凸显数学思维 追求教育本真(全文)

精品文档-下载后可编辑凸显数学思维追求教育本真(全文)【教学目标】

1.让学生经历用数量关系刻画函数图象对称性的过程，了解函数奇偶性的概念和图象特征。

2.让学生会根据图象特征和奇偶性定义来判断一些简单函数的奇偶性。

【教学重点】

用数量关系刻画函数图象的对称性。

【教学难点】

如何引导学生通过发现对称点之间坐标的数量关系过渡到用数量关系刻画函数图象的对称性。

【教学过程】

一、直观感知函数图象对称特性

师：同学们，函数的单调性是研究函数图象在某一个区间上的变化趋势，即是“上升”还是“下降”的，今天我们从研究函数图象的对称性开始。

（回顾单调性――从图形特征和数量刻画两个方面表示图象“上升”还是“下降”，为通过图形特征和数量刻画来研究函数图象的对称性做一些思想方法上的准备。）

师：你能举出1至2个例子吗？

师：你判断轴对称图形和中心对称图形的依据是什么？

生：轴对称图形或中心对称图形，可以通过折叠或旋转看它是否重合来判断。

（说明图象的对称性是图象的整体特征，它不同于单调性，单调性是研究图象在某一个区间上的变化趋势。）

学生边说边画二次函数y=x2的图象，图象画好后，借助图形演示图象是关于y轴对称的。

师：在演示中，我们注意到x∈R，如果把x∈R改为x∈[-1，3]，图象还关于y轴对称吗？

生：横坐标为3的点在图象上，而横坐标为-3的点不在图象上，所以不对称。

师：综上所述，我们可以用“折”的办法判断图象是否是对称图形，用特殊点来说明图象不是对称图形。可见，函数图象的对称性是函数图象的整体特性。

刚才，我们从函数图象的角度直观感知图形的对称性，其实，在日常生活中，我们也观察到许多对称现象。比如美丽的蝴蝶、盛开的花朵、六角形的雪花等等（投影显示图片）。

你还能举几个日常生活中的例子吗？

（让学生从已有的数学知识回到现实生活中，感受现实生活中充满着对称现象。让学生了解数学源于现实生活，数学是研究现实生活现象的自然学科，体会数学不是“凭空想象”产生的。）

生：摩天轮、枫树叶、钟的表面等。

师：由此可见，研究对称性具有实际意义。

已知函数y=f（x）的图象是关于y轴对称的，如图，是y=f（x）在y轴右边的图象，请同学们画出它在y轴左边的图象。（生画图，师巡视）

师：你是怎样画出来的？

生：在y轴右边的图象上取几个特殊点，作出它们关于y轴的对称点，再用光滑的曲线把它们连起来。

师：事实上，图象是满足一定条件的点的集合！你能通过1个、2个甚至于若干个点来说明图象是关于y轴对称的吗？

生：不能！

师：怎么办？

思考后，有学生回答：只要把“若干个点”改为“任意个点”就可以了。也就是说，如果函数y=f（x）的图象上任意一点P关于y轴对称的点也在图象上，那么函数y=f（x）的图象关于y轴对称。（此时教室里一片掌声。）

师：这样的思考方式我们有过吗？

生：在用数学语言刻画函数单调性时，我们通过“任意的两个值x1，x2，当x1

二、用数量关系刻画函数图象的对称性

师：函数y=x3+x的图象是对称图形吗？

生：我取了7个点：（0，0），（1，2），（-1，-2），（2，10），（-2，-10），（3，30），（-3，-30），观察发现它们关于坐标原点对称。所以，我认为它的图象是关于坐标原点对称的。

（回顾“描点法”作图，更重要的是想说明“特殊”与“一般”及“存在”与“任意”的关系，为“若干个点”到“任意一个点”做铺垫。）

师：由特殊到一般是基本的数学思想方法，得到的结论是否正确，还需要验证或证明。现在，我们借助几何画板画出函数y=x3+x的图象，观察它的图象是否关于原点对称。

（学习上遇到困难时，想想可否借助于现代教育技术？同时，也是从“图形直观感知”到“数量刻画”的衔接，是本节课思想方法上的重要转折点。）

我们还需要“跳出”几何图形，从代数方法上去寻找，即用代数方法来研究几何图形！

请写出点P（x0，y0）关于原点的对称点Q的坐标，关于y轴的对称点R的坐标。

生：点Q的坐标是Q（-x0，-y0），点R的坐标是R（-x0，y0）。当点P（x0，y0）在函数y=f（x）的图象上时，有y0=f（x0），如果函数y=f（x）的图象关于原点对称，那么点Q（-x0，-y0）也在函数y=f（x）的图象上，得-y0=f（-x0），所以f（-x0）=-f（x0）。反之，由f（x0）=-f（-x0）也能得到函数y=f（x）的图象关于原点对称。

师：函数y=f（x）的图象关于原点对称的代数特征：f（-x0）=-f（x0），其中x0是函数f（x）定义域中的任意一个值。如果函数y=f（x）的图象关于y轴对称，类比可得：f（-x0）=f（x0）。

从一个特殊点P（x0，y0）关于原点、y轴对称时横坐标、纵坐标之间的关系，类比得到函数y=f（x）的图象关于原点、y轴对称的“代数特征”，就形成了函数奇偶性的概念。

三、构建函数奇偶性的概念

师：一般地，设函数y=f（x）的定义域为A。如果对于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x），那么称函数y=f（x）是奇函数；如果对于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么称函数y=f（x）是偶函数。如果函数f（x）是奇函数或偶函数，我们就说函数f（x）具有奇偶性。奇函数图象关于坐标原点对称，偶函数图象关于y轴对称。

四、深化函数奇偶性的认识

1.判断下列函数是否为奇函数或偶函数。

（1）f（x）=x2-1；（2）f（x）=2x；（3）f（x）=（x-1）2。

生：可以用函数图象的对称特征或函数奇偶性定义来判断函数是否具有奇偶性。（1）是偶函数；（2）是奇函数；（3）图象关于直线x=1对称，不关于y轴对称，也不关于原点对称，所以它不是奇函数也不是偶函数。

生：可以用特殊值来说明，因为f（1）=0，f（-1）=4，所以（3）不是奇函数也不是偶函数。

2.试判断函数f（x）=x2+x（其中x∈[-1，2]）是否具有奇偶性。

生：同上题，f（2）=6，而-2不在定义域内，所以它不是奇函数也不是偶函数。

师：具有奇偶性的函数，其定义域有什么特征？

生：由第2题我发现，2和-2都必须在定义域内时，才有奇偶性。所以，我认为a是定义域内任意一个值，-a也应该是定义域内一个值。具有奇偶性的函数，其定义域A关于数“0”对称。定义域关于数“0”对称是函数具有奇偶性的前提条件。

师：能给出判断函数f（x）是否具有奇偶性的一般步骤吗？

生：第1步，求出定义域。如果定义域不关于数“0”对称，则函数f（x）不是奇函数也不是偶函数；如果定义域是关于数“0”对称的，则进行第2步；第2步，观察f（-x）与f（x）的关系，再根据函数奇偶性的定义，判断出奇偶性。

3.已知函数f（x）=x2-2x-1，试判断函数f（x）的奇偶性，并画出函数的图象。

生：函数f（x）的定义域为R，又f（-x）=（-x）2-2-x-1=x2-2x-1=f（x），所以函数f（x）是偶函数。先画出x>0时函数f（x）的图象，再利用图象关于y轴对称，得到x

4.课堂巩固练习。

五、课时小结

函数还有哪些简单性质呢？以后再学习讨论，从某种程度上说，其实数学学习过程是一个知识建构的过程。我们不仅要学习数学知识，更重要的是要学会如何去建构知识的网络结构。

【教学反思】

在教学“函数的奇偶性”时，我从学生已有的学习经验和学生熟悉的生活的现象两个角度进行教学设计，按“直观感知函数图象的对称特性”、“用数量关系刻画函数图象的对称性”、“构建函数奇偶性的概念”和“深化对函数奇偶性概念的认识”四个环节循序渐进地组织教学，并且借助几何画板帮助学生正确理解函数奇偶性的概念。

教育的本真在于促进学生发展。高中数学除了它的基础性和应用性外，在帮助学生形成理性思维、发展智力和创新意识等方面也具有积极作用。因而，数学教学不等同于数学知识的教学，而是通过揭示、探究数学知识的发生、发展过程，实现数学教育的价值。“教”的关键在于立足学生现有的知识水平和认知能力，促进学生的“学”，更重要的是通过教师的启迪、引导、促进和帮扶，让学生逐步学会学习。

笔者基于对教材内容的把握和对学情的了解，精心设计教学流程，精编数学问题，以数学问题串激发学生主动思考和探索，师生思维互动，情感交流，为实现本节课的教育价值打下扎实基础。

1.突出学生主体地位，激发学生探索精神。

在一节课中，学生的发展水平来自于其自身的积极思考与主动探索，取决于知识生成、发展进程中参与的深度与广度。本节课中，设置的问题链符合“最近发展区”理念，激发了学生的主动性，在四个主要教学环节都能积极思考、踊跃回答。在问题的不断解决且深化过程中形成了热烈的师生互动氛围，学生在数学活动过程中，感受到愉悦，体验着探究。同时，学会将数学知识内化为自己的学识，学会构建自己的知识结构。

2.重视知识生成过程，培养学生创新能力。

本节课以“直观感知函数图象的对称特性”为开篇，回顾“用‘折’过去看它是否重合”来判断二次函数、反比例函数图象的对称性，结合“学生熟悉的生活中的现象”，从“若干个点对称”到“任意个点对称”，经历“用数量关系刻画函数图象的对称性”的过程，形成了“函数奇偶性”的概念，概念的形成经历了归纳、辨析、概括、类比的过程。教学中每个问题的解决都是在学生积极思考、分析的情境下，经师生进一步完善形成的结论，所以，本节课中学生思维量大、采用方法多，突出了数学思维。学生的思维能力在递进问题的探索中得到发展，情感在互动交流中得以升华，知识在一步步思考中得以丰富。

3.尊重教材，但不囿于教材，重视教材的再处理，拓宽学生知识视野。

《标准》是纲要，讲什么，讲到什么程度，要在课标中寻找答案；教材是蓝本，学生的具体