2024年考研农学门类联考《314数学》题库

第一部分高等数学第1章函数、极限、连续一、选择题1设，则当时f（x）的极限是（）。A．eB．a＋bC．2a＋bD．1【答案】A查看答案【解析】2设，则当时f（x）的极限是（）。A．0B．＋∞C．－∞D．不存在，但也不是∞【答案】D查看答案【解析】，故当时，f（x）的极限是不存在，但也不是无穷大。3设，则当时f（x）的极限是（）。A．e－1B．eC．e2D．1【答案】A查看答案【解析】4若极限，则常数k＝（）。A．－2B．2C．－1/2D．1/2【答案】D查看答案【解析】由已知可得5设，则当时，f（x）是g（x）的（）。A．等价无穷小B．同阶但不等价无穷小C．高阶无穷小D．低阶无穷小【答案】B查看答案【解析】二、填空题1设，，且及其定义域为______。【答案】【解析】令，则，，于是，。2______。【答案】【解析】3设a为常数，极限______。【答案】0查看答案【解析】由于，根据无穷小与有界量乘积是无穷小的性质，。4函数的连续区间是______。【答案】【解析】由题意知显然f（1＋0）＝1，f（1－0）＝－1，f（－1＋0）＝1，f（－1－0）＝－1，所以x＝1，x＝－1均为第一类间断点．故函数的连续区间是。5设则f（1－x）＝______。【答案】【解析】由于所以6设，c＝______。【答案】【解析】三、计算题1设，求。解：由于，所以（1）当x＜0时，，当时，，（2）当x＜0时，，当时，综上所述，有2讨论函数，当时的极限。解：因为所以3设，求。解：因为，所以，故不存在。4求极限。解：当n为偶数时，当n为奇数时，所以。5已知，求常数a，b。解：解法1由已知得故有，解得a＝1，b＝4。解法2因为，所以又，则a＝1。故由已知有则b－1＝3，b＝4，即得a＝1，b＝4。6求极限。解：当时，，则，故有7求极限。解：原式8求极限。解：因为当时，，所以故原式。9求极限。解：当时，所以10求极限。解：当时，，所以11已知当与是等价无穷小，求α的值。解：当时，，故则。12设，证明数列收敛，并求。解：因为，所以有界。又因为即；所以单调减少，由准则2知，收敛。令则，故。13证明。证明：由于因此，又故由夹逼定理得。14求极限。解：15求极限。解：16求极限。解：因为令，则所以17求极限。解：18求极限。解：解法1利用等价无穷小代换和洛必达法则，得解法2利用泰勒公式，将和分别展开成带皮亚诺型余项的泰勒公式。又当时，～x则有19计算限。解：20计算极限解：如用洛必达法则，极限不存在，虽然属于型未定式，但不能用洛必达法则。21已知当时，与是等价无穷小，求常数a。解：由于，所以22求极限。解：23求极限。解：由于故所以又有界，故。24已知，a，b的值。解：因，且所以。25求极限。解：26求函数的间断点，并指出其类型。解：由于的定义域为，又由得因为f（x）在内是初等函数，所以f（x）在内是连续的。故f（x）的可能间断点是x＝0，1，2。由于，所以故x＝0是f（x））的无穷间断点，属于第二类；又故x＝1是f（x）的可去间断点，属于第一类。在x＝2处，因为。所以x＝2是f（x）的无穷问断点，属于第二类。27试确定常数a，b的值，使有无穷间断点x＝0及可去间断点x＝1。解：如果x＝0是函数f（x）的无穷间断点，则即所以，当时，x＝是f（x）的无穷间断点。如果x＝1是f（x）的可去间断点，则当时，以下的极限存在所以，当时，x＝1是f（x）的可去间断点。故当a＝0，b＝e时，f（x）有无穷间断点x＝0及可去间断点x＝1。28设函数，求f（x）的间断点并指出其类型。解：由题意知又但函数f（x）在x＝处无定义，故x＝0是f（x）的第一类（可去）间断点。又故是f（x）的第二类（无穷）间断点。29试确定常数a，b的关系，使函数在x＝0处连续。解：因此必须a＝b时，y＝f（x）在x＝0处才能连续。30设f（x）在闭区间[0，1]上连续，且f（0）＝f（1），证明必有一点使得。证明：令，则F（x）在上连续。因为，若，则，若，则，若，则由零点定理知，，使，即成立。综上，必有一点，使成立。31求解：32求。解：原式可变形为33求极限。解：因为而故原式＝0。34求极限。解：35求极限。解：36求极限解：由于，所以又故37设连续，确定常数a和b。解：因为f（x）连续，所以38设常数，求极限。解：计算得39设，求常数a，b。解：由于所以则得9－a＝0，a＝9，b＝－12。40设P（x）是多项式，且，求P（x）。解：由已知，可设由，可知d＝0，b＝1。代入上式可得解得c＝3，即。41求下列极限：（1）（2）（3）；（4）解：（1）（2）（3）（4）42求下列函数的间断点并判断间断点的类型。（1）；（2）解：（1）由于所以又f（x）在x＝1处无定义，故x＝1为f（x）的第一类可去间断点。（2）显然x＝1