离心率的五种求法

离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3。由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3。因此，选D。变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。因此，选C。变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2。解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2。因此，选C。变式练习3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5。解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5。因此，选A。二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。1到l1的距离，又AB的长为2a，∴AD的长为a。设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2，其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c，∴离心率为e=ca=cc=1，故选D。注意：在解决这类问题时，常常需要根据圆锥曲线的统一定义，利用已知条件列出方程，然后再根据离心率的定义求解。需要注意的是，有时候需要将统一定义的方程进行化简，才能得到离心率的表达式。在给定的椭圆中，通过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1。要求确定该椭圆的离心率。解：根据椭圆的第二定义，离心率e可以表示为焦点到准线的距离AF与准线长度AD的比值。因此，e=AF/AD=2/4=1/2。对于下面这个问题，要求建立关于离心率e的不等式并确定e的取值范围。问题描述如下：在区间π/4≤θ≤π/2内，给定二次曲线x^2cotθ-y^2tanθ=1。要求确定该曲线的离心率e的取值范围。解：根据该二次曲线的方程，可以得到a^2=tanθ，b^2=cotθ。因此，c^2=a^2+b^2=tanθ+cotθ，即c=tanθ+cotθ。根据椭圆的定义，离心率e可以表示为c/a，因此e=tanθ/(tanθ)^(1/2)=1/(cosθ)^(1/2)。因为π/4≤θ≤π/2，所以cosθ≤1/2。因此，e≥(2)^(1/2)。对于下面这个问题，要求确定梯形ABCD中点E分有向线段AC所成的比为λ时，双曲线的离心率e的取值范围。问题描述如下：在图中，已知梯形ABCD中，AB=2CD，点E分有向线段AC所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点。当1/2≤λ≤2时，求双曲线离心率e的取值范围。解：根据题目中的条件，可以得到CD∥AB，因此梯形ABCD是等腰梯形。设AB=2a，CD=a，梯形高为h，则有AE=(2λ-1)h/(2λ+1)，CE=h/(2λ+1)，DE=(2λ+1)a/(2λ-1)。根据双曲线的定义，有DE^2/4a^2-CE^2/4a^2=1，因此e^2=DE^2/4a^2=1+CE^2/4a^2。将CE和a用h和λ表示，可以得到e^2=1+(h^2λ^2)/(4a^2(λ^2-1)^2)。因为AB=2a，CD=a，所以h/a=√3/2，代入上式得e^2=1+(3λ^2)/(4(λ^2-1)^2)。因为1/2≤λ≤2，所以e^2≥2，因此e≥(2)^(1/2)。1.设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为3，且它的一条准线与抛物线$y^2=4x$的准线重合，则此双曲线的方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{48}=1$。2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$。3.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$y=x$，则双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{3}$。4.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$。5.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$。6.如图，$F_1$和$F_2$分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的两个焦点，$A$和$B$是以$O$为圆心，以$OF_1$为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且$\triangleF_2AB$是等边三角形，则双曲线的离心率为$\sqrt{5}$。7.设$F_1$、$F_2$分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦点，$P$是其右准线上纵坐标为$3c$（$c$为半焦距）的点，且$F_1F_2=F_2P$，则椭圆的离心率是$\frac{\sqrt{5}}{2}$。8.设$F_1$、$F_2$分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦点，若双曲线上存在点$A$，使$\angleF_1AF_2=90^\circ$，且$AF_1=3AF_2$，则双曲线离心率为$\sqrt{10}$。9.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的右焦点为$F$，若过点$F$且倾斜角为$60^\circ$的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是$\left(2,\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right)$。1.已知椭圆的焦点和准线交点，求离心率的取值范围。若MN≤2F1F2，则离心率e的取值范围是多少？答案：根据椭圆的定义，离心率e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，a为长轴的一半。由准线与x轴的交点可得a和c的值，代入公式可求得e的值。因为MN≤2F1F2，所以该椭圆是比较扁平的，离心率e应该接近于1，因此选项D是正确的。2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，求离心率的值。答案：根据长轴和短轴的关系可得a=2b。由椭圆的定义可得离心率e=c/a，其中c为焦点到中心的距离。因为长轴是短轴的2倍，所以c^2=a^2-b^2=3b^2。代入公式可得e=c/a=√(3/4)=0.866，因此离心率的值为0.866。3.已知双曲线的焦点在x轴上，求离心率的值。答案：根据双曲线的定义可得离心率e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，a为长轴的一半。因为焦点在x轴上，所以c=±a。根据渐近线的方程可得a^2-b^2=c^2，代入公式可得e=√(a^2+b^2)/a。根据双曲线的方程可求出a和b的值，代入公式可得离心率的值。4.已知椭圆的方程，求离心率的值。答案：根据椭圆的方程可得a、b和c的值，代入公式e=c/a可求得离心率的值。5.已知双曲线的方程，求离心率的值。答案：根据双曲线的方程可得a、b和c的值，代入公式e=c/a可求得离心率的值。6.已知双曲线的焦点和顶点的位置关系，求离心率的值。答案：根据双曲线的定义可得离心率e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，a为长轴的一半。根据双曲线的焦点位置可得c>a，因此离心率e>1，选项D是正确的。7.已知双曲线上一点的坐标，求离心率的值。答案：根据双曲线的定义可得离心率e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，a为长轴的一半。已知一点的坐标，可以求出c的值。根据双曲线的方程可得a和b的值，代入公式可求得离心率的值。8.已知双曲线的焦点和顶点的位置关系，以及双曲线上一点与两个焦点的夹角，求离心率的值。答案：根据双曲线的定义可得离心率e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，a为长轴的一