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第一部分高等数学第1章函数、极限、连续一、选择题1设,则当时f(x)的极限是()。A.eB.a+bC.2a+bD.1【答案】A查看答案【解析】2设,则当时f(x)的极限是()。A.0B.+∞C.-∞D.不存在,但也不是∞【答案】D查看答案【解析】,故当时,f(x)的极限是不存在,但也不是无穷大。3设,则当时f(x)的极限是()。A.e-1B.eC.e2D.1【答案】A查看答案【解析】4若极限,则常数k=()。A.-2B.2C.-1/2D.1/2【答案】D查看答案【解析】由已知可得5设,则当时,f(x)是g(x)的()。A.等价无穷小B.同阶但不等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小【答案】B查看答案【解析】二、填空题1设,,且及其定义域为______。【答案】【解析】令,则,,于是,。2______。【答案】【解析】3设a为常数,极限______。【答案】0查看答案【解析】由于,根据无穷小与有界量乘积是无穷小的性质,。4函数的连续区间是______。【答案】【解析】由题意知显然f(1+0)=1,f(1-0)=-1,f(-1+0)=1,f(-1-0)=-1,所以x=1,x=-1均为第一类间断点.故函数的连续区间是。5设则f(1-x)=______。【答案】【解析】由于所以6设,c=______。【答案】【解析】三、计算题1设,求。解:由于,所以(1)当x<0时,,当时,,(2)当x<0时,,当时,综上所述,有2讨论函数,当时的极限。解:因为所以3设,求。解:因为,所以,故不存在。4求极限。解:当n为偶数时,当n为奇数时,所以。5已知,求常数a,b。解:解法1由已知得故有,解得a=1,b=4。解法2因为,所以又,则a=1。故由已知有则b-1=3,b=4,即得a=1,b=4。6求极限。解:当时,,则,故有7求极限。解:原式8求极限。解:因为当时,,所以故原式。9求极限。解:当时,所以10求极限。解:当时,,所以11已知当与是等价无穷小,求α的值。解:当时,,故则。12设,证明数列收敛,并求。解:因为,所以有界。又因为即;所以单调减少,由准则2知,收敛。令则,故。13证明。证明:由于因此,又故由夹逼定理得。14求极限。解:15求极限。解:16求极限。解:因为令,则所以17求极限。解:18求极限。解:解法1利用等价无穷小代换和洛必达法则,得解法2利用泰勒公式,将和分别展开成带皮亚诺型余项的泰勒公式。又当时,~x则有19计算限。解:20计算极限解:如用洛必达法则,极限不存在,虽然属于型未定式,但不能用洛必达法则。21已知当时,与是等价无穷小,求常数a。解:由于,所以22求极限。解:23求极限。解:由于故所以又有界,故。24已知,a,b的值。解:因,且所以。25求极限。解:26求函数的间断点,并指出其类型。解:由于的定义域为,又由得因为f(x)在内是初等函数,所以f(x)在内是连续的。故f(x)的可能间断点是x=0,1,2。由于,所以故x=0是f(x))的无穷间断点,属于第二类;又故x=1是f(x)的可去间断点,属于第一类。在x=2处,因为。所以x=2是f(x)的无穷问断点,属于第二类。27试确定常数a,b的值,使有无穷间断点x=0及可去间断点x=1。解:如果x=0是函数f(x)的无穷间断点,则即所以,当时,x=是f(x)的无穷间断点。如果x=1是f(x)的可去间断点,则当时,以下的极限存在所以,当时,x=1是f(x)的可去间断点。故当a=0,b=e时,f(x)有无穷间断点x=0及可去间断点x=1。28设函数,求f(x)的间断点并指出其类型。解:由题意知又但函数f(x)在x=处无定义,故x=0是f(x)的第一类(可去)间断点。又故是f(x)的第二类(无穷)间断点。29试确定常数a,b的关系,使函数在x=0处连续。解:因此必须a=b时,y=f(x)在x=0处才能连续。30设f(x)在闭区间[0,1]上连续,且f(0)=f(1),证明必有一点使得。证明:令,则F(x)在上连续。因为,若,则,若,则,若,则由零点定理知,,使,即成立。综上,必有一点,使成立。31求解:32求。解:原式可变形为33求极限。解:因为而故原式=0。34求极限。解:35求极限。解:36求极限解:由于,所以又故37设连续,确定常数a和b。解:因为f(x)连续,所以38设常数,求极限。解:计算得39设,求常数a,b。解:由于所以则得9-a=0,a=9,b=-12。40设P(x)是多项式,且,求P(x)。解:由已知,可设由,可知d=0,b=1。代入上式可得解得c=3,即。41求下列极限:(1)(2)(3);(4)解:(1)(2)(3)(4)42求下列函数的间断点并判断间断点的类型。(1);(2)解:(1)由于所以又f(x)在x=1处无定义,故x=1为f(x)的第一类可去间断点。(2)显然x=1

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