线性代数总结汇总+经典例题

线性代数总结汇总+经典例题矩阵A的逆矩阵是指存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。4、求逆的方法：（1）初等变换法：将A通过初等行变换或初等列变换化为单位矩阵，此时A的逆矩阵就是进行相同变换的单位矩阵；（2）伴随矩阵法：求出A的伴随矩阵Adj(A)，然后用A的行列式|A|除以Adj(A)即可得到A的逆矩阵；（3）高斯-约旦消元法：将A和单位矩阵拼接成一个增广矩阵，然后进行高斯-约旦消元，最终得到的左半部分就是A的逆矩阵。（三）特殊矩阵5、对称矩阵：A的转置等于A；6、反对称矩阵：A的转置等于-A；7、正交矩阵：A的转置等于A的逆矩阵；8、单位矩阵：主对角线上元素为1，其余元素为0的矩阵，用I表示。（四）矩阵的秩9、矩阵的秩：矩阵A的秩是指A的行（列）向量组的秩，用r(A)表示；10、求矩阵的秩：（1）初等行变换法：将A通过初等行变换化为行最简阶梯型矩阵，此时A的秩就是非零行的个数；（2）转置法：r(A)=r(AT)；（3）行列式法：r(A)=A的最高阶非零子式的阶数；（4）特殊矩阵法：对称矩阵的秩等于其非零特征值的个数，反对称矩阵的秩一定是偶数，正交矩阵的秩为1或-1，单位矩阵的秩为n。19、Schmidt正交化给定线性无关的向量组α1，α2，α3，需要将其正交化为向量组β1，β2，β3。（1）正交化：令β1=α1，β2=α2-projβ1α2，β3=α3-projβ1α3-projβ2α3，其中projβiαj表示向量αj在向量βi上的投影。（2）单位化：将β1，β2，β3分别除以它们的模长，得到单位向量组e1，e2，e3。18、坐标变换公式给定向量γ在基α1，α2，…，αn和基β1，β2，…，βn下的坐标分别为x和y，即γ=x1α1+x2α2+…+xnαn=y1β1+y2β2+…+ynβn。则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x，其中C是从基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的过渡矩阵，C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）。（六）Schmidt正交化给定线性无关的向量组α1，α2，α3，需要将其正交化为向量组β1，β2，β3。（1）正交化：令β1=α1，β2=α2-projβ1α2，β3=α3-projβ1α3-projβ2α3，其中projβiαj表示向量αj在向量βi上的投影。（2）单位化：将β1，β2，β3分别除以它们的模长，得到单位向量组e1，e2，e3。对于n阶矩阵A，如果存在可逆矩阵P和对角矩阵D，使得A=PDP-1，其中D的主对角线元素为A的n个特征值，P的列向量为A的n个线性无关的特征向量，则称A可相似对角化。10、相似对角化的条件：矩阵A可相似对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。11、相似对角化的步骤：（1）求出A的n个特征值λ1，λ2，…，λn，并求出每个特征值所对应的特征向量α1，α2，…，αn。（2）将n个特征向量组成可逆矩阵P=[α1，α2，…，αn]，则P-1存在。（3）构造对角矩阵DD=diag（λ1，λ2，…，λn），则D=P-1AP。12、特殊情况：（1）若A有n个互不相同的特征值，则A可相似对角化。（2）若A有重特征值，但每个特征值的线性无关的特征向量数与其重数相等，则A可相似对角化。（3）若A有重特征值，但每个特征值的线性无关的特征向量数小于其重数，则A不可相似对角化。两个矩阵A和B称为合同矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P^TAP=B。7、性质：（1）合同矩阵具有相同的秩、正惯性指数和负惯性指数。（2）如果A和B是合同矩阵，则A和B的特征值相同，但特征向量不一定相同。（3）如果A和B是合同矩阵，则A和B的行列式相同。8、判定方法：（1）行列式法：A和B是合同矩阵，当且仅当它们的行列式相等。（2）矩阵秩法：A和B是合同矩阵，当且仅当它们的秩相等。9、应用：合同矩阵在二次型的研究中有重要应用，可以通过合同变换将二次型化为规范形，便于研究其性质。同时，合同矩阵还可以用于矩阵的相似对角化和正交相似对角化的研究。A、B均为n阶实对称矩阵。如果存在可逆矩阵C，使得B=CTAC，则称A与B合同。总结：n阶实对称矩阵A、B的关系如下：（1）A、B相似（B=P-1AP）当且仅当它们有相同的特征值。（2）A、B合同（B=CTAC）当且仅当它们有相同的正负惯性指数和相同的正负特征值的个数。（3）A、B等价（B=PAQ）当且仅当它们的秩相等。注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价。正定二次型与正定矩阵：正定的定义：对于二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx>0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。n元二次型xTAx正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n。（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=CTC或CTAC=E。（3）A的特征值均大于0。（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）。n元二次型xTAx正定必要条件：（1）A的对角线元素都大于0。（2）A的行列式大于0。总结：二次型xTAx正定判定（大题）：（1）A为数字：顺序主子式均大于0。（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：AT=A；②再由定义或特征值判定。重要结论：（1）若A是正定矩阵，则kA（k>0），Ak，AT，A-1，A*正定。（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定。线性代数行列式经典例题：例1：计算元素为aij=|i－j|的n阶行列式。解法1：由题设知，a11=0，a12=1，a1n=n-1。故Dn=1(1-n+1)(n-2)!∑(-1)^(n-1+i+j)(i-j+1)!(n-i-j)!i=2,3,...,nj=1,2,...,n-1其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行。第二步用的每列加第n列。解法2：Dn=1(1-n+1)(n-2)!∑(-1)^(i+j)(i-j+1)!(n-i-j)!i=1,2,...,n-1j=2,3,...,n例2：设a，b，c是互异的实数，证明：det\begin{bmatrix}1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{bmatrix}=(b-a)(c-b)(c-a).证明：考察范德蒙行列式：det\begin{bmatrix}1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{bmatrix}=(b-a)(c-b)(c-a)det\begin{bmatrix}1&a&a^2\\0&b-a&b^2-a^2\\0&c-a&c^2-a^2\end{bmatrix}行列式即为y2前的系数。于是det\begin{bmatrix}1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{bmatrix}=(b-a)(c-b)(c-a)所以，det\begin{bmatrix}1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{bmatrix}=(b-a)(c-b)(c-a)。例3：计算Dn=det\begin{bmatrix}x&a&0&\cdots&0\\a&x&a&\cdots&0\\0&a&x&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&x\end{bmatrix}。解法：利用行列式的性质，把第1列加到第2列上，再把第2列加到第3列上，以此类推，最后得到对角线为x+(n-1)a，x+(n-2)a，...，x的矩阵，因此Dn=(x+(n-1)a)(x+(n-2)a)...(x+a)x=x^n+a(1+2+...+n-1)x^(n-1)+a^2(1^2+2^2+...+(n-1)^2)x^(n-2)+...+a^(n-1)x。注意：本文中的“△”应为“∆”。解题思路：本题给出了四种方法来计算行列式，需要逐一进行分析，找出正确的方法。解题步骤：1.递推法展开，得到Dn的表达式；2.利用性质将行列式化为上三角行列式，得到Dn的表达式；3.按列展开，得到Dn的表达式；4.按行展开，得到Dn的表达式。解题过程：首先，需要对原文进行格式调整和错误修正，同时删除明显有问题的段落，得到如下文章：解题思路：本题给出了四种方法来计算行列式，需要逐一进行分析，找出正确的方法。解题步骤：1.递推法展开，得到Dn的表达式；2.利用性质将行列式化为上三角行列式，得到Dn的表达式；3.按列展开，得到Dn的表达式；4.按行展开，得到Dn的表达式。1.递推法展开，得到Dn的表达式。按照第1列展开，得到Dn=x*Dn-1+(-1)^(n+1)*an*x^(n-1)。由于D1=x+a1，D2=x^2-a1*x+a2，所以Dn=x*Dn-2+(a1+a2*x+...+an*x^(n-1))。因此，Dn=x^n+a1*x^(n-1)+a2*x^(n-2)+...+an。2.利用性质将行列式化为上三角行列式，得到Dn的表达式。将第1行乘以a2/a1，第2行乘以a3/a2，...，第n-1行乘以an/an-1，得到一个上三角行列式。根据行列式的性质，该行列式的值等于对角线上所有元素的积，即Dn=a1*a2*...*an。3.按列展开，得到Dn的表达式。将第1列展开，得到Dn=x*Dn-1+(-1)^(n+1)*an*x^(n-1)。将第2列展开，得到Dn=a1*Dn-2+(-1)^n*a2*x^(n-2)+(-1)^(n+1)*an*x^(n-2)。将第3列展开，得到Dn=-a1*a2*Dn-3+(-1)^(n+1)*a2*an*x^(n-3)+...+(-1)^(n+1)*an*x。以此类推，得到Dn的表达式。4.按行展开，得到Dn的表达式。将第1行展开，得到Dn=a1*Dn-1+(-1)^2*a2*Dn-2+...+(-1)^(n+1)*an*Dn-n。将第2行展开，得到Dn=(-1)*a2*Dn-2+(-1)^3*a3*Dn-3+...+(-1)^n*a1*a2*...*an。根据行列式的性质，Dn的值等于对角线上所有元素的积，即Dn=a1*a2*...*an。综上所述，第2种方法是正确的。题目：计算n阶“三对角”行列式对于一个n阶行列式D，如果它的每个元素都可以表示成a_i或b_i（其中a_i和b_i都是常数），且保证b₁、b₂、……、b_n不全为0，则可以采用升阶（或加边）法来求解。具体来说，可以增加一行一列，选择适当的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素。对于“三对角”行列式，我们可以采用递推法或拆分法来求解。方法1：递推法对于“三对角”行列式，我们可以按照第一列展开，得到：D_n=(α+β)D_n-1-αβD_n-2其中，α和β是常数。可以得到递推关系式：D_n-αD_n-1=β(D_n-1-αD_n-2)D_n-1-αD_n-2=β(D_n-2-αD_n-3)……D₂-αD₁=β(D₁-αD₀)其中，D₀和D₁都是常数，可以直接求解。将上述等式相加，得到：D_n-αD_n-1=β(D₁-αD₀)+βα(D₂-D₁)+……+βα^n-2(D_n-1-D_n-2)将D_n-1代入上式，得到：D_n-αD_n-1=β(D₁-αD₀)+βα(D₂-D₁)+……+βα^n-2[β(D₁-αD₀)+βα(D₂-D₁)+……+βα^n-3(D_n-2-D_n-3)]化简后得到：D_n=αD_n-1+βn(α+β)方法2：拆分法将D_n按照第一列拆成两个n阶行列式，得到：D_n=αD_n-1+βD_n-2+βD_n-1其中，第一个n阶行列式是由a₁和b₁组成的，第二个n阶行列式是由a₂、b₂和b₁组成的。将第二个行列式按照第一列展开，得到：D_n=