2023年四川省成都市武侯区棕北中学中考数学三诊试卷含解析

第第页2023年四川省成都市武侯区棕北中学中考数学三诊试卷（含解析）2023年四川省成都市武侯区棕北中学中考数学三诊试卷

一、选择题（本题共8小题，共32分）

1.的相反数是()

A.B.C.D.

2.下列几何体中，俯视图是三角形的是()

A.B.C.D.

3.据科学家统计，目前地球上已经被定义、命名的生物约有万种左右，数字万用科学记数法表示为()

A.B.C.D.

4.下列计算正确的是()

A.B.

C.D.

5.年开始，成都中考体育科目实行新政策，引体向上成为男生自主选考科目之一现有六位初二男生引体向上成绩如下：，，，，，单位：个，这些成绩的中位数和众数分别是()

A.，B.，C.，D.，

6.已知是分式方程的解，则的值为()

A.B.C.D.

7.如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为()

A.

B.

C.

D.

8.如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：

；

；

当时，随的增大而增大；

关于的一元二次方程有两个不相等的实数根其中正确的结论有()

A.B.C.D.

二、填空题（本题共10小题，共40分）

9.分解因式：______．

10.若一次函数中的值随值的增大而增大，则该函数图象不经过第______象限．

11.一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是______．

12.如图，是的直径，是弦点不与点，点重合，且点与点位于直径两侧，若，则的大小为______．

13.孙子算经中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问人和车各几何？”其大意是：今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车，若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？设有辆车，个人，根据题意，可列方程组为．

14.已知，则的值为______．

15.设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．

16.有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数，，，，将四张卡片背面朝上，随机抽取一张，所得卡片上的数记为，不放回，再随机抽取一张，所得卡片上的数记为，则方程没有实数根的概率为______．

17.阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”当矩形的长和宽分别为和时，其“加倍矩形”的外接圆半径为______．

18.在平面直角坐标系中，对于两点，，给出如下定义：以线段为边的等边三角形称为点，的“确定三角形”如果点在以边长为的等边的边上，且轴，的中点为，点在直线上，若要使所有的，的“确定三角形”的周长都不小于，那么的取值范围为______．

三、解答题（本题共8小题，共78分）

19.计算：；

化简：．

20.某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了米跑步测试按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．

根据给出的信息，补全两幅统计图

该校九年级有名男生，请估计成绩达到良好及以上等级的有多少名

某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会米比赛预赛分别为、、三组进行，选手由抽签确定分组甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少

21.如图，有大树和建筑物，从建筑物的顶部处看树顶处的仰角为，看树干处的俯角为若在同一水平地面上，已知米，米求大树的高度参考数据：，，．

22.如图，为外一点，为的切线，为切点，作直径，过作交于点．

求证：为的切线；

连接交于，若的半径为，，求的长．

23.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点．

求反比例函数的表达式；

点在点上方的反比例函数的图象上，的面积为，求点的坐标；

在的条件下，点在轴上，点在反比例函数的图象上，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．

24.某超市进了一批成本为元个的文具盒，调查发现：这种文具盒每个星期的销售量个与它的定价元个的关系如图所示：

求这种文具盒每个星期的销售量个与它的定价元个之间的函数关系式；

若该超市每星期销售这种文具盒的销售量不少于个，且单件利润不低于元，当每个文具盒定价多少元时，超市每星期利润最高？最高利润是多少？

25.如图，直线与交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为．

求，的值；

将点绕点逆时针旋转至点，试说明点在抛物线上；

在的条件下，平移直线交抛物线于点，点在的左边，点是直线上方的轴上一点，∽点，，分别与点，，对应，求点的坐标．

26.如图，在和中，其中，，将绕点旋转，连接，．

求证：∽；

设与交于点，与交于点，若四边形为平行四边形，求的值；

连接，，若，，当点在射线上时，求的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数为．

故选：．

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．

本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．

2.【答案】

【解析】解：该圆锥的俯视图是带圆心的圆，故本选项不符合题意；

B.该圆柱的俯视图是圆，故本选项不符合题意；

C.该正方体的俯视图是正方形，故本选项不符合题意；

D.该三棱柱的俯视图是三角形，故本选项符合题意．

故选：．

根据常见简单几何体的三视图，可得答案．

本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何体的三视图是解题关键．

3.【答案】

【解析】解：万．

故选：．

科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

4.【答案】

【解析】解：，故本选项不合题意；

B.，正确；

C.，故本选项不合题意；

D.，故本选项不合题意．

故选：．

分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，完全平方公式以及合并同类项法则逐一判断即可．

本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方运算法则，完全平方公式以及合并同类项，熟记相关运算法则是解答本题的关键．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义和众数的定义求解即可．

【解答】

解：将数据重新排列为，，，，，，

所以这些成绩的中位数为个，众数为个，

故选B．

6.【答案】

【解析】解：把代入分式方程得：，

去分母得：，

解得：，

，

的值为．

故选：．

把代入分式方程就得到关于的方程，从而求出的值．

考查了分式方程的解，本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习中，常用此法求函数解析式．

7.【答案】

【解析】解：，

，

，，，

，

，

解得：，

故选：．

根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．

本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

8.【答案】

【解析】解：开口向上则，与轴交点在原点下方，，故，正确；

对称轴为，与轴一个交点是，则另一个交点为，则点在轴上，故，错误；

时，图象在对称轴右侧，开口向上，随的增大而增大，正确；

图象与轴有两个交点，则关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，正确；

故选：．

由二次函数图象的性质逐一判断．

本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，观察图象的对称轴、与坐标轴的交点位置是解题重点．

9.【答案】

【解析】解：．

直接提取公因式即可．

本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．

10.【答案】四

【解析】解：一次函数，的值随值的增大而增大，

，，

该函数图象经过第一、二、三象限，

则该函数图象不经过第四象限．

故答案为：四．

根据一次函数，的值随值的增大而增大，可得，，然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限．

本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．

11.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．等腰三角形两边的长为和，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．

【解答】

解：当腰是，底边是时：，不满足三角形的三边关系，因此舍去．

当底边是，腰长是时，，能构成三角形，则其周长．

故答案为：．

12.【答案】

【解析】解：，

，

．

故答案为：．

首先可求得的度数，再根据圆周角定理，即可求解．

本题考查了圆周角定理以及圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握和运用圆周角定理是解决本题的关键．

13.【答案】

【解析】解：依题意，得：．

故答案为：．

根据“每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

14.【答案】解：原式

；

原式

．

【解析】先根据乘方、负整数指数幂和绝对值的意义以及特殊角的三角函数值计算，然后合并即可；

先把括号内通分，再计算括号内同分母的减法运算，然后把除法运算化为乘法运算后合并即可．

本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．也考查了实数的运算．

15.【答案】解：调查的总人数为人，

所以合格等级的人数为人，

合格等级人数所占的百分比；优秀等级人数所占的百分比；

统计图为：

，

答：估计成绩达到良好及以上等级的有名；

画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中甲、乙两人恰好分在同一组的结果数为，

所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率．

【解析】本题考查了列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数，再从中选出符合事件的结果数，然后利用概率公式计算事件的概率．也考查了统计图．

先利用良好等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出合格等级的人数，然后分别计算出合格等级人数所占的百分比和优秀等级人数所占的百分比后补全两个统计图；

用乘以良好与优秀两个等级的百分比的和可估计成绩达到良好及以上等级的人数；

画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出甲、乙两人恰好分在同一组的结果数，然后根据概率公式求解．

16.【答案】解：过点作，垂足为，

由题意得：米，

在，，

米，

在中，，

米，

米，

米，

大树的高度约为米．

【解析】过点作，垂足为，根据题意可得：米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．

本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

17.【答案】证明：连接，如图，

为的切线，

，

．

，

．

，

，，

．

在和中，

，

≌，

，

．

为的半径，

为的切线；

解：的半径为，

．

，

．

由知：≌，

，，

，．

，

，

，

．

，

，，

为的中位线，

．

【解析】连接，利用圆的切线的性质定理，同圆的半径相等，平行线的性质，全等三角形的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可得出结论；

利用圆的切线的性质定理，勾股定理，三角形的面积公式求得线段的长，再利用三角形的中位线定理解答即可得出结论．

本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，全等三角形的判定与性质，圆的切线的性质定理，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．

18.【答案】解：把代入，得，

解得：，

，

点在双曲线上，

，

反比例函数的解析式为；

由可知的坐标为，

当时，，

，

的坐标为，

，，

过作轴于，轴于，

设，则，，

的面积为，

，

解得负值舍去，

；

点在轴上，点在反比例函数的图象上，

设，，

以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，

当以，为平行四边形的对角线时，

由中点坐标公式得：

，

解得：．

即点；

当，是对角线时，由中点坐标公式得：

，解得：，

即点的坐标为：，

综上，点的坐标为或．

【解析】把代入得到，由于点在双曲线上，求得，于是得到反比例函数的解析式为；

由可知的坐标为，得到的坐标为，求得，，过作轴于，轴于，设，则，，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；

设，，根据点坐标公式得方程：即可得到结论．

本题考查了反比例函数的综合应用，涉及到待定系数法、三角形的面积、平行四边形的性质等知识，分类求解是本题解题的关键．

19.【答案】

【解析】解：，

．

故答案为：．

利用差的完全平方公式计算即可．

此题考查了整式的混合运算化简求值，以及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

20.【答案】

【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，

，，

，

故答案为：．

先根据根与系数关系得出，，再把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可

此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

21.【答案】

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果，其中满足的有，；，；，，

共有种结果数，

所以方程没有实数根的概率．

故答案为：．

先画树状图展示所以种等可能的结果，通过计算找出满足的结果数，然后根据根的判别式的意义和概率公式求解．

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了根的判别式．

22.【答案】

【解析】解：设“加倍矩形”的长为，则宽为，

依题意得：，

整理得：，

解得：，，

当时，，符合题意；

当时，，不符合题意，舍去；

即“加倍”的长为，宽为，

“加倍矩形”的外接圆如图：

矩形的对角线即为外接圆的直径，

四边形是矩形，

，

，

“加倍矩形”的外接圆半径为，

故答案为：．

设“加倍矩形”的长为，则宽为，根据矩形的面积计算公式，列出一元二次方程，解方程得出“加倍矩形”的长和宽，再根据勾股定理求出对角线的长，即可解决问题．

本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及三角形的外接圆，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

23.【答案】或

【解析】解：点在以边长为的等边的边上，

，，

，，

，

，

过作直线于点，如图：

则点，，

点到直线的距离为，

，

或，

解得或．

故答案为：或．

先根据题意求出、、的长，然后设点的坐标，从而表示出点的坐标，再表示出点到直线的距离，构造不等式即可解答．

本题考查一次函数的图象性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．

24.【答案】解：设这种文具盒每个星期的销售量个与它的定价元个之间的函数关系式，

由题意，得，

解得：，

则销售量个与它的定价元个之间的函数关系式为，

故答案为：；

由题意，得

，

故与之间的函数关系式为；

根据题意得：

，

得：，

设每星期所获利润为元，由题意，得

，

，

抛物线开口向下，在对称轴的左边随的增大而增大

当时，有最大值，．

答：每个文具盒的定价是元时，可获得每星期最高销售利润元．

【解析】根据图象利用待定系数法直接求出函数的解析式即可；

根据利润等于每个利润数量建立方程即可得到结论；根据条件先求出售价的取值范围，再表示出利润的解析式，根据函数的性质就可以求出结论．

本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式的运用，总利润单件利润数量的运用，抛物线的顶点式的运用及二次函数的解析式的性质的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时根据题意条件建立函数的解析式是关键．

25.【答案】解：由题意得：，

解得：；

如图，过点作轴于点，过点作轴于点，

则，

由可知，直线的解析式为，

，，

的坐标为．

，，

，

点绕点逆时针旋转至点，

，，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，，

，

，

当时，，

点在抛物线上；

由，

解得：或，

，

设直线的解析式为，

将点代入得：，

解得：，

直线的解析式为，

设直线的解析式为，

将，代入得：，

解得：，

直线的解析式为，

，

可设直线的解析式为，，