定积分微元法讲解市公开课一等奖课件省赛课获奖课件

定积分微元分析法用定积分表达量U必须具有三个特性:一.能用定积分表达量所必须具有特性(3)部分量近似值可表达为则U对应地提成许多部分量;(1)U是与一种变量x变化区间[a,b]有关量;(2)U对于区间[a,b]具有可加性.即假如把区[a,b]提成许多部分区间,1/88根据问题详细情况,选用一种变量(2)在区间[a,b]内任取一种小区间,求出对应于这个小区间部分量近似值.在处值与乘积,就把称为量U微元且记作,即假如能近似地表达为[a,b]上一种连续函数例如x为积分变量,并确定其变化区间[a,b];二、用定积分表达量U基本步骤:2/88这个办法一般叫做微元法．应用方向：平面图形面积；体积；平面曲线弧长；功；水压力；引力和平均值等．3/88曲边梯形面积曲边图形面积一、直角坐标系情形微元法求面积4/88解两曲线交点面积元素选为积分变量5/88解两曲线交点选为积分变量6/88解椭圆参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．7/882a2

a0yx

ax=a(t–sint)y=a(1–

cost)摆线.第一拱与x轴所围成图形面积8/88二.极坐标情形1.曲边扇形其中r()在[,]上连续,且r()0.对应于[,+d]面积微元为则图形面积为or=r()设图形由曲线r=r()及射线=,=所围成.取

为积分变量,其变化区间为[,],9/882.一般图形及射线=,=所围图形面积微元为则面积为o由曲线10/88例4求阿基米德螺线r=a(a>0)上对应于从0到2一段弧与极轴所围图形面积.o解如图,可视为=0,=2及r=a

围成曲边扇形.则其面积为11/88解利用对称性知12/88解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积13/88NoM例求r=1与r=1+cos所围公共面积.解如图,曲线交点为由对称性则而14/88一、平面曲线弧长概念微元法求曲线弧长15/88弧长元素弧长二、直角坐标情形16/88曲线弧为弧长三、参数方程情形17/88曲线弧为弧长四、极坐标情形18/88例求全弧长.解y=y(x)定义域为,故弧长为:19/88例求星形线弧长.解由对称性及公式20/88例求阿基米德螺线r=a(a>0)上对应于从0到2一段弧长.解21/88一、平行截面面积为已知立体体积假如一种立体不是旋转体，但却懂得该立体上垂直于一定轴各个截面面积，那么，这个立体体积也可用定积分来计算.微元法求体积22/88abx设置体介于x=a,x=b之间,立体体积取x为积分变量,其变化范围为[a,b].23/88解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积边长分别为y和ytan.因此24/88解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积底边长为2y,高为h.因此25/88

旋转体就是由一种平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二、旋转体体积26/88yaby=f(x)oyaby=f(x)oy27/88则y图1by=f(x)aoxx+dx28/88例求如图直角三角形绕x轴旋转而成圆锥体体积.解可求得过点O及P(h,r)直线方程为yoxP(h,r)29/88例求星形线绕x轴旋转而成立体体积解由对称性及公式aaxy30/8831/88例求圆心在(b,0),半径为a(b>a)圆绕y轴旋转而成环状体体积.yxoba解圆方程为,则所求体积可视为曲边梯形绕y轴旋转而成旋转体体积之差.分别与直线y=-a,y=a及y轴所围成则32/88例证明：由平面图形绕轴旋转所成旋转体体积为即为圆柱薄壳当dx很小时,此小柱体高看作f(x)，以此柱壳体积作为体积元素，柱壳法——就是把旋转体当作是以y轴为中心轴一系列圆柱形薄壳组成，33/88在区间上柱壳体体积元素为34/88例求圆心在(b,0),半径为a(b>a)圆绕y轴旋转而成环状体体积.yxoba解圆方程为则35/88第三节定积分物理应用一.变力沿直线作功若物体在常力F作用下沿F方向移动s距离,由x=a移到x=b,可用微元法处理做功问题.dW=F(x)dx则F(x)ab则W=Fs若物体在变力F(x)作用下沿力方向取x为积分变量,变化区间为[a,b].对应于任意小区间[x,x+dx]功微元x+dxx36/88解功微元所求功为37/88例2设9.8牛顿力能使弹簧伸长1厘米,解由公式(焦耳)求伸长10厘米需作多少功?因此k=980.F=9.8牛顿,而x=0.01米时,已知F=kx,F=980x.38/88分析：将链条拉上来所作功,即变力沿直线作功.书361页例六x+dxxo28x39/88解将水桶从井里提上来所作功为将绳子从井里提上来所作功,则所作总功为o20x+dx即变力沿直线作功为例一桶水重10kg,由一条线密度0.1kg/m绳子系着,将它从20m深井里提上来需作多少功?x40/88例在直径为，高为圆柱形气缸内Pa气体.若要将气体体积充满了压强为压缩到本来二分之一，问需作功多少？压缩至处气体压强

断面受气体压力41/88点击图片任意处播放\暂停解建立坐标系如图构想将水提成许多薄层,吸出各层水所作功总和即为所求.42/88这一薄层水重力为功微元为(千焦)．43/88例4形如圆台水桶内盛满了水(如图),问将所有水吸出需作多少功?0yx13(3,2)解构想将水提成许多薄层,吸出各层水所作功总和即为所求.取x为积分变量,变化区间为[0,3].对应于任意小区间[x,x+dx]薄层水近似于圆柱,吸出这层水位移近似于x.44/88则因此功微元45/88二、液体对侧面压力46/88取x为积分变量,变化区间为[a,b].aby=f(x)xx+dx近似于水深x处水平放置长方形窄条所受压力.对应于[x,x+dx]窄条所受到压力以如图曲边梯形为例:oyx则压力微元为dP=因此整个平板所受压力为47/88解建立坐标系如图面积微元48/88例4一种横放半径为R圆柱形油桶内有半桶油,求一种端面所受压力.解由对称性yox49/88三、引力50/88例6设有质量为M,长度为l均匀细杆,任意小段[x,x+dx]近似于质点,且质量为则引力微元为oxal另有一质量为m质点位于同始终线上,且到杆近段距离为a,求杆对质点引力.解:取x为积分变量,变化区间为[0,l],xx+dx51/88则引力为52/88解建立坐标系如图将典型小段近似当作质点小段质量为小段与质点距离为引力微元53/88水平方向分力微元由对称性知，引力在铅直方向分力为54/88(1)变力所作功(2)水压力55/88(3)引力56/88第五节广义积分1.无穷区间上广义积分2.无界函数广义积分3.小结57/88OxyOxy1258/88一、无穷限广义积分59/8860/88例1计算广义积分解61/88无穷限积分牛顿-莱布尼兹公式62/88性质：且当它们同步收敛时有63/88例264/88证65/88例4计算广义积分解66/8867/88无穷限积分分部积分公式注意：仅仅是收敛充足条件68/88例569/88无穷限积分第二类换元公式70/88二、无界函数广义积分71/8872/8873/88例1计算广义积分解74/88