。注意，最后必定要注意鉴别式的值为非负数。⑵第一利用根的定义，对进行降次办理，把所求代数式转成化对于两根对称式的代数式，再利用根与系数的关系求出值来。解⑴∵，为方程两根∴据题意，得·≤即≤∴≤≤，则当时，原方程为△＞一元二次方程学习重点总结∴所求的值为⑵当时，方程。为，、为方程两负数根。由方程根的意义有：即由根与系数关系有：·则·×评注求对于一元二次方程的两根的代数式的值，假如代数式是对于两根的对称式，先把这个代数式经过变形化成两根之和及两根之积的形式，再把由根与系数的关系所得的两根之和及两根之积的值代入即可；假如代数式不是两根的对称式，则由根的定义，经过对此中的次数为二次或二次以上的根用代入法进行降次，直到化为两根的对称式为止。一句话，就是用根的定义，将非轮换对称式转变成换对称式来解决，这也表现了“转变与化解”的数学思想方法。例已知、、是△的三边，、的值是方程的两个实根，且知足求证△是直角三角形；一元二次方程学习重点总结求、、三边的长。剖析题中只给出了、的长是已知方程的两根。所以，依据根与系数的关系，经过探究出三角形三边、、的关系，故可运用勾股定理的逆定理来证明△为直角三角形。在已证了然△为直角三角形的前提下，则只能够用三角函数来表示边间的关系，依据边间关系及根与系数的关系，可求出、、的值。解∵、是方程∴的两根∵即∴△为直角三角形∵且∴·，设，则将，，代入∴∴，，。评注确立一个三角形为直角三角形一般从边和角这两个方面去判断，本题因为没有供给角的关系，固然供给了三角函数，但三角函数关系式也只好在直角三角形中使用本题自己就是要我们证明此三角形为直角三角形，故本题若选择从角的方面来判断该三角形是行不通的，而本题已知边与方程根的关系，若运用根与系数的关系式，故可从边的角度来判断该三角形为直角三一元二次方程学习重点总结角形。在直角三角形中，要注意用三角函数把问题转变成纯边或纯角的关系式来解决问题，本题要求的是三角形的三边，则我们能够经过三角函数的关系式，将问题转变纯边来解决。在解题过程中，遇有边边之比的问题，则可引进比率系数这个参数，要求三边，则即求比率系数。例若、是实数，对于的方程等的实根。有三个不相求证：若该方程三个不相等实根恰巧为一个三角形内角的度数，求证该三角形必有一内角是°。若该方程三个根恰为向来角三角形三边，求、。由绝对值观点可得两个一元二次方程，有三个不剖析相等的实数根，说明获得的两个方程中此中有一个方程有两个相等的实数根，或获得的两个方程中，必有一个公共的实根。由三角形内角之和为°和根与系数的关系可求得必有一根为。先判断出直角三角形的斜边是第哪一个方程的根，再由勾股定理成立方程来求解。解证明：∵∴明显方程①②①和②不