贝叶斯统计原理在测量不确定度评定中的应用

贝叶斯统计原理在测量不确定度评定中的应用

1累积测量数据的测量不确定度评定是一个固定的现在，实验室中对测量结果的不确定度评估越来越普遍，对测量不确定度评估方法和应用的研究也包括不同的方面。无论是校准实验室还是检测实验室,在测量仪器的校准周期和检定周期内,要为顾客提供多次的校准、检测服务,可积累大量的测量数据,若按上述测量不确定度的评定方法,这些累积的测量数据在测量不确定度的评定中无法使用,而这些数据都是有效测量数据,能够真实反映在校准周期和检定周期内测量仪器真实测量状态,将这些测量数据弃之不用,是数据资源的浪费。在检定周期或校准周期内,实验室在严格的受控条件下,测量数据具有相同的统计特征,即认为这些数据来自同一分布总体,有相同的概率分布,所以利用在检定周期内或校准周期内的所累积测量数据评定测量不确定度,能充分反映校准和检测仪器的测量状态。利用以前有效的测量数据,结合最新的测量数据评定测量不确定度,使数据资源充分利用,并能反映母体分布的数字特征。这一思路符合贝叶斯统计原理,张健等人对此已做了一些研究本文将根据贝叶斯统计原理,充分利用有效的先验测量信息,结合最新的测量数据,解决校准实验室和检测实验室中微小样本测量不确定度评定问题。2后验密度函数在本文中,先验信息是指已知的有效测量结果,易从最新的校准证书、合格证书、检测报告或其他资料中获取,包括从初始的测量数据中获取。假设x根据贝叶斯定理p(θ,ф/X)为基于当前测量值的θ和ф的后验密度函数;p(θ,ф)为θ和ф的联合密度;l(θ,ue788/X)为给定θ和ue788时,当前测量值的似然估计。2.1公式，ue788，xP(ф)为ф的先验分布,满足自由度为ν式中:SP(θ/ф)为给定ф时θ的条件分布,其正态均值为2.1.2方程l，，x已知X来自正态分布N(θ,ф),其似然估计与给定和ue788时X的条件密度成比例S2.1.3后验密度根据前面得到的l(θ,φ/X)与p(θ,ф)的公式,把式(2)和(3)代入式(1),则θ和ф的后验密度为:2.2和的初始分布P(θ/X)为θ的后验分布,也是式(4)中均值的边缘分布。根据文献[11]可知:定义:则:即θ~t2.2.2方差边缘分布p(ф/X)为ф的后验分布,也是式(4)中方差的边缘分布。同样可得到ф的后验分布为:p(ф/X)是服从自由度为v的反χ2.3贝叶斯的公式根据式(6)和(7)可知:当给定ue788时θ满足如果前提假设条件满足,由式(5)和式(8)的结论可以推出基于后验分布的统计特征值和测量不确定度评定公式,这些公式简称为贝叶斯方法,此方法由下列公式组成:1)已知信息,包括:先验信息:2)过程计算公式:3)测量不确定度评定公式:这些公式看起来似乎很复杂,但过程计算的7个公式都是GUM中重复测量不确定度评定公式中的派生公式,依据已知的信息计算,是一些常规公式,公式虽多,但比较简单,先验信息是给定的或已知的,如(X珔3小样品测量不确定度评价公式根据式(9)~(20),在已知先验信息条件下,对测量次数只有1次、2次等微小样本测量不确定度评定公式进行推证。3.1样本体积为1的测量不确定度评估公式当前测量值为:x3.1.1与gum方法的比较由式(9)可得:现来证明式(21)与GUM方法是相等的:将x式(21)与合并样本后的计算结果是相等的。但在实际应用中,由于n3.1.2单次测量标准偏差当样本量为1时,由式(17)和(18)得单次测量标准偏差平方为:s现来证明式(23)与GUM推荐的频率方法是相等的。将式(23)进行化简:将x3.1.3先验测量不确定度评定当只进行一次校准或检测时,一般是直接引用先验测量不确定度信息,即采用B类测量不确定度评定方法,若用式(24)进行评定,则比较麻烦。但由于n3.1.4首次校准测量不确定度评定在校准实验室对某一电量参数进行校准,该电量参数的先验信息为:(2.8406±0.1179)mV,k=1,v现利用式(21)、(23)、(25)和(26)来计算第一次校准的测量不确定度报告。根据先验信息:现采用贝叶斯方法进行评定,即根据式(21)和式(24)进行评定。由式(21)得:由式(23)可计算单次测量标准偏差:由式(26)得:客户首次校准测量不确定度评定报告:(2.8570±0.4414)mV,k=1。2种方法有|0.4567-0.4414|=0.0153mV的差值。同理类推,可计算出其他几次校准的测量不确定度结果,具体如表1所示。根据表1数据作图1,对贝叶斯方法和GUM的B类方法进行对比分析。从图1可以直观看出,当测量值只有1个时,GUM方法中B类评定只用了该电量参数进行校准时的先验信息,所以测量不确定度是一个不变的量(一条直线),而贝叶斯方法不仅应用了先验信息,而且结合当前的校准信息,对不确定度进行重新评定,前面一次的校准信息对下一次校准是先验信息,从而在不断积累校准信息的基础上,使每一次的不确定度评定都会发生变化(变化的曲线),并且逐渐趋向于真实的情况,因而这种方法优于GUM方法。3.2样本体积为2的测量不确定度评估公式当前测量值为:x3.2.1与gum方法由式(9)可得:现来证明式(28)与GUM方法是相等的:将x式(28)与合并样本后的计算结果是相等的。但在实际应用中,由于n3.2.2单次测量的标准偏差当样本量为2时,由式(17)和式(18)得单次测量标准偏差平方为:3.2.3b类测量不确定度评定方法适用条件复杂当只进行二次校准或检测测量时,传统的评定方法都是直接引用先验测量不确定度信息,即采用B类测量不确定度评定方法,若用式(31)进行评定,则比较复杂和烦琐。但由于n3.2.4测量不确定度评定在校准实验室对某一质量参数进行校准,该质量参数的先验信息为:(2.8670±0.1233)mg,k=1,ν根据先验信息:客户首次校准测量不确定度评定报告:(3.0952±0.3260)mg,k=1。与用B类评定的有|0.3376-0.3260|=0.0116mg的差值。同理类推,可计算出其他几次校准的测量不确定度结果,具体如表2所示。根据上表数据做图2,对贝叶斯方法和GUM的B类方法进行对比分析。与图1类似,从图2可以直观看出,当测量值只有2个时,用贝叶斯方法评定测量不确定度,综合运用了先验信息和当前的校准数据,对质量参数校准的不确定度进行评定,使不确定度接近其真实的情况,优于GUM方法对不确定度评定的情况。3.3样本体积为3的测量不确定度评估公式当前测量值为:x3.3.1测量不确度评定公式同理,可证明当测量次数只有3个时,根据式(16)~(19)等其他相关公式,可以导出样本量只有3个时的测量不确定度结果,这些公式为:3.3.2测量不确定度计算及对比分析在校准实验室对某一长度参数进行校准,该长度参数的先验信息为:(28.81±1.32)mm,k=1,ν现利用上述公式来计算每次校准的测量不确定度,同时也用GUM的B类方法进行评定,计算结果如表3所示。根据表3数据做图3,对贝叶斯方法和GUM的B类方法进行类比分析。同样地,类似于图1和图2,从图3可以直观看出,当测量值只有3个时,用贝叶斯方法评定测量不确定度,在结合先验信息和每一次校准数据的基础上,使长度参数校准时的不确定度评定更接近其真实的情况,它也优于只利用先验信息进行不确定度评定的GUM方法。4测量不确定度评定的实现校准实验室和检测实验室为客户提供的测量服务通常都是微小样本,GUM中的A类评定方法无法应用,只能用GUM中的B类方法,客户的测量数据在测量不确定度评定中没有用上,造成在校准周期、检定周期内测量数据的浪费,而且不能有效反映出客户测量结果的真实测量不确定度。无论是校准实验室还是检测实验室,只要严格地控制实验室的测量环境并按校准规范或检测程序进行校准或检测活动,在检定周期或校准周期内,保持和控制“人、机、料、法、环”条件相同,对同数量级的同类量进行的测量值都具有相同的统计特性,即这些测量数据都应服从相同的概率分布,虽然这些测量值来自于不同的客户、来自于不同的时间。在校准周期或检定周期内,这些测量值具有时序性和累积性,为客户提供的校准和检测服务,必须在规定的工作日内给出测量不确定报告,不可能等到整个校准或检定周期结束后,用所有的客户累积的测量数据评定测量不确定度,并给客户提交测量不确定度评定报告。客户的测量不确定度报告必须实时给出,所以应尽可能地利用以前累积的有效测量结果,即充分利用先验自信,并利用为客户提供的当前测量值,虽然是微小样本,进行测量不确定度评定,才是科学合理的。本文基于贝叶斯理论推证的式(5)、(19)和(20),是解决上述问题的有效方法,尤其是解决了校准和检测服务中微小样本的测量不确定度评定问题。式中:X为当前测量值向量;2.1.1公式根据条件概率公式:则θ和ф的联合密度为:式中:2.2.1贝叶斯频率评定当前信息为当前的测量值:(x样本量为1,即:当样本量为1时,有:式(23)与式(24)是相等的。但在实际应用中,由于s若用GUM方法,只能进行B类评定,其结果为:样本量为2,即:当样本量为2时