北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形动点问题训练三含答案

第第页北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形动点问题训练三（含答案）北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形动点问题训练三

1.如图，已知矩形中，是边上一个动点，，，分别是，，的中点．

求证：≌；

设，当四边形是正方形时，求矩形的面积．

2.如图，点、分别是的边、的中点．点是所在平面上的一个动点，连接、，点、分别是、的中点，顺次连接点、、、．

如图，当点在的外部时，求证：四边形是平行四边形；

当点在的内部时，要使四边形是正方形，那么图中哪些线段满足什么关系才可以呢？直接写出答案，不需要说明理由

3.如图所示，在正方形中，是对角线上的一个动点．连结，过点作，，点，分别为垂足．

求证：．

写出，，三条线段满足的等量关系，并求当，时，的长．

4.如图，正方形的边长是，为的中点．为正方形边上的一个动点，动点从出发沿运动，最终到达点，若点经过的路程为．

当时，求的面积；

若的面积为，求的值．

5.如图，在正方形中，点是边上的一个动点点与点，不重合，连接，过点作于点，交于点．

求证：

如图，当点运动到中点时，连接，取中点，连接，交于点，求证：

在的条件下，求证：

6.如图，正方形中，动点在上，，垂足为，．

求证：；

当点运动到中点时其他条件都保持不变，问四边形是什么特殊四边形？说明理由．

7.如图，在矩形中，点是线段上的一个动点，为的中点，的延长线交于点．

求证：．

若，，点从点出发，以的速度向点运动不与重合设点运动的时间为，请用表示的长．

当为何值时，四边形是菱形吗？

8.如图所示，在长方形中，，，为的中点，动点在线段上以的速度由点向运动，同时，动点在线段上由点向点运动，设运动时间为．

当时，求的面积；

若动点以与动点不同的速度运动，经过多少秒，与全等？此时点的速度是多少？

若动点以中的速度从点出发，动点以原来的速度从点同时出发，都逆时针沿长方形的四边形运动，经过多少秒，点与点第一次在长方形的哪条边上相遇？

9.如图，在中，点为边上一动点，连接，将平移到的位置点、、的对应点分别为点、、，将平移到的位置点、、的对应点分别为点、、．

求证：点、、在一条直线上；

判断四边形的形状，并说明理由．

10.如图，在矩形中，是射线上的动点，连接，，分别为，的中点，连接，，，．

求证：；

求证：；

若，，当时，直接写出的长．

11.如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，、是对角线上的两个动点，且分别从点、点同时都以每秒个单位长度的速度相向而行，运动时间为秒，其中．

求证：四边形是平行四边形

若四边形为矩形，求的值

若点从点出发沿直线向右运动，点从点出发沿直线向左运动，且与点，以相同的速度同时出发，当四边形为菱形时，求的值．

12.如图，已知矩形中，，，为边上的一点，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿着边向终点运动，连接，设点运动的时间为秒．

求的长；

若为直角三角形，求的值．

13.如图，菱形的边长为，，、分别是边，上的两个动点，且满足．

求证：≌；

判断的形状，并说明理由．

14.已知菱形的两条对角线分别为和，、分别是边、的中点，是对角线上的动点不含、．

证明无论动点在何处，四边形的面积总是固定值，这个固定值是多少？

试探究动点在何处时，四边形的周长最小，最小值是多少？

15.在菱形中，，点是对角线上一动点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，连接并延长，分别交、于点、．

如图，若且，求菱形的面积；

如图，求证：．

16.四边形为菱形，点为对角线上的一个动点，连结并延长交的延长线于点，连结．

如图，求证：

如图，若，且，求的度数．

17.如图，在平行四边形中，，点是上动点，连结．

若平行四边形是菱形，，试求出的度数；

若，，，求的长；

过点作交线段于点过点作于，交的高于点若，，求证：．

18.如图，菱形中，、分别是边，上的两个动点不与菱形的顶点重合，且满足，．

求证：是等边三角形；

若菱形的边长为，设的周长为，求的取值范围；

连接分别与边、交于点、，且，试说明：．

参考答案

1.证明：是边的中点，

．

又，分别是，的中点，

，是的中位线，

，．

在和中，

≌．

解：当四边形是正方形时，，，

，是的中位线，

，

是等腰直角三角形，连接，

，，

．

2.证明：如图，

点、分别是、边的中点，

，且，

同理，且，

且，

四边形是平行四边形．

解：如图，

当且时，平行四边形是正方形．

3.证明：四边形为正方形，

，，，

又，

是等腰直角三角形，四边形是矩形，

，

，

；

，理由如下：连结，．

四边形为正方形，

，，

在与中，

≌．

．

，，，

，，

四边形为矩形，

，

在中，

由勾股定理可得：，

．

当时，设，

则由可知，即．

又，

．

，

化简得，

解得，．

当时，；

当时，．

综上所述：的长为或．

4.解：正方形的边长是，当时，点与点重合，

的面积为：

当点在边上时，

，

解得．

当点在边上时，

，

即，

解得．

当点在边上时，，

故此时不可能．

综上所述知：或．

5.证明：四边形是正方形，

，，

，

，

即，

，

在和中

≌；

是中点，

，

由得≌，

，

是中点，

，

即，

四边形是平行四边形，

，

；

由得即：，

是中点，

是中点，

由得，

垂直平分，

．

6.解：证明：四边形是正方形，

，，

，

，

，

≌

；

当点运动到的中点时，四边形是正方形．

理由如下：

点运动到的中点，，

，，

，

，

，，

四边形是平行四边形，

，，

四边形是正方形．

7.解：证明：四边形是矩形，．．

为的中点，．

在和中，．

．

由题意知：，，．

当四边形是菱形时，．

在中，．

解得．

当时，四边形是菱形．

8.解：当时，

为的中点，

，

长方形

设点的速度是，则，，

，

与全等，

≌或≌

当≌时，，

，解得，

，与动点以与动点不同的速度运动矛盾．

当≌时，，

，解得，

，解得；

答：经过秒，与全等；此时点的速度是；

设经过秒，点与点第一次在长方形的边上相遇；

则：，解得：

此时点运动路程为：，点在的中点处，

答：设经过秒，点与点第一次在长方形的边上相遇．

9.证明：将平移到的位置，将平移到的位置，

，，

，

点、、在一条直线上；

解：四边形是平行四边形，理由如下：

由平移的性质可知：，，，，

，，

四边形是平行四边形．

10.证明：为的中点，

，

四边形是矩形，

，，

在和中，

，

≌，

；

证明：延长、交于点，如图所示：

四边形是矩形，

，

，，

为的中点，

，

在和中，

，

≌，

，，

由得：，

，

，

，

在和中，

，

≌，

；

过作于，

则四边形是矩形，

，，

，

，

由知，

．

11.解：由题意，得，

四边形是矩形，

，，

，而，分别是，的中点，

，，

，

，

，，

，

，

四边形是平行四边形

如图，连接，

，，，

四边形是矩形，

，当四边形是矩形时，

，在中，由勾股定理，得，

，

，

，即四边形为矩形时

设秒时四边形为菱形，此时点、分别运动到点、的位置如图，连接，，，与交于点．

四边形为菱形，，，，

，，

四边形为菱形，

，，

在中，由勾股定理，

得，即，

解得，

当时，四边形为菱形．

12.解：，，

，

在中，；

当时，，

则，

当时，，

即，

解得，，

当或时，为直角三角形．

13.证明：四边形为菱形且边长为，，

，

和为等边三角形，

，

又，，

，

≌；

解：为等边三角形．

理由：由得：，，

又，

为等边三角形．

14.解：如图所示：

、分别是边、的中点，．

的面积的面积的面积，

四边形的面积菱形的面积；

如图所示：

作关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小，

四边形是菱形，

，，即在上，

，

，

为中点，

为中点，

为中点，四边形是菱形，

，，

四边形是平行四边形，

，

四边形是菱形，

，，

在中，由勾股定理得：，即，

，

四边形周长最小值是．

15.解：连接，如图，

在菱形中，，

又，

、、三点共线，

，，

，，

，

，

，

点，关于对称，

，

，

，

，

，

；

证明：四边形是菱形，

，，

，，

，

由旋转的性质得：，，

，

，

在和中，，

≌，

，，

在上取点，使，如图所示：

则，在和中，

≌，

，，

，

，

，

，

．

16.证明：四边形为菱形，，，

在和中，

，由得，，．

，，由知，，

设，则，

由得，解得，

，．

17.解：四边形为菱形，，

，，

；

解：作于，

由勾股定理可得，

，

，，

四边形为平行四边形，

，，

，

解得，

，，

；

证明：连接，

，，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，，

，

，，

，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

．

18.证明：如图，≌，≌，