例析用联想思维解数列题

精品文档-下载后可编辑例析用联想思维解数列题联想思维在人们的认识活动中起着桥梁和纽带的作用，它可以指导着我们去解决数学问题.如何由联想激活我们的思维，这需要我们在解题的过程中，认真观察、分析题设条件与所求之间的联系.在问题所处的特殊情境下，联想与之相关的定义、公式、定理、法则、性质等知识来解题.因此在解题的过程中总结出用联想思维的方式解数列题，仅供大家参考.

一、接近联想

是指由某个问题或者问题中的某个方面所表现出来的结构特征，联想到与之相同或相近的知识来分析、解决数列问题的一种思维方式.

例1已知数列{an}和{bn}中的项均为正值，且a1b1

解析:由题目的条件和结论的形式与等比定理接近，因此启迪我们联想到用等比定理的方法证明.设m=a1b1

m=a1b1

二、类比联想

是指根据问题中的条件和结论的结构特征，联想过去遇到的类似问题，再联想到已有的知识和解题方法，并能从类似的数列问题或方法中得到解题的启示.

例2（2022年浙江高考题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S8-S4，S12-S8，S16-S12，成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，T16T12成等比数列.

解析:本题设计新颖，根据对应的类比对象，等差等比，前n项和前n项积，差商，用联想思维的方式解题是一种重要的途径，设等比数列{bn}的前n项积为Tn，得T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列.

三、条件联想

是指从题设的条件出发，对条件进行多维度的分析，明晰条件的实质以及所给条件之间的关系，由条件的结构形式启示用联想思维来求解数列题.

例3给定数列{an}，且an+1=an+11-an，求a2022-a3.

解析:由已知条件很容易联想到tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ，令an=tanbn，得an+1=tanbn+tan45°1-tanbntan°=tan(bn+45°)

an+2=tan(bn+45°)+tan45°1-tan(bn+45°)tan45°=tan(bn+2×45°)，即an+2=tan(bn+2×45°)，同理得an+3=tan(bn+3×45°)，an+4=tan(bn+4×45°)=tanbn=an，即数列{an}是周期为4的数列.故a2022-a3=a4×502+3-a3=0.

四、转化联想

是指在解题中抓住题目中已知关键信息，锁定相似性，巧妙地将条件或结论转化成我们熟悉的或简单的形式，结合基本知识和方法，联想解决数列问题的途径，它是一种培养知识迁移能力的重要思维方法.

例4求证：若n≥3，n∈N则133+143

+153+…+1n3

解析:由结论的式子的结构特征，左边求和的分母是三次式，通常先降低分母的次数再证明，由此联想到构造一个恒不等式.1k3

12×3×4+13×4×5+…+

1(n-1)×n×(n+1)=

1212×3-13×4+13×4+14×5+…+1(n-1)×n1n×(n+1)

=1212×3-1n×(n+1)

五、方法联想

对于有些题目不易从条件和结论联想到解题的方法，我们可以联想到以前解题常用的数学方法，通过对方法的选择，找到最佳的解数列题途径.

例5数列{an}满足an+1=a2n-nan+1(n∈N+)，且a1=2，求an.

解析:本题为二阶递推，降幂较难，用常规方法难以解决，联想到用归纳法求解，从特殊情形切入，由此发现规律，猜测一般结论，再给予证明.当n=1时，a2=a21-a1+1=3，当n=2时，a3=a22-a2+1=4，同理a4=5，由此猜想an=n+1.

用数学归纳法证明略.

六、结论联想

是指从题目所求的结论或由所给的条件产生的结论，联想解决数列问题的方法.

例6已知函数f(x)=2x-2-x，数列{an}满足f(log2an)=-2n.（1）求an=g(n)的导函数g′(n)；（2）判断数列{an}的单调性.

解析:导数在函数中的应用很广泛，而数列是特殊的函数，因此很自然的联想到用导数的知识研究数列.

（1）由已知得an-1an=-2n，即a2n+2nan-1=0，解之得an=-n±n1+1，又an>0，得an=-n+n2+1，故g′(n)=nn2+1-1.

（2）由nn2+1=11+1n2

七、特值联想

是指对于一些不容易解决的特殊数列问题，联想到它所具有的一般情境，再对一般问题进行探究，进而解决问题的一种思想方法.

例7在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+…+log3a10=.

A.12

B.10

C.8

D.2+log35

解析:从题目所给的备选答案得到，无论正数{an}的等比数列的通项公式是什么，本题的答案都是唯一的，故只要选取一个满足条件的特殊数列an=3，结果为10，答案选B.

八、数形联想

数列是一类特殊的函数，在处理数列的单调性和最值问题时，启发引导学生观察思考式子的几何意义，有数想形，以形助数，从而提高学生用数形联想解数列题的能力.

例8已知an=n-2022n-2022，且数列{an}中共有100项，则此数列中最小项为第（）项和最大项为第（）项.

A．42，43B．43，44

C．44，45D．45，46

解析:由已知得，an=n-2022n-2022=(n-2022)+(2022-2022)n-2022

=1+2022-2022n-2022

，故点(n,an)在函数f(x)=1+2022-2022x-2022的图像上.由44

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